CHÀO MỪNG CẢ LỚP
ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG
Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban
đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây quay ba vòng và
một phần tư 1 vòng (tức là vòng) đến vị trí cuối chỉ
vào số 6. Khi quay như thế, kim giây đã quét một
góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6.

Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học?
Những góc như thế có tính chất gì?

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1: GÓC LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ
LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
(3 TIẾT)

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

Góc lượng giác
• Góc hình học và số đo của chúng
• Góc lượng giác và số đo của chúng

02

Giá trị lượng giác của góc lượng giác
• Đường tròn lượng giác
• Giá trị lượng giác của góc lượng giác
• Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
• Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác

01
GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Góc hình học và số đo của chúng
HĐ1

Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng

Góc (còn được gọi là góc hình
học) là hình gồm hai tia chung
gốc. Mỗi góc có một số đo,
đơn vị đo góc (hình học) là độ.
Số đo của một góc (hình học)
không vượt quá 180°.

Chẳng hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox
và Oy chung gốc O có số đo là 60°

Giới thiệu về đơn vị đo radian
 Nếu trên đường tròn, ta lấy một
cung tròn có độ dài bằng bán kính
thì góc ở tâm chắn cung đó gọi là
góc có số đo 1 radian (hình 2).
 1 radian còn được viết tắt là 1 rad.

Độ dài của nửa đường tròn lượng giác bằng bao nhiêu?

R
Nửa đường tròn có số đo bằng bao

180º = rad rad

nhiêu (số đo góc và radian)?

Rút ra công thức đổi đơn vị đo từ
radian sang độ và ngược lại?

1 rad = và 1o = rad

Nhận xét

Ta biết góc ở tâm có số đo 180o sẽ chắn cung bằng
nửa đường tròn (có độ dài bằng ) nên số đo góc
180o bằng
Do đó, 1 rad = và

Chú ý:

Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo
của góc. Chẳng hạn, cũng được viết là .

Ví dụ 1 (SGK - tr.6)
Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số
góc đặc biệt sau.
Độ
Radian

Gợi ý:

30o

?o
45

π
?
6

60o

?o
90

2π
?
3

π
?3

1 rad =

120o

1o =

? o
135

180o
?π

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành Luyện tập 1 SGK tr.6
Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo

Luyện tập 1

radian của một số góc sau:
Ta có:

Độ

18

Radian

π
?
10

o

?o
40

72

o

2π
?
5

? o
150

;
;
;

2. Góc lượng giác và số đo của chúng
a) Khái niệm
HĐ2

So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:

a) Chiều quay từ tia Om đến
tia Ox trong Hình 3a;
b) Chiều quay từ tia Om đến
tia Oy trong Hình 3b.
Ngược chiều

Cùng chiều

Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm 0 trong mặt phẳng, ta cần
chọn một chiều quay gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn chiều
dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều cùng
chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm.

Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay
chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo
chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến
trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om
quét một góc lượng giác với tia đầu
Ou và tia cuối Ov, kí hiệu là (Ou, Ov).

N
Ậ
U
L
KẾT

Ví dụ 2 (SGK - tr.7)
Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối
của góc lượng giác đó trong Hình 4a.
Giải:
Góc lượng giác là (Ox, Oy) với tia đầu
Ox và tia cuối Oy.

Hoạt động cá nhân
Luyện tập 2

Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của
góc lượng giác đó trong Hình 4b.
Giải:
Góc lượng giác là (Oz, Ot) với tia đầu
Oz và tia cuối Ot.

HĐ3

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi
tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng
(tức là vòng). Hỏi tia đó quét được một góc bao nhiêu độ?
c) Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét
nên một góc bao nhiêu độ?

