CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐÃ ĐẾN VỚI BÀI HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của hai bạn Dũng và Huy được thống kê trong
bảng sau:

Kết quả làm bài kiểm tra môn Toán của bạn nào đồng đều hơn?

CHƯƠNG VI: MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG
KÊ VÀ XÁC XUẤT
BÀI 3: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC
ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU
KHÔNG GHÉP NHÓM

NỘI DUNG BÀI HỌC
I

Khoảng biến thiên. Khoảng tứ phân vị

II

Phương sai

III

Độ lệch chuẩn

IV

Tính hợp lí của số liệu thống kê

I
Khoảng biến thiên. Khoảng tứ phân vị

1. Định nghĩa
HĐ 1: Kết quả của 11 lần đo được thống kê trong mẫu số liệu sau:
(1)
a) Tìm hiệu giữa số đo lớn nhất và số đo nhỏ nhất.
b) Sắp xếp các số liệu của mẫu (1) theo thứ tự tăng dần. Tìm các giá trị
Q­1, Q­2, Q3 là tứ phân vị của mẫu đó. Sau đó, tìm hiệu Q3 – Q1.

Giải
a) Trong mẫu số liệu (1), hiệu giữa số đo lớn nhất và số đo nhỏ nhất là:
R = xmax – xmin = 16 – 2 = 14

1. Định nghĩa
HĐ 1: Kết quả của 11 lần đo được thống kê trong mẫu số liệu sau:
(1)
a) Tìm hiệu giữa số đo lớn nhất và số đo nhỏ nhất.
b) Sắp xếp các số liệu của mẫu (1) theo thứ tự tăng dần. Tìm các giá trị
Q­1, Q­2, Q3 là tứ phân vị của mẫu đó. Sau đó, tìm hiệu Q3 – Q1.

Giải

b) Sắp xếp các số liệu của mẫu (1) theo thứ tự tăng dần, ta được:
2 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16
Vậy Q1 = 6; Q2 = 9; Q3 = 12.
Suy ra = Q3 – Q1 = 12 – 6 = 6.

KẾT LUẬN
• Trong một mẫu số liệu, khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.
Ta có thể tính khoảng biến thiên R của mẫu số liệu theo công thức sau:
R = xmax – xmin
trong đó xmax là giá trị lớn nhất, xmin là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.
• Giả sử Q1, Q2, Q3 là tứ phân vị của mẫu số liệu.
Ta gọi hiệu là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.
 

Ví dụ 1 (SGK – tr36)
Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: mét) của 15 cây bạch đàn là:
(2)
a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu (2).
b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (2).

Giải
a) Trong mẫu số liệu (2), số lốn nhất là 9,0 và số bé nhất là 6,3.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu (2) là:

Ví dụ 1 (SGK – tr36)
Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: mét) của 15 cây bạch đàn là:
(2)
a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu (2).
b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (2).

Giải
b) Sắp xếp các số liệu của mẫu (2) theo thứ tự tăng dần, ta được:
Do đó .
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (2) là: .

2. Ý nghĩa
a. Ý nghĩa của khoảng biến thiên: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu
phản ánh sự “dao động”, “sự dàn trải” của các số liệu trong mẫu đó.
b. Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị là một đại lượng
cho biết mức độ phân tán của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu
đã sắp xếp và có thể giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu số
liệu đó.

II
Phương sai

1. Định nghĩa
HĐ 2: Số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn
Dũng là: (xem Bảng 4).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu (3) là:
a) Tính các độ lệch sau: .
b) Tính bình phương các độ lệch và tính trung bình cộng của chúng.

Giải
a) Ta có:
8 – 7 = 1; 6 – 7 = – 1; 7 – 7 = 0; 5 – 7 = – 2; 9 – 7 = 2.
b) Bình phương các độ lệch là:
(8 – 7)2 = 1; (6 – 7)2 = 1; (7 – 7)2 = 0; (5 – 7)2 = 4; (9 – 7)2 = 4.
Trung bình cộng của bình phương các độ lệch là:
s2 =

Lưu ý: Mỗi hiệu giữa số liệu và số trung bình cộng gọi là độ lệch của số liệu đó
đối với số trung bình cộng.

KẾT LUẬN
Cho mẫu số liệu thống kê có n giá trị x1, x2, …, xn và số trung bình
cộng là
Ta gọi số:
s2 =
là phương sai của mẫu số liệu trên.

NHẬN XÉT
* Khi có các số liệu bằng nhau, ta có thể tính phương sai theo công
thức sau:
• Phương sai của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố tần số là:
s2 =
trong đó n = n1 + n2 +…+ nk; là số trung bình cộng của các số liệu đã cho

NHẬN XÉT
• Phương sai của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố tần số
tương đối là:
s2 =
Trong đó, là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

NHẬN XÉT

- Trong thực tế, người ta còn dùng công thức sau để tính phương sai
của một mẫu số liệu:
2

=

Trong đó, xi là giá trị của quan sát thứ i;
là giá trị trung bình và n là số quan sát trong mẫu số liệu đó.

