Hai bạn Lan và Bình trao đổi một bài toán
Lan nói: 993 – 99
chia hết cho cả ba
số 98, 99 và 100

Bình trả lời: Đúng
rồi. Vì n3 – n chia
hết cho n, n -1, n + 1
mà.(n  N, n > 1)

Phát biểu của hai bạn có đúng không ? Vì sao?
08:50 AM

19
G

CH
ƯƠ
N

BÀI 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
(3 tiết: 13,14,15)
Phân tích được đa thức thành nhân tử bằng
cách đặt nhân tử chung.

MỤC TIÊU

Vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức.

Vận dụng hằng đẳng thức thông qua nhóm
hạng tử và đặt nhân tử chung.

08:50 AM

1.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đó
thành một tích của những đa thức. Mỗi đa thức này gọi là một
nhân tử của đa thức đã cho.
2
Ví
Phân
tích
thức
A =tích
3xy của
+ 6xnhững
y + 12x
Ví dụ
dụ:1:Hãy
viết
2x2đa
- 4x
thành
đathành
thức. nhân tử.
22
A = 3xy
+
6x
12x
= 3x.y
+ 3x.2xy
+ -3x.4
Ta có: 2xy -+4x
= 2x.x
- 2x.2
= 2x(x
2) = 3x(y + 2xy + 4)

Thực hành1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
P = 6x– 2x3
Q = 5x3 – 15x2y
R = 3x3y3 – 6xy3z + xz
S = (x - 3)y - (3 - x)z
08:50 AM

A
? B
? E
? L
?
Em hãy phân tích các đa thức sau thành nhân
tử, mỗi kết quả đúng sẽ lật đi một dấu ?
?) 3x - 6y = 3(x - 2y)
2 2
3
2
2 2
?) 5 x  5 x  x y  x ( 5  5 x  y )
2
2
2
?) x( y  1)  y ( y  1)  ( y  1)( x  y )
5
5
5
?) 10x(x - y) - 8y(y - x) = … = 2(x - y)(5x + 4y)

08:50 AM

Niels Henrik Abel (5 tháng 8 năm 1802–
6 tháng 4 năm 1829), là một nhà toán học
 người Na Uy có nhiều đóng góp trong giải
tích và đại số, trong đó có chứng minh
phương trình bậc năm không giải được
bằng căn thức. lúc 14 tuổi đã có công
trình nghiên cứu đầu tiên về cấu trúc đại
số ... Giải Abel được đặt theo tên ông.
Các công trình nổi tiếng như:Phương trình
Abel, chứng minh định lý nhị thức tổng
quát....

5

08:50 AM

2.PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC

Bài tập: Tìm biểu thức thích hợp để viết vào chỗ (…) rồi phân tích mỗi đa thức
sau thành nhân tử.
(2x + 3)(2x – 3)
2x 2 – (…)
a) 4x2 – 9 = (….)
3 2 = ……………..
𝟏
2 2
2
2
(x + )(x – )
b) x y – = (…) xy- (.... )2 =𝐲……………
𝟐
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức thành nhân tử
2
2 trên gọi là phân tích
Cách làm
bài5)
tập
a) A = x2 + 10x + 25 = x2 +2.x.5
+ 5như
= các
(x +
đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
3
3
3
3
2
2
2
2
b)B = x + 8y = x + (2y) = (x + 2y)(x
–
x.(2y)
+
(2y)
)
=
(x
+
2y)(x
–
2xy
+
4y
)
dùng hằng đẳng thức
c) C = 2ax2 – 18ay2 = 2a(x2 – 9y2) = 2a(x2 – (3y)2) = 2a(x – 3y)(x + 3y)
Thực hành 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 9x2 - 16
b) 4x2 – 12xy + 9y2
c) t3 – 8
d) 2ax3y3 + 2a
Vận dụng 1.Tìm một hình hộp có thể tích 2x3 - 18x (với x > 3)
mà độ dài các cạnh là biểu thức chứa x.

