4






THUẬT NGỮ
Phép quay
Góc quay, tâm quay
Phép đối xứng
Tâm đối xứng

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
 Nhận biết phép quay, phép đối xứng tâm và các tính chất
của chúng..
 Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn
qua phép quay, phép đối xứng tâm.
 Vận dụng phép quay, phép đối xứng tâm trong đồ họa và
trong một số vấn đề thực tiễn.

4

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

Bàn ăn tròn đông người thường được thiết kế sao cho mặt bàn tròn nơi đặt
đồ ăn có thể quay quanh tâm của nó. Nhờ đó, đồ ăn trên bàn có thể đi tới
được gần từng người, mà vị trí đặt mặt bàn không bị dịch chuyển. Cơ sở
toán học nào cho phép thực hiện điều đó?

Mặt bàn tròn nơi đặt đờ ăn (hình tròn nhỏ) có thể quay quanh tâm của nó.

1. PHÉP QUAY
HĐ1. Ở mặt bàn ăn quay nói trên, trong một lần quay, nếu một đĩa thức ăn trên bàn được quay
một phần tư vòng tới vị trí mới, thì mỗi đĩa không đặt ở chính giữa bàn có được quay một phần
tư vòng tới vị trí mới hay không?
Giải:
Mỗi đĩa thức ăn không đặt ở chính giữa bàn nhưng đặt ở trên phần bàn xoay đều quay được một phần tư
vòng tới vị trí mới.
Mỗi đĩa thức ăn không đặt ở giữa bàn và không đặt ở trên phần bàn xoay thì không quay được một phần tư
vòng tới vị trí mới.

Cho điểm O và góc lượng giác  . Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M
khác O thành điểm M  sao cho OM  OM và các góc lượng giác OM , OM   gọi là phép quay
tâm O , góc quay  , kí hiệu Q(O, ) . Điểm O gọi là tâm quay,  gọi là góc quay của phép quay đó.
? Phép quay với góc quay bằng 0 có gì đặc biệt?
Giải:
Phép quay tâm O với góc quay bằng 0 biến điểm O
thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành chính
nó.

Chú ý:
- Chiều dương, chiều âm của đường tròn lượng giác được quy ước
tương ứng là ngược chiều, cùng chiều quay của kim đồng hồ (H.1.20b).
- Hai phép quay có cùng tâm và có hai góc quay sai khác nhau bội của
(hay
) thì trùng nhau.

Ví dụ 1: Trong Hình 1.21, ABCD là hình vuông có tâm O . Hãy chỉ ra ảnh của điểm A qua các phép
quay Q   , Q   , QO ,  , Q 3  .
 O, 
 2

 O, 
2


 O, 
 2 

Giải:

Vì OA OB và góc quay
Vì OA OD và góc quay 


nên phép quay Q   biến điểm A thành điểm B .
2
 0, 
 2

nên phép quay Q   biến điểm A thành điểm D .
2
 0,  
2


Tương tự, phép quay Q( O , ) biến điểm A thành điểm C , phép quay Q

3 
 0, 
 2 

điểm D .

biến điểm A thành

Luyện tập 1. Trong Hình 1.22, tam giác ABC đều.

Hãy chỉ ra ảnh của điểm B qua phép quay Q A,60o .





Gọi D là ảnh của C qua phép quay Q A,60o .





Hỏi B và D có mối quan hệ gì đối với đường thẳng AC ?

Giải:

 600 Do đó phép quay Q
Tam giác ABC đều nên AB = AC và  BAC
(A, 60°) biến điểm B
thành điểm C.
 6000
Vì D là ảnh của C qua phép quay Q(A, 60°) nên AC = AD và CAD
Khi đó tam giác ACD là tam giác đều nên AC = AD = DC.
Mà AB = AC = BC (tam giác ABC đều).
Do đó, AB = BC = CD = AD, suy ra tứ giác ABCD là hình thoi.
Khi đó hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AC là đường
trung trực của đoạn thẳng BD.
Vậy B và D đối xứng nhau qua đường thẳng AC hay B là
ảnh của D qua phép đối xứng trục AC.

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP QUAY

HĐ 2. Khi mặt bàn ăn quay, mặc dù các đĩa thức ăn trên bàn đều dịch chuyển tới vị trí
mới nhưng khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn có bị thay đổi hay không?
Giải:
Khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn không bị thay đổi khi mặt bàn ăn quay.
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất
Phép quay biến:
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Tam giác thành tam giác bằng nó;
Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;
Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự
ba điểm đó;
Tia thành tia;
Góc thành góc bằng nó;
Đường thẳng thành đường thẳng.