Giải
a)

b)

c)

Tia Om quét nên

Tia Om quét nên một góc

Tia Om quét nên

một góc là 360°

là .

một góc là -360°

Nhận xét

Mọi góc lượng giác

 Khi tia Om quay góc thì góc lượng giác mà tia

đều có số đo. Điều

đó quét nên có số đo (hay ) → mỗi một góc

này là đúng hay sai?

lượng giác đều có một số đo, đơn vị đo góc
lượng giác là độ hoặc radian.
 Nếu góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo bằng thì
ta kí hiệu là sđ(Ou, Ov) = hoặc (Ou, Ov) = .

KẾT LUẬN
Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia
đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

Ví dụ 3 (SGK - tr.8)

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác
trong mỗi trường hợp sau:

a) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo 510o;
Ta có: 510o = 360o + 150o. Góc lượng giác gốc O
có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo 510o được
biểu diễn như sau:
b) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo - .
Ta có: - . Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối
Ov và có số đo - được biểu diễn như sau:

Luyện tập 3

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia
đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo

Giải
Ta có:
Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou,
tia cuối Ov và có số đo được biểu
diễn ở hình vẽ dưới đây:

2. Góc lượng giác và số đo của chúng
b) Tính chất
HĐ4

Trên Hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia

đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou Ov. Xác định số
đo của góc lượng giác trong các Hình 7b, 7c, 7d.

Ta thấy chiều quay của tia Ou đến Ov là chiều dương, mà
Ou ⊥ Ov nên số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) = 90o.
Ta thấy tia Ou quay một vòng từ Ou đến Ou, rồi quay tiếp
từ Ou đến Ov theo chiều dương. Vậy số đo của góc
lượng giác: (Ou,Ov) = 360o + 90o = 450o
Ta thấy chiều quay của tia Ou đến Ov là chiều âm và số
đo góc lượng giác (Ou, Ov) = -270o

Nhận xét

Sự khác biệt giữa các góc lượng giác có cùng tia
đầu và tia cuối chính là số vòng quay quanh điểm O.

Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của các góc lượng giác đó
chính là bội nguyên của 360o khi các góc đó tính theo đơn
vị độ (hay bội nguyên của 2 rad khi các góc đó tính theo
đơn vị radian.

ĐỊNH LÍ
Nếu một góc lượng giác có số đo (hay radian) thì mọi
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng
giác đó có số đo dạng: (hay ), với k là số nguyên, mỗi
góc ứng với một giá trị của k.

Ví dụ 4 (SGK - tr.9)

Viết công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có
cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng 60o
Giải

Gọi là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác
có số đo bằng 60o. Khi đó, ta có: = 60o + k360o, với k là số nguyên.
Luyện tập 4

Viết công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có
cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng
Giải

Gọi là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác
có số đo bằng . Khi đó, ta có: = .

HĐ5
Cho góc (hình học) xOz, toa Oy nằm
trong góc xOz (Hình 8). Nêu mối
quan hệ giữa số đo của góc xOz và
tổng số đo của hai góc xOy và yOz.
Giải:

Do tia Oy nằm trong góc xOz nên:

HỆ THỨC CHASLES (SA-LƠ)

Với ba tia tùy ý ta có:
,.

Ví dụ 5 (SGK - tr.9)
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là , góc lượng giác (Ou, Ow) có
số đo là . Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).

Giải:

Từ hệ thức Chasles, ta có:
(Ov, Ow) = (Ou, Ow) - (Ou, Ov) + k2
= - + k2 = + k2 (k )

Luyện tập 5
Giải:
Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có

Theo hệ thức Chasles, ta có:

số đo là - , góc lượng giác (Ou,
Ow) có số đo là . Tìm số đo của
góc lượng giác (Ov, Ow).
.

02
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Đường tròn lượng giác
y
Lưu ý

+

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta quy ước:
Chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ

O

x

là chiều dương và chiều quay của kim
đồng hồ là chiều âm. Như vậy, mặt phẳng
toạ độ Oxy đã được định hướng.

