ÔN TẬP CHƯƠNG III (2 tiết)

A. TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Liên hệ giữa cung
và dây
Các loại góc liên quan
với đường tròn

GÓC VỚI
ĐƯỜNG TRÒN

Tứ giác nội tiếp
Đường tròn nội tiếp
và đường tròn ngoại
tiếp đa giác đều
Độ dài đường tròn,
cung tròn, diện tích hình
tròn, hình quạt tròn

I. Liên hệ giữa cung và dây
n

+) Dây AB căng hai cung AmB và AnB
+) Cung AmB căng dây AB.
O

A

+) Cung AnB căng dây AB.
B

m

I. Liên hệ giữa cung và dây
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
a.

a.

b.

b.
D

D

C

C
O

O
B

A

A

B

II. Các loại góc liên quan với đường tròn

1.Góc ở tâm : + đỉnh là tâm đường tròn.
+ hai cạnh chứa hai bán kính của đường tròn.

sđ


AB
: góc ở tâm
AB: cung bị chắn

II. Các loại góc liên quan với đường tròn
A

2.Góc nội tiếp :+ đỉnh nằm trên đường tròn.
+ hai cạnh chứa hai dây cung
của đường tròn.
sđ


BC

O

C

B

: góc nội tiếp
BC: cung bị chắn

II. Các loại góc liên quan với đường tròn

x

B

3.Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

A
O

có: - đỉnh A nằm trên đường tròn.
- cạnh Ax là tia tiếp tuyến;
- cạnh AB chứa dây cung.
 


AB

y

 

AB: cung bị chắn

II. Các loại góc liên quan với đường tròn

4.Góc có đỉnh bên trong đường tròn

¼
¼
sđBC + sđAD
·
BEC =
2
: góc có đỉnh bên trong đường tròn
AD và BC: cung bị chắn

II. Các loại góc liên quan với đường tròn

5. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

m

¼
¼
sđBC - sđAD
·
BEC =
2

n

III. Các định lí về tứ giác nội tiếp:
Nội dung

Hình vẽ

Một tứ giác có tổng số đo
hai góc đối diện bằng

B

A

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

thì

O

nội tiếp được đường tròn
và ngược lại

Kí hiệu hình học

D

C

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
B

A

A

O
D

B

A

D

C

1) Tứ giác có tổng 2) Tứ giác có 4 đỉnh
số đo hai góc đối cách đều một điểm
(mà ta có thể xác
bằng 1800.
định được). Điểm đó
là tâm đường tròn
ngoại tiếp tứ giác.

D

B

A

O

O
C

B

O
B

3) Tứ giác có hai
đỉnh kề nhau cùng
nhìn cạnh chứa hai
đỉnh còn lại dưới
một góc .

D

C

4) Tứ giác có góc
ngoài tại một đỉnh
bằng góc trong của
đỉnh đối diện.

IV. Các định lí về đường tròn ngoại tiếp
và đường tròn nội tiếp của đa giác đều:

A

B

r
R

F

O

E

C

D

 Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp,
có một và chỉ một đường tròn nội tiếp
 Đặc biệt: Trong đa giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với
tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều

V. Các công thức tính độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn:
1. Công thức tính độ dài cung tròn:
Hình vẽ

Độ dài đường tròn

Độ dài cung

Độ dài cung

𝐂=𝟐𝛑 𝐑

𝛑𝐑
𝟏𝟖𝟎

𝛑𝐑𝐧
𝒍=
𝟏𝟖𝟎

A

𝒍
O
B

V. Các công thức tính độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn:
2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn:
Hình vẽ

Diện tích hình tròn

Diện tích hình quạt
tròn cung

Diện tích hình
quạt tròn cung

A
R

O

𝒏𝒐
B

𝐒=𝛑 𝐑

𝟐

𝛑𝐑 𝟐
𝟑𝟔𝟎

𝟐

𝛑𝐑 𝐧
𝐒=
𝟑𝟔𝟎
𝒍𝑹
𝑺=
𝟐

B. LUYỆN TẬP

Bài 90 (sgk- tr.104):
a) Vẽ hình vuông cạnh 4 cm.
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.
Tính bán kính R của đường tròn này.
c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó.
Tính bán kính r của đường tròn này.

Bài 90 (sgk-tr.104):
a) Vẽ hình vuông cạnh 4 cm.
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.
Tính bán kính R của đường tròn này.

A

D

4 cm

B

C

Bài 90 (sgk-tr.104): b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.
Tính bán kính R của đường tròn này.

Hướng dẫn giải: Gọi
- Vì tứ giác ABCD là hình vuông (gt)

⇒

A

4 cm

B

𝑹
O

⇒ vuông cân tại
- Áp dụng định lý py-ta-go hoặc hệ thức
giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta
tính được: cm

D

C

Bài 90 (sgk-tr.104): c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó.
Tính bán kính r của đường tròn này.

Hướng dẫn giải: Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến AB
⇒ r = OH

Xét vuông tại O, đường cao OH, ta có:

A

B

𝒓

OH.AB = OA.OB (h.t giữa cạnh và đường cao)
Thay số ta tính được (cm)

Vậy bán kính r = 2 cm

H

O

D

C

Bài 90 (sgk-tr.104): Kết quả
a) Vẽ hình vuông cạnh 4 cm.
b) Đường tròn là đường tròn ngoại tiếp
hình vuông
có bán kính R = cm.

