Trường THPT Nguyễn Văn Cừ

Luyện tập giới hạn
hàm số
Giáo viên: Ngô Thị Hoài Linh




Các dạng bài tập
01

02

03

04

Cách tìm giới
hạn vô định
dạng

Giới hạn một
bên và các
dạng vô định
khác

Cách tìm giới
hạn dạng vô
định 

Cách tính giới
hạn chứa trị
tuyệt đối



01
Cách tìm giới hạn vô
định dạng

Phương pháp giải:
Tìm khi trong đó f(x) và g(x) là các đa thức hoặc căn thức.
+ Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể, vì nên f(x) và
g(x) cùng có nghiệm x=. Do đó ta phân tích được f(x)=(x-) A(x) và g(x)=(x-­) B(x).
Khi đó ta có

lim

𝑥 → 𝑥

0

𝑓 ( 𝑥)
= lim
𝑔 ( 𝑥)
𝑥→ 𝑥

0

( 𝑥 − 𝑥¿¿ 0) 𝐴 ( 𝑥)
( 𝑥 − 𝑥 ¿ ¿ 0 ) 𝐵 ( 𝑥 )= lim

𝑥 → 𝑥

0

𝐴 ( 𝑥)
𝐵( 𝑥)

¿ ¿

và còn lại là tính .
+Nếu f(x) và g(x) có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên
hợp trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước.

𝑥 +3 − 2
√
lim 3
𝑥→1

𝑥 − 3 𝑥+2

01

lim

𝑥→1

√ 7 𝑥 +1− √ 5 𝑥 −1
3

𝑥 −1

02

lim

𝑥 →+∞

( √ 8 𝑥3+ 2 𝑥 ¿− 2 𝑥) ¿
3

03

BÀI TẬP MINH HỌA: TÌM GIỚI HẠN

a) Phân tích: Vì nên đây là dạng vô định 0/0.
Tuy nhiên ta chưa thể phân tích ngay tử số thành nhân tử mà phải nhân cả tử và mẫu với biểu
thức liên hợp của .
Ta có
Mà:
Do đó không tồn tại.
Suy ra không tồn tại.

b)

Ta có A=

J==
Vậy A=

c)

02
Giới hạn một bên và
các dạng vô định
khác





.

.

2
1

3
Dạng  – 

Giới hạn một
bên
Áp dụng định lý giới hạn
của một tích và một
thương…

Giới hạn này thường có
chứa căn
Ta thường sử dụng phương
pháp nhân lượng liên hợp
của tử và mẫu, Sau đó tìm

cách biến đổi đưa về dạng


Dạng 0.:
Tính giới hạn khi
Ta có thể biến đổi để đưa về dạng
0/0 hoặc đưa về dạng .

lim

√

𝑥
+¿
𝑥→2 ( 𝑥−2) 2 ¿
𝑥 −4

¿

02

01
Bài tập

lim √5𝑥 +2𝑥+𝑥 √5
2

𝑥→−∞

Bài 1:
Phân tích: Vì nên chưa thể áp dụng các định lí và quy tắc để tính
giới hạn.
Với mọi x>2 ta có: =
Do đó

Bài 2:
a)
 
b)

03
Cách tìm giới hạn

dạng vô định 

Phương pháp giải

P ( x)

,
dạng
này
ta
còn
gọi
là
dạng
vô
định
P
(
x
),
Q
(
x
)


L= lim
Trong đó
x   Q ( x )


với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất
của x hoặc nhân lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:

lim 𝑥2 𝑘= +∞

𝑥 → ±∞

lim 𝑥

𝑥 → ±∞

2 𝑘+ 1

=± ∞



Bài tập minh họa:
Tìm giới hạn sau: A=
Bài giải
Ta có:

04
Cách tính giới hạn
chứa trị tuyệt đối

Dạng 1: Tìm giới hạn của
 với f(x) là các hàm đa thức,
phân thức,…

- Bước 1: Tính giới hạn của   (đưa
về các giới hạn đã biết để tính)
- Bước 2: Suy ra
=

02

01
Dạng 2: Tìm giới hạn của  ;

- Bước 1: Xét dấu của các biểu thức trong dấu
giá trị tuyệt đối để bỏ dấu trị tuyệt đối
● Sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối:
● Sử dụng định nghĩa về giới hạn một bên:
- Bước 2: Thực hiện tính toán, đưa về các giới
hạn của đa thức, phân thức, … thường gặp rồi
tìm giới hạn.

Bài tập minh họa:

Tính giới hạn sau

Bài giải

Ta tính giới hạn như hàm phân thức bình thường

¿ lim

𝑥 → −3

|

||

|| |

− ( − 3 ) +2
− 𝑥 +2
5
5
=
=
=
𝑥
−3
−3
3

Cảm ơn thầy cô và
các em đã lắng
nghe !