Ví dụ 2 (SGK – tr36) Mẫu số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn
Dũng, bạn Huy lần lượt là:

8 6 7 5 9  ( 3)  
6 7 7 8 7   ( 4 ) 
Số trung bình cộng của mẫu số liệu (3) và (4) đều là:
a) Tính phương sai lần lượt của hai mẫu số liệu (3) và (4).
b) Xét mẫu số liệu (3), ta gọi độ dài đoạn thẳng là độ lệch của số liệu thống kê đối
vối số trung bình cộng (Hình 2). So sánh phương sai của mẫu số liệu (3) và giá trị
của biểu thức

2
1

2
2

2
3

2
4

2
5

𝑀 1 𝐻 +𝑀 2 𝐻 +𝑀 3 𝐻 +𝑀 4 𝐻 +𝑀 5 𝐻
.
5

c) So sánh và . Từ đó cho biết bạn nào có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn.

Giải
a) Ta có:

𝑠

2
𝐷

=¿ ¿

b) Với mẫu số liệu (3), ta có:
,
.
Vì thế

2
1

2
2

2
3

2
4

𝑀
𝐻
+𝑀
𝐻
+
𝑀
𝐻
+
𝑀
𝐻
+𝑀
𝐻
2
1
2
3
4
5
𝑠 𝐷=
5

2
5

Giải
Như vậy, phương sai đánh giá mức độ phân tán kết quả 5 bài kiểm tra môn
Toán của bạn Dũng (so vơ̂i số trung bình cộng ).
c) Do nên bạn Huy có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn bạn Dũng.

LUYỆN TẬP 1:
Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li của 5 người là:
Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li của 5 người đó là:
(6)
Tính phương sai của mẫu (5) và mẫu (6). Từ đó cho biết cự li chạy nào có
kết quả đồng đều hơn.

Giải

• Ta có: = 57,96; = 272,04
• Vậy phương sai của mẫu (5) và (6) là:

2
(5 )

2

2

2

2

(55 , 2 − 𝑥5 ) +(58 , 8 − 𝑥 5) +(62 , 4 − 𝑥5 ) +( 54 − 𝑥 5) +(59 , 4 − 𝑥5 )
5

𝑠 =¿
2
(6 )

2

2

2

2

2

¿9,16
2

(217 ,2 − 𝑥 6 ) +( 261− 𝑥 6 ) +( 276 − 𝑥 6) +(282 − 𝑥 6 ) +( 270− 𝑥6 )
5

𝑠 =¿

Vậy cự li chạy 500 m có kết quả đồng đều hơn.

¿ 48,33

2. Ý nghĩa
Phương sai là số đặc trưng đo mức độ phân tán của
mẫu số liệu. Mẫu số liệu nào có phương sai nhỏ hơn thì
mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số
liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn.

III
Độ lệch chuẩn

1. Định nghĩa
HĐ 3

Trong Ví dụ 2, phương sai của mẫu số liệu (4) là .
Tính .

Giải

𝑠 𝐻= √ 𝑠 =√ 0,4 ≈0,63
2
𝐻

KẾ

N
Ậ
U
L
T
Căn bậc hai (số học) của phương sai gọi là độ lệch chuẩn
của mẫu số liệu thống kê.

* Nhận xét: Vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với số liệu thống kê nên khi
cần chú ý đến đơn vị đo thì ta sử dụng độ lệch chuẩn mà không sử dụng
phương sai.

Ví dụ 3

Bảng 5 thống kê nhiệt độ (đơn vị: ) ở Thành phố Hồ Chí Minh ngày
sau một số lần đo.

a) Viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ từ Bảng 5.
b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của
mẫu số liệu đó.

Giải a) Mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ Bảng 5 là:
b) Nhiệt độ trung bình là:

Phương sai của mẫu số liệu đó là:
2

𝑠

2

¿

¿

2

2

2

2

2

2

( 𝑥 1 − 𝑥 ) + ( 𝑥 2 − 𝑥 ) + ( 𝑥 3 − 𝑥 ) + ( 𝑥 4 − 𝑥 ) + ( 𝑥5 − 𝑥 ) + ( 𝑥 6 − 𝑥 ) + ( 𝑥 7 − 𝑥 ) + ( 𝑥 8 − 𝑥 )
8
¿
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là: .

2

LUYỆN TẬP 2:
Mẫu số liệu về số lượng áo bán ra lần lượt từ tháng 1 đến tháng 12 của
một doanh nghiệp là:

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Giải

• Ta có bảng tần số: (chiếc áo)

Số áo bán ra

410

430

450

525

550

Tần số

1

2

2

1

1

Số áo bán ra

560

635

700

800

900

Tần số

1

1

1

1

1

• Từ bảng tần số ta có số lượng áo trung bình bán ra trong 1 tháng
là:

Giải
• Phương sai của mẫu số liệu là:
s2 = [(410 - x)2 + (430 - x)2 + (450 - x)2 + (525 - x)2 + (550 - x)2 +
(560 - x)2 + (635 - x)2 + (760 - x)2 + (800 - x)2 + (900 - x)2] : 12
= 25 401.
• Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:
s = = 159,4.