08:50 AM

Hai bạn Lan và Bình trao đổi một bài toán
Lan nói: 993 – 99
chia hết cho cả ba
số 98, 99 và 100
993 – 99 = 99(992 – 1)
= 99(99 – 1)(99 +1)
= 99.98.100 chia hết
cho 98,99,100

Bình trả lời: Đúng
rồi. Vì n3 – n chia
hết cho n, n -1, n + 1
mà.(n  N, n > 1)

n3 – n = n(n2 – 1)
= n(n – 1)(n +1)
= n.(n – 1).(n + 1) chia
hết cho n, (n – 1), (n + 1)

Phát biểu của hai bạn có đúng không ? Vì sao?
08:50 AM

3.PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
Bài tập: Hoàn thành biến đổi sau để phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(a + 2)
a2 + ab + 2a + 2b = (a2 + ab) + (2a + 2b) = …….
Em có thể biến đổi theo cách khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử không?
a2 + ab + 2a + 2b = (a2 + 2a) + (ab + 2b) = a(a + 2) + b(a + 2) = (a + 2)(a + b)
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử
Cách làm như các bài tập trên gọi là phân tích
(x2 –đa3x)
+ thành
(xy –nhân
3y) tử
= bằng
x(x –phương
3) + y(x
– 3)
thức
pháp

a) D = x – 3x + xy – 3y =
= (x – 3)(x + y)
b)E = x2 – 4x + 4 – y2 = (x2 – 4x + 4) – y2 =nhóm
(x – hạng
2)2 – tử
y2 = (x – 2 + y)(x – 2 – y)
c) F = x3 + 2x2 – 2x – 1 = (x3 – 1) + (2x2 – 2x) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 2x(x – 1)
= (x – 1)(x2 + 3x + 1)
2

Thực hành 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) a3 – a2b + a – b.
b) x2 – y2 + 2y – 1

08:50 AM

3.PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
Vận dụng 3. Có thể ghép 4

tấm pin mặt trời với kích thước
như hình bên thành một hình chữ
1
a
nhật không ?

b

b

a diện tích hình chữ nhật đó,
Hãy tính ađộ dài các cạnh và
biết a = 0,8m, b = 2m.
a
1
Độ dài các cạnh hình chữ nhật là:
a + 1 = 0,8 + 1 = 1,8(m),
a + b = 0,8 + 2 = 2,8(m)
Diện tích hình chữ nhật là:
S = 1,8 .2,8 = 5,04 (m2

08:50 AM

Đặt nhân tử chung
Các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử

Sử dụng hằng đẳng thức
Nhóm hạng tử

Ví dụ:Phân tích đa thức 4x3 + 8 x2y + 4xy2 thành nhân tử
Ta có: 4x3 + 8 x2y + 4xy2 = 4x(x2 + 2xy + y2) (Đặt nhân tử chung)
= 4x(x + y)2
(Sử dụng hằng đẳng thức)

08:50 AM

BÀI TẬP
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.Bằng cách phối hợp các phương pháp cơ bản.
Phương pháp: Sử dụng, phối hợp các phương pháp (Đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng
thức, nhóm hạng tử) để phân tích đa thức thành nhân tử .
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
b)(x – y)2 – x(y – x)
a) 4x3 – 16x
c)x2 + 2xy – 4x – 8y
d)x3 + 2x2y +xy2 – 9x
2.Bằng phương pháp tách hạng tử.
Phương pháp: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử sau đó nhóm hạng tử để phân tích đa
thức thành nhân tử.
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 5x + 6

b) x3 – 5x2 + 8x – 4

08:50 AM

BÀI TẬP
Phân tích đa thức thành nhân tử.
2.Bằng phương pháp tách hạng tử.
Phương pháp: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử sau đó nhóm hạng tử để phân tích đa thức
thành nhân tử.
Tách hạng tử bx = b1x + b2x
Nhóm 2 hạng tử với nhau thành
Đa thức bậc hai
một nhóm rồi đặt nhân tử chung
sao cho: b1 +b2 = b; b1.b2 =a.c
ax2 + bx + c