Ví dụ 2: Trong Hình 1.25, ABC là tam giác đều, có tâm O. Tìm ảnh của đoạn thẳng AB và ảnh của tam
giác ABC qua phép quay Q 0,120o .





Giải:

Phép quay Q o ,120o , biến A thành B , biến B thành C , biến C thành A . Do đó, phép quay





Q o ,120o biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng BC và biến tam giác ABC thành chính nó.





Luyện tập 2: Trong Hình 1.26, ABCDEF là lục giác đều có tâm O . Tìm ảnh của tam giác ACE qua các
phép quay Q   , Q 2  .
 0, 
 3

 0, 

3 


Giải:
 COD
 DOE
 EOF
 FOA
 6000 
Ta có: ABCDEF là lục giác đều nên 
  BOC
AOB
3
và OA = OB = OC = OD = OE = OF.
Do đó, phép quay Q  3 biến các điểm A, C, E tương ứng thành
( O ,, ))
các điểm B, D, F.
33
Vậy phép quay  Q( O ,  )
O, )
33
BDF.

3 biến tam giác ACE thành tam giác



  2
 EOC
  2
AOE

AOF

EOF
COA
Ta có: 
3 tương tự
3
2
Q
Vì OA = OE và góc quay  
nên phép quay   (O , 23 ) biến điểm A thành điểm E.
3
Q 2
2
Vì OC = OA và góc quay 
 nên phép quay  ( O , 3 ) biến điểm C thành điểm A.
3
Vì OE = OC và góc quay   2 nên phép quay Q(O ,  2 )  biến điểm E thành điểm C.
3
3

Vậy phép quay  Q(O , 2 )  biến tam giác ACE thành tam giác ECA hay biến tam giác
ACE thành chính nó.

3

Vận dụng 1: Trong tình huống mở đầu, mặt bàn tròn đặt đồ ăn được thiết kế để có thể quay quanh tâm
mặt bàn. Coi mặt bàn tròn là hình tròn tâm O , bán kính R . Hỏi, khi thực hiện phép quay tâm O
với góc quay  bất kì thì:
- Điểm O biến thành điểm nào?
- Đường tròn (O, R) biến thành đường tròn nào?
- Vị trí của mặt bàn có bị dịch chuyển hay không?
Giải:
Điểm O là tâm quay nên khi thực hiện phép quay tâm O với góc quay α bất kì thì điểm O
biến thành điểm O, đường tròn (O; R) biến thành đường tròn (O; R).
Vậy vị trí của mặt bàn không bị dịch chuyển.

3. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

HĐ2. Trong Hình 1.27, hãy chỉ ra ảnh của các điểm A, B, C , M , N , P qua phép quay tâm O , góc quay 

Giải:
M là ảnh của A qua phép quay tâm O, góc quay π.
N là ảnh của B qua phép quay tâm O, góc quay π.
P là ảnh của C qua phép quay tâm O, góc quay π.
A là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay π.
B là ảnh của N qua phép quay tâm O, góc quay π.
C là ảnh của P qua phép quay tâm O, góc quay π.
Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O
thành điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM' được gọi là
phép đối xứng tâm O, kí hiệu . Điểm
được gọi là tâm đối xứng.

Nhận xét
- Phép đối xứng tâm O chính là phép quay tâm O, góc quay π, do đó, nó
có đầy đủ các tỉnh chất của phép quay.
- Nếu M' là ảnh của M qua

thì M cũng là ảnh của M' qua

nếu hình H' là ảnh của hình H qua

. Do đó,

thì H cũng là ảnh của H' qua

và ta nói H và H' đối xứng với nhau qua O (H.1.29a).
-

biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

- Hình H nhận điểm O là tâm đối xứng khi và chỉ khi
chính nó (H.1.29b)..

biến H thành

,

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng  : x  3 y  2 0 . Viết phương trình đường
thẳng  đối xứng với đường thẳng  qua điểm I 1;2  .

Giải

Lấy hai điểm A 2;0  và B  1;1 thuộc đường thẳng  . Gọi A, B tương ứng là các điểm đối xứng với
A, B qua I 1; 2  . Vì  đối xứng với  qua I 1; 2  nên  đị qua A, B.