-

HĐ6

y
1

a) Trong mặt phẳng tọa độ

+

(định hướng) Oxy, hãy vẽ
đường tròn tâm O với bán

O

kính bằng 1.
b) Hãy

nêu

chiều

-1
1

dương,

chiều âm trên đường tròn
tâm O với bán kính bằng 1.

-1

-

x

KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Trong mặt phẳng tọa độ đã được
định hướng Oxy, lấy điểm A(1; 0).
Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1
được gọi là đường tròn lượng giác
(hay đường tròn đơn vị) gốc A.

Dựa vào đường tròn lượng giác ở phần HĐ6a, các em hãy xác định
điểm B(0; 1), A'(-1; 0), B'(0; -1) và cho biết chúng nằm ở vị trí nào?
Chú ý

B
A
A'

Các điểm B(0; 1), A'(-1; 0), B'(0; -1)
nằm trên đường tròn lượng giác.

B'

Ví dụ 6 (SGK - tr.10)

Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác
sao cho (OA, OM) = 135o
Giải

Gọi M là điểm chính giữa của cung BA'
trên đường tròn lượng giác.
Ta có: (OA, OM) = 135o

Luyện tập 6

Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,
ON) = -

Giải:
Ta có (OA, ON) = là góc lượng giác có tia đầu là
tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều âm
(chiều quay của kim đồng hồ) một góc .
Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,
ON) = được biểu diễn như hình bên:

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
HĐ7
a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng
giác sao cho (OA, OM) = 60 .
o

b) So sánh: hoành độ của điểm M với
cos60 ; tung độ của điểm M với sin60 .
o

o

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
HĐ7
a) Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác
có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và
quay theo chiều dương một góc 60°.
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao
cho (OA, OM) = 60° được biểu diễn như
hình bên:

M
60°

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
HĐ7
b) Ta có:

yM

M
1

60°
xM

Hoành độ và tung độ điểm M lần lượt
bằng cos⁡60o và sin⁡60o

TỔNG QUÁT:
Trong trường hợp tổng quát, với
mỗi góc lượng giác α, lấy điểm
M trên đường tròn lượng giác
sao cho (OA, OM) = α

Gọi tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Oxy là (x; y). Ta có các khái niệm sau:

Ví dụ 7 (SGK - tr.11)

Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác = 120o

Gợi ý:
 Các em cần xác định được điểm M trên đường
tròn lượng giác sao cho .
 Khi đó, gọi H và K là hình chiếu của M lên trục
hoành và trục tung, ta sẽ tính được từ .
 Sử dụng hệ thức trong tam giác vuông MKO, ta
tính được tọa độ điểm M chính là giá trị cos và
sin của góc

Thảo luận nhóm 3HS
Luyện tập 7

Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giải
Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác
sao cho
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của
điểm M trên các trục Ox, Oy.
Khi đó, ta có: , suy ra

Thảo luận nhóm 3HS
Luyện tập 7

Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giải
Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:
;
Do đó
Vậy ;
.

HĐ8 Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác = - 30o
Giải
Giả sử M là một điểm trên đường tròn lượng
giác sao cho (OA, OM) = α = ‒30°. Điểm M
được biểu diễn như hình vẽ sau:
Khi đó ta có
Suy ra và
Do đó và

Dấu của các giá trị lượng giác của góc α = (OA,OM) phụ thuộc vào vị trí
điểm M trên đường tròn lượng giác (Hình 12).
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau:
Góc phần tư
Giá trị
lượng giác

I

II

III

IV

+

-

-

+

+

+

-

-

+

-

+

-

+

-

+

-

Ví dụ 8 (SGK - tr.11)
Giải:

Xét dấu các giá trị lượng
giác của góc lượng giác

Luyện tập 8

Giải:
Giả sử điểm M trên đường tròn lượng

Xét dấu các giá trị lượng
giác của góc lượng giác

giác sao cho .
Do nên điểm M nằm trong góc phần tư
thứ II.
Do đó
.