A

4 cm

B

𝒓

c) Đường tròn là đường tròn nội
tiếp hình vuông
Có bán kính r = 2 cm.

O

𝑹
D

C

Bài 91 (sgk-tr.104): Trong hình vẽ, đường tròn tâm O
⏜

có bán kính R = 2 cm;

a) Tính s đ A pB .
b) Tính độ dài hai cung

và

⏜

A pB .

c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB.

p
O

A

2 cm

𝟕𝟓𝒐

q
B

Bài 91 (sgk-tr.104): Trong hình vẽ, đường tròn tâm O
⏜

a) Tính s đ A pB .

có bán kính R = 2 cm;
sđ =

Hướng dẫn giải:
Xét (O) có:

=
= =

⇒

p
O

A

2 cm

𝟕𝟓𝒐

q
B

Bài 91 (sgk-tr.104): Trong hình vẽ, đường tròn tâm O có
bán kính R = 2 cm;
b) Tính độ dài hai cung

và

⏜

A pB .

p
O

A

2 cm

𝟕𝟓𝒐

q
B

Công thức tính độ dài cung tròn:
Hình vẽ

Độ dài đường tròn

Độ dài cung

Độ dài cung

𝐂=𝟐𝛑 𝐑

𝛑𝐑
𝟏𝟖𝟎

𝛑𝐑𝐧
𝒍=
𝟏𝟖𝟎

A

𝒍
O
B

Bài 91 (sgk-tr.104): Trong hình vẽ, đường tròn tâm O có
bán kính R = 2 cm;
b) Tính độ dài hai cung

và

⏜

A pB .

Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn, ta có:

𝑙
𝑙

A

A

π R n
= (cm)
=
qB
180

p

⏜

π R n
= (cm)
=
p B
180

O

A

2 cm

𝟕𝟓𝒐

q

⏜

B

Bài 91 (sgk-tr.104): Trong hình vẽ, đường tròn tâm O
có bán kính R = 2 cm;
c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB.

p
O

A

2 cm

𝟕𝟓𝒐

q
B

V. Các công thức tính độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn:
2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn:
Hình vẽ

Diện tích hình tròn

Diện tích hình quạt
tròn cung

Diện tích hình
quạt tròn cung

A
R

O

𝒏𝒐
B

𝐒=𝛑 𝐑

𝟐

𝛑𝐑 𝟐
𝟑𝟔𝟎

𝟐

𝛑𝐑 𝐧
𝑺=
𝟑𝟔𝟎
𝒍𝑹
𝑺=
𝟐

Bài 91 (sgk-tr.104): Trong hình vẽ, đường tròn tâm O
có bán kính R = 2 cm;
c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB.

Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn,
ta có:
2

2

π R n π . 2 .75 5 π
2
(
)
¿
cm
¿
S=
6
360
360
𝒍𝑹 𝟓 𝛑 𝐑
𝟓𝟓𝛑
𝛑 𝟐𝟐
( 𝐜𝐦
𝐒=
¿
∙
=¿
∙ )
𝟐
𝟔
𝟐
𝟔
𝟐
𝟔

p
O

A

2 cm

𝟕𝟓𝒐

q
B

Bài 97 (sgk-tr.105):
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường
kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S.
Chứng minh rằng :
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp.

B

b)
c) CA là tia phân giác của
A

O

M

S

?
D

C

Bài 97 (sgk-tr.105): a) Chứng minh tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm đường tròn đường kính MC
+ Xét (O) có:

B

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
+ Tứ giác ABCD có : (gt)

A

M

O
S

Có ở vị trí 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới

O
90
?

D

góc
⇒ tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC (dấu hiệu nhận biết)

C

Bài 97 (sgk-tr.105): b) Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

Xét đường tròn đường kính BC, có:

B

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
A

M

O
S
D

C

Bài 97 (sgk-tr.105): c) Chứng minh CA là tia phân giác của

Hướng dẫn giải:
B

+ Xét đường tròn đường kính BC, có:

(1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
A

+ Xét (O), có:

(2) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MS)

O
S

1

D

Từ (1) và (2) suy ra :
CA là tia phân giác của

M

(đpcm)

1
2

C

Bài 97 (sgk-tr.105). Chứng minh:
c)
là tia
giác
của
a) CA
ABCD
là phân
một tứ
giác
nội tiếp.
b) Hướng dẫn giải:
c) CA là tia phân giác của .
(trường hợp D nằm giữa A và S)
Tứ giác MCSD là tứ giác nội tiếp (O)

(góc ngoài bằng góc đối trong)
Mà : (góc nội tiếp chắn cung AB trong
đường tròn đường kính BC)
CA là tia phân giác của

(đpcm)

1
1

BÀI TẬP
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O). Hai đường cao BE
và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.
1) Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

BÀI TẬP:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O). Hai
đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.
1) Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông
Vậy 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC

BÀI TẬP
b) Chứng minh: OA EF

y

Kẻ đường thẳng xy là tiếp tuyến tại A của (O)
- Xét (O), có:
- Có: (cùng bù với )
⇒
⇒ xy // EF
mà xy OA (tính chất tiếp tuyến)
⇒ OA EF

x
K
H

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Hiểu và vận dụng được các công thức tính bán
kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp đa giác đều;
cách tính độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn.
- Ghi nhớ định lí, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội
tiếp để vận dụng làm bài tập.
- Tự luyện các bài tập hình tổng hợp.