CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station)
nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400km (hình dưới).
Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS
khi đó nằm trong góc ở tâm của quỹ đạo tròn
này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ
ISS đã di chuyển được bao nhiêu Kilomet trong
khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả
sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm
tròn kết quả đến hàng đơn vị.

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA
MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Góc lượng giác

2

Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

3

Giá trị lượng giác của góc lượng giác

4

Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1
GÓC LƯỢNG GIÁC

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
HĐ 1: Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.
a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược
chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo
chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định
để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Giải

2 1
a) Phải quay kim phút một khoảng bằng 12 = 6 vòng tròn.
10 5
=
b) Phải quay kim phút một khoảng bằng 12 6 vòng tròn.

c) Có 2 cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút
từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là quay ngược
chiều kim đồng hồ và quay theo chiều quay của kim đồng hồ.

KẾT LUẬN
Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm
trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo
một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một
góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là
(Ou, Ov).

• Quy ước:
- Chiều quy ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương,
chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

• Số đo của góc lượng giác:
- Nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quay
góc 360º, quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc 720º; quay theo chiều âm
nửa vòng ta nói nó quay góc -180º, quay theo chiều âm 1,5 vòng ta nói
nó quay góc -1,5.360º = -540º,….
- Khi tia Om quay góc thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số
đo Số đo lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là sđ(Ou,
Ov).

KẾT LUẬN
Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối
Ov và số đo góc của nó.

Chú ý:
Cho hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov.
Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov).
Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360º.

Ví dụ 1: (SGK – tr7) Cho góc hình học có số đo (H.1.4). Xác
định số đo của các góc lượng giác và
Giải
Ta có:
- Các góc lượng giác tia đầu , tia cuối có số đo
là
- Các góc lượng giác tia đầu , tia cuối có số đo
là

LUYỆN TẬP 1
Cho góc hình học  °. Xác định số đo của góc lượng giác
 trong mỗi trường hợp sau:

Giải
Góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều dương
có số đo là: °

LUYỆN TẬP 1
Cho góc hình học  °. Xác định số đo của góc lượng giác
 trong mỗi trường hợp sau:

Giải
Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều âm có số đo
là:

b) Hệ thức chasles
HĐ 2:
Cho ba tia với số đo của các góc hình học và lần lượt là  và 
a) Xác định số đo của ba góc lượng giác , và  được chỉ
ra ở Hình 1.5.
b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một
số nguyên k để

Giải
a) Quan sát Hình 1.5 ta có:
sđ(Ou, Ov) = 30°; sđ(Ov, Ow) = 45°;
sđ(Ou, Ow) = – (360° – 30° – 45°) = – 285°.
b)  Ta có:
sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = 30° + 45° = 75°.
Lại có: – 285° + 1.360° = 75°.
Vậy tồn tại một số nguyên k = 1 để
sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°.a

KẾT LUẬN
Hệ thức Chasles: Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:
Sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360º

Nhận xét: Từ hệ thức Chasles, ta suy ra: Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov ta có:
Sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) – sđ(Ox, Ou) + k360º .
Hệ t thực này đống vai trò quan trọng trong việc tính toán số đo của góc
lượng giác.

Ví dụ 2: (SGK – tr7)
Cho một góc lượng giác có số đo và một góc lượng giác có số đo. Tính
số đo của các góc lượng giác

Giải
Số đo của các góc lượng giác tia đầu , tia cuối là

Vậy các góc lượng giác có số đo là

LUYỆN TẬP 2
Cho một góc lượng giác có số đo ° và một góc lượng giác
có số đo °. Tính số đo của các góc lượng giác 
Giải
Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov là:

Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 210° + m360° (m ∈ ℤ).

2
ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ
ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

a) Đơn vị đo góc và cung tròn
• Đơn vị độ
- Đơn vị dùng để đo góc là: Độ
- Góc góc bẹt.
- Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn:

• Đơn vị rađian
Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và
một cung AB trên (O)

Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó
đúng bằng bán kính R. Khi đó ta cũng nói rằng góc AOB có số đo
bằng 1 rađian và viết:

• Quan hệ giữa độ và rađian
- Công thức tính độ dài đường tròn
- Độ dài đường tròn là nên nó có số đo là . Mặt khác đường tròn
có số đo là nên ta có .
 Công thức:

( )

𝜋
180
1=
𝑟𝑎𝑑 v à 1𝑟𝑎𝑑=
180
𝜋
𝑜

𝑜

• Chú ý:
Khi viết một số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường
không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc được hiểu là .

Ví dụ 3: (SGK – tr9)
a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau:

𝜋 5𝜋
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: 3 ; 4
Giải
a) Ta có:

b) Ta có:

𝜋
𝜋
𝜋
5𝜋
4 5 °=45.
= ; 1 50 °=150.
=
180 4
180
6

( )

𝑜

( )

𝑜

𝜋 𝜋 180
5 𝜋 5 𝜋 180
= .
=60° ; = .
=225 °
3 3 𝜋
4 4 𝜋

LUYỆN TẬP 3
a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau:

−11 𝜋
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: 3 𝜋 ; 5
Giải

π
π
5π
o
360
=2 π ;− 450 =− 450.
=−
a) =360.
180
180
2
o

( )

o

( )

o

180
11 π
11 π 180
o
=540 ; −
=−
.
=−396
b)3 π=3 π .
π
5
5
π

• Chú ý:
Dưới đây là bảng tương ứng giữa số đo bằng độ và số đo bằng
rađian của các góc đặc biệt trong phạm vi từ đến
Độ

0º

rad

0

Độ

120º

rad

30º

45º

60º

135º

150º

180º

90º

b) Độ dài cung tròn
HĐ 3: Cho đường tròn bán kính .
a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng là bao nhiêu?
b) Tính độ dài l của cung tròn có số đo .
Giải
a) Độ dài cung tròn có số đo bằng 1 rađian là .
b) Độ dài của một cung tròn có số đo rad là .