A = B.C
Đa thức có bậc
Nhẩm nhiệm để tìm được
nghiệm x = a của đa thức
cao hơn bậc hai
tậpPhân
: Phân
thức
thành
nhân
Bài 2:
tíchtích
cáccác
đa đa
thức
sausau
thành
nhân
tử:tử:

Tìm cách tách các hạng tử trong đa thức
để xuất hiện các nhân tử chung là (x – a)

3x –+ 42
a) x2 –+ 5x + 6
b) 3x2 + 9x – 30b) x3 –c)5xx22 +– 8x
2
3
2 2
2
=
x
=
x
–
x
–
4x
+–4x
2 + 3x + 2x + 6
2
f)
x
–
5x
14+ 4x – 4
d) x – 9x + 18
e) x – 6x + 8
2
=
x
(x – 1)2 – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= x(x
+
3)
+
2(x
+
3)
2
2
x –2 7x + 10
g) x + 6x + 5
h) x – 7x + 12 = (x –i)1)(x
– 4x + 4)
= (x + 3)(x + 2)
= (x – 1)(x – 2)2

08:50 AM

BÀI TẬP
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.Bằng cách phối hợp các phương pháp cơ bản.
Phương pháp: Sử dụng, phối hợp các phương pháp (Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng
thức, nhóm hạng tử) để phân tích đa thức thành nhân tử .
2.Bằng phương pháp tách hạng tử.
Phương pháp: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử sau đó nhóm hạng tử để phân tích đa thức
thành nhân tử.
3.Bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử.
Phương pháp: Thêm, bớt cùng một hạng tử sau đó sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để
phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x4 + 4

b) x5 + x + 1

08:50 AM

BÀI TẬP
Phân tích đa thức thành nhân tử.
3.Bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử.
Phương pháp: Thêm, bớt cùng một hạng tử sau đó sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để
phân tích đa thức thành nhân tử.
Đa thức có dạng

Thêm và bớt hạng tử 2M2nN2n
để làm xuất hiện : (A + B)2

Đa thức có dạng

Thêm và bớt hạng tử để làm xuất
hiện nhân tử chung: (x2  x + 1)

M4n + N4n

Sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2

A = B.C
x3n+1 + x3n+2  1

Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
b) x5 + x + 1
a) x4 + 4
= x5 – x2 + x2 + x + 1
= x4 + 4x2 - 4x2 + 4
= x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2
= x2(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
c) 4x4 + y4
d) x5 + x – 1

08:50 AM

BÀI TẬP
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.Bằng cách phối hợp các phương pháp cơ bản.
Phương pháp: Sử dụng, phối hợp các phương pháp (Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng
thức, nhóm hạng tử) để phân tích đa thức thành nhân tử .
2.Bằng phương pháp tách hạng tử.
Phương pháp: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử sau đó nhóm hạng tử để phân tích đa thức
thành nhân tử.
3.Bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử.
Phương pháp: Thêm, bớt cùng một hạng tử sau đó sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để
phân tích đa thức thành nhân tử.
4.Bằng phương pháp đặt biến(ẩn) phụ.
Phương pháp: Đặt các hạng tử giống nhau thành một biến mới để đưa đa thức đã cho về đa
thức mới với biến đã đặt. Áp dụng các phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2

b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1

Đặt nhân tử chung
Sử dụng hằng đẳng thức
Các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử

Nhóm hạng tử
Tách hạng tử
Thêm, bớt hạng tử
Đặt biến (ẩn) phụ

08:50 AM

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Nhận biết và vận dụng các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân
tử.
- Hoàn thành bài tập còn lại trong SGK, SBT và các bài tập làm thêm.
Chuẩn bị trước Bài 5. Phân thức đại số.

08:50 AM