2. Ý nghĩa
Cũng như phương sai, khi hai mẫu số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có
số trung bình cộng bằng nhau (hoặc xấp xỉ nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch
chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số
liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn.
Độ lệch chuẩn là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê
có cùng đơn vị đo.

IV
Tính hợp lí của số liệu thống kê

Ta thường sử dụng khoảng tứ phân vị để xác định số liệu bất thường
của mẫu số liệu. Cụ thể:
Giả sử Q1, Q2, Q3 là tứ phân vị của mẫu số liệu và hiệu là khoảng tứ
phân vị của mẫu số liệu đó.
Một giá trị trong mẫu số liệu được coi là một giá trị bất thường nếu nó
nhỏ hơn Q1 - . hoặc lớn hơn Q3 + .

Ví dụ 4

Nêu các giá trị bất thường của mẫu số liệu thống kê sau:

5 6 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 48 49
Giải
Mẫu số liệu (7) có tứ phân vị là .
Suy ra
Các giá trị 5,6 (nhỏ hơn ) và các giá trị 48,49 (lớn hơn ) là các giá trị bất
thường của mẫu số liệu (7).

ý
ú
Ch
Ta cũng có thể xác định số liệu bất thường của mẫu số liệu
bằng số trung bình cộng và độ lệch chuẩn. Cụ thể như sau:
Giả sử , s lần lượt là số trung bình cộng và độ lêch chuẩn
của mẫu số liệu. Một giá trị trong mẫu số liệu cũng được coi
là một giá trị bất thường nếu nó nhỏ hơn hoặc lớn hơn .
Như vậy, số trung bình cộng và độ lệch chuẩn cho ta cách
nhận ra giá trị bất thường của mẫu số liệu.

BÀI TẬP
Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là 56 và tứ phân vị thứ ba là 84.
Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị
bất thường.

Giải
Ta có: Q1 = 56; Q3 = 84;
Q1 - = 56 - .28 = 14;

Q3 + = 84 + .28 = 126

Ta thấy 10 < 14 nên 10 là giá trị bất thường.
14 < 100 < 126 nên 100 không là giá trị bất thường.

LUYỆN TẬP

Bài 1: (SGK – tr.41)
Trong 5 lần nhảy xa, hai bạn Hùng và Trung có kết quả (đơn vị: mét) lần lượt là

a) Kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau hay không?
b) Tính phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy xa của mỗi
bạn. Từ đó cho biết bạn nào có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

Giải
a) Kết quả trung bình của 2 bạn bằng nhau (m)
b) Phương sai mẫu số liệu thống kê của bạn Hùng và Trung là:

Vậy bạn Trung có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

Bài 2: (SGK – tr.41)
Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình 3 biểu diễn tốc độ tăng trưởng GDP của Việt Nam
giai đoạn 2012 – 2019.
a) Viết mẫu số liệu thống kê tốc độ tăng
trưởng GDP nhận được từ biểu đồ ở Hình 3.
b) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.
d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của
mẫu số liệu đó.

Giải
a) Dựa vào biểu đồ, ta có mẫu số liệu là:
5,25

5,42

5,98

6,68

6,21

6,81

7,08

7,02

b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta có:
5,25

5,42

5,98

6,21

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

6,68

6,81

7,02

7,08

Giải
c) Các tứ phân vị của mẫu số liệu là:
Q1 = 5,7

Q2 = 6,455

Q3 = 6,915

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: Q3 – Q1 = 1,215
d) Ta có:
s2 =
= 0,44

⇒ 𝑠= √ 𝑠 ≈0,66
2

Bài 3: (SGK – tr.41) Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình 4 biểu diễn giá vàng bán ra
trong bảy ngày đầu tiên của tháng 6 năm 2021.
a) Viết mẫu số liệu thống kê giá vàng bán ra
nhận được từ biểu đồ ở Hình 4.
b) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.
d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của
mẫu số liệu đó.

Giải
a) Dựa vào biểu đồ ta có mẫu số liệu là:
5 767

5 757

5 737

5 727

5 747

5 747

5 722

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó là:
R = xmax – xmin = 5 767 – 5 722 = 45
c) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta có:
5 722

5 727

5 737

5 747

5 747

5 757

Các tứ phân vị của mẫu số liệu là:
Q1 = 5 727 Q2 = 5 747 Q3 = 5 757
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

5 767

Giải
d) Ta có:
s2 =
.

Bài 4: (SGK – tr.41)
Để biết cây đậu phát triển như thế nào sau khi gieo hạt, bạn Châu gieo 5 hạt
đậu vào 5 chậu riêng biệt và cung cấp cho chúng lượng nước, ánh sáng
như nhau. Sau hai tuần, 5 hạt đậu đã nảy mầm và phát triển thành 5 cây
con. Bạn Châu đo chiều cao từ rễ đến ngọn của mỗi cây (đơn vị: mi-li-mét)
và ghi kết quả là mẫu số liệu sau:
112

102

106 94

101

a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
b) Theo em, các cây có phát triển đồng đều hay không?

Giải
a) Ta có: = 103

b) Cây phát triển không đồng đều (do cây có độ lệch chuẩn khá lớn).

50:50