Công thức: Một cung của đường tròn bán kính và có số đo
rad thì có độ dài .

Ví dụ 4: (SGK – tr9)
Cho đường tròn bán kính 2 cm. Tính độ dài cung tròn có số đo
2𝜋
3
Giải
của đường tròn đó.
Độ dài của cung tròn đó là:

2𝜋 4𝜋
𝑙=𝑅 𝛼=2.
=
(𝑐𝑚)
3
3

VẬN DỤNG 1

Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là
Đổi
Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS
đã di chuyển một quảng đường có độ dài là

𝜋
𝑙=𝑅 𝛼=6 800. ≈ 5340,708 ≈ 5341(𝑘𝑚)
4

3
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA
GÓC LƯỢNG GIÁC

a) Đường tròn lượng giác
HĐ 4:
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của
đường tròn là giao điểm  của đường tròn với trục . Ta quy ước chiều dương của
đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều
quay của kim đồng hồ.
a) Xác định điểm trên đường tròn sao cho
b) Xác định điểm trên đường tròn sao cho

Giải
a) Ta có:
Điểm M trên đường tròn sao cho
được xác định như trên hình vẽ :

Giải
b) Ta có:
Điểm N trên đường tròn sao cho được
xác định như trên hình vẽ:

KẾT LUẬN
- Đường tròn lượng giác là đường có tâm tại gốc
tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy
điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn.
- Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc
lượng giác có số đo α (độ hoặc rađian) là điểm M
trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA, OM) =
α.

Ví dụ 5: (SGK – tr10)
Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các
góc lượng giác có số đo bằng .

Giải:
Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc
lượng giác có số đo bằng được xác định trong
hình.
Điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc
lượng giác có số đo bằng được xác định trong
hình.

LUYỆN TẬP 4
Xác định điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn
các góc lượng giác có số đo bằng .
Giải
Ta có: , điểm M trên đường tròn lượng giác biểu
diễn góc lượng giác có số đo bằng được xác
định trong hình:

LUYỆN TẬP 4
Xác định điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn
các góc lượng giác có số đo bằng .
Giải
Ta có: , điểm N trên đường tròn lượng giác
biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng
420° được xác định trong hình

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác
HĐ 5:

Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác  của góc  đã học ở
lớp 10.

Giải:
• sin của góc α là tung độ y0 của điểm M, kí hiệu là
sin α; sin α = y0.
• côsin của góc α là hoành độ của x0 của điểm M,
kí hiệu là cos α; cos α = x0.
• Khi (hay là ), tang của là , kí hiệu là ;

𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑦 0
𝑡𝑎𝑛 𝛼=
=
𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑥 0
• Khi và (hay ), côtang của là , kí hiệu là

𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑥0
𝑐𝑜𝑡 𝛼=
=
𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑦 0

KẾT LUẬN
• Hoành độ x của điểm M được gọi là côsin của , kí hiệu .
• Tung độ y của điểm M được gọi là sin của , kí hiệu là .
• Nếu , tỉ số được gọi là tang của kí hiệu là .
• Nếu , tỉ số được gọi là côtang của , kí hiệu là .
• Các giá trị được gọi là các giá trị lượng giác của .

• Chú ý:
a) Ta gọi trục tung là trục sin; trục hoành là trục cos.
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
-

các định với mọi giá trị của và ta có:

.
-

xác định khi

-

xác định khi .

- Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào
vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác.
Góc phần
tư

Gía trị
lượng giác

I

II

III

IV

+

-

-

+

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

Ví dụ 6: (SGK – tr12)

Cho góc lượng giác có số đo bằng

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác
đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Giải
a) Điểm M trên đường tròn lượng giác
biểu diễn góc lượng giác có số đo là
được xác định trong hình

Giải
b)

LUYỆN TẬP 5
Cho góc lượng giác có số đo bằng
a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác
đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Giải
a)  Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn
góc lượng giác có số đo bằng  được xác định
trong hình:

Giải
b) Ta có:

5π
3
5π 1
√
cos
=−
; sin
=
6
2
6 2
5π
sin
5π
6
3
√
tan
=
=−
6
5π
3
cos
6
5π
cos
5π
6
cot
=
= √3
6
5π
sin
6

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng
giác của góc
Ví dụ 7: (SGK – tr13)
Sử dụng máy tính cầm tay để tính: (làm tròn kết quả đến chữ số thập
phân thứ tư.

Giải:

Ví dụ 8: (SGK – tr13)
a) Đổi sang rađian;

b) Đổi sang độ
Giải:

LUYỆN TẬP 6

Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính: ;

Giải
• Để tính ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 0,222520934.
Vậy .