Do I là trung điểm của đoạn thẳng AA nên toạ độ  x A; y A  của A thoả mãn
Do I là trung điểm của đoạn thẳng BB nên toạ độ  xB; yB  của B thoả mãn


Đường thẳng  đi qua A0;4  và B3;3 nên nhận AB 3;  1 là một vectơ chỉ phương. Do đó,

n 1;3 là một vectơ pháp tuyến của 

Vậy

có phương trình

Luyện tập 3. Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tìm
ảnh của đường thẳng AB qua
.

Giải

Ta có: AC cắt BD tại O nên O là trung điểm của AC và BD.
Ta có: C là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O; D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O. 
Do đó: CD là ảnh của AB qua phép đối xứng tâm O.
Vận dụng 2: Quan sát Hình 1.30, những phát biểu nào trong các
phát biểu sau là đúng?
a) Hình vẽ nhận điểm O (được tô đỏ) làm tâm đối xứng.
b) Một đường thẳng bất kì đi qua điểm O sẽ chia hình vẽ thành
hai nửa A và B giống nhau. Nếu thực hiện phép quay tâm O, góc
quay 180 thì nửa A biến thành nửa B, tức là, B là ảnh của A qua
một phép đối xứng tâm O.
c) Có thể chia hình vẽ thành bốn phần giống nhau.
Phát biểu a, b, c đều đúng. 

LUYỆN TẬP
1.11. Trong Hình 1.31, BAM và CAN là các tam giác vuông cân tại A.
Hãy chỉ ra một phép quay biến tam giác ABC thành tam giácAMN.

Giải
Tam giác BAM vuông cân tại A nên AB = AM và 
 900
BAM
. Do đó, ta có phép quay Q
 biến điểm A thành điểm
(A, – 90°)

A, biến điểm B thành điểm M (1).
 900
CAN
Tam giác ACN vuông cân tại A nên AC = AN và 
.

Do đó, ta có phép quay Q(A, – 90°) biến điểm C thành điểm N (2).
Từ (1) và (2) suy ra phép quay Q(A, – 90°) biến tam giác ABC thành tam giác AMN.

1.12. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông, theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ), thứ tự các đỉnh hình vuông là A, B, C, D.

a) Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép quay tâm O góc quay .
2

b) Mỗi phép quay Q( O ,0) , Q( O ,  ) , Q( O , ) , Q( O , 3 ) biến hình vuông ABCD thành hình nào?
2

Giải

2

a) Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau tại tâm O và OA = OB = OC = OD.

Q

Khi đó, phép quay  


(O , )
2

biến các điểm A, B, C, D

tương ứng thành các điểm B, C, D, A.

1.12. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông, theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ), thứ tự các đỉnh hình vuông là A, B, C, D.
a) Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép quay tâm O góc quay  .

2
b) Mỗi phép quay Q( O ,0) , Q( O ,  ) , Q( O , ) , Q( O , 3 ) biến hình vuông ABCD thành hình nào?
2

Giải

2

b) Phép quay Q(O, 0) biến hình vuông ABCD thành hình vuông ABCD.
Từ câu a, suy ra phép quay  Q( O ,  ) biến hình vuông ABCD thành hình
2

vuông BCDA.

Phép quay Q(O, π) biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm C,
D, A, B. Do đó phép quay Q(O, π) biến hình vuông ABCD thành hình
vuông CDAB.
Phép quay Q( O , 33 ))  biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm
22

D, A, B, C. Do đó phép quay Q

(O ,

vuông DABC.

  biến hình vuông ABCD thành hình

3
)
2

1.13. Cho hình bình hành ABCD với tâmO.
a) Tìm ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng tâm O.
b) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O.

Giải
Vì ABCD là hình bình hành nên tâm O là trung điểm
các đường chéo AC và BD.
O là trung điểm của AC nên C là ảnh của A qua ĐO.
O là trung điểm của BD nên D là ảnh của B qua ĐO.
Do đó, CD là ảnh của đường thẳng AB qua ĐO.
Lại có A là ảnh của C qua ĐO. Vậy tam giác CDA là
ảnh của tam giác ABC qua ĐO.

2
2
1.14. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x  2)  y . 1

a) Tìm toạ độ tâm đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua Q


( O , ))
2

b) Viết phương trình (C').

.

Giải
Ta có (C): (x – 2)2 + y2 = 1. Suy ra đường tròn (C) có tâm I(2; 0) và bán kính R = 1.

Vì (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép quay  Q( O ,  )) nên tâm I' của đường tròn
22

(C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép quay  Q( O ,  )
Vì I(2; 0) nên I'(0; 2).

2

b) Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán
kính nên bán kính của đường tròn (C') là 1.
Vậy phương trình đường tròn (C') là x2 + (y – 2)2 = 1.