KHỞI ĐỘNG
Vào khoảng thời gian giữa mùa hè, ở
phía bắc của vòng Bắc Cực (như một
số vùng phía bắc của Na Uy, Phần
Lan, Nga, ...), Mặt Trời có thể được
nhìn thấy trong suốt 24 giờ của ngày.
Hình học giải thích hiện tượng này
như thế nào?

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG
GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 24. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC.
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
MẶT PHẲNG

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

Phép chiếu vuông góc

02

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC

HĐ 1

Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân.

a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn
như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu song song hay không?
b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan sát
được bóng của cây cột trên sân hay không?

Giải

a) Phép chiếu song song theo phương tia sáng mặt trời lên mặt sân.
b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân thì hình chiếu của cột
thu về chân cột nên ta không thể quan sát.

KẾT LUẬN
Phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương ∆ vuông góc với
được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng .
Chú ý:
•

Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng có đầy đủ các tính chất của
phép chiếu song song.

•

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng còn được gọi là phép chiếu lên mặt
phẳng Hình chiếu vuông góc của hình trên còn được gọi là hình chiếu
của trên

a) Nếu là một điểm không thuộc mặt phẳng và là hình chiếu của
trên thì đường thẳng có quan hệ gì với mặt phẳng ?
b) Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì hình chiếu của
trên là gì?

Trả lời:
a) vuông góc với mặt phẳng
b) Trong trường hợp này, hình chiếu vuông góc của đường thẳng
trên mặt phẳng là một điểm, là giao điểm của và

HĐ 2

Cho đường thẳng và mặt phẳng không vuông góc với nhau. Xét
là một đường thẳng nằm trong . Trên , lấy hai điểm tuỳ ý. Gọi
tương ứng là hình chiếu của trên

a) Hình chiếu của

trên mặt phẳng

là

đường thẳng nào?
b) Nếu vuông góc với thì có vuông góc với
hay không?
c) Nếu vuông góc với thì có vuông góc với
hay không?

mặt phẳng (H.7.34).

 Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng và mặt phẳng không vuông góc với
nhau. Khi đó, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và
vuông góc với đường thẳng khi và chỉ khi vuông góc với
hình chiếu vuông góc của trên

Ví dụ 1: Trên một sân phẳng nằm ngang, tại các điểm A, B, C, D, người ta
dựng các cột thẳng đứng AM, BN, CP, DQ và nối các sợi dây thẳng giữa M
và P, N và Q như Hình 7.35.
a) Hãy chỉ ra hình chiếu của các dây MP và NQ
trên sân.
b) Chứng minh rằng nếu BD AC thì BD MP.
c) Chứng minh rằng nếu ABCD là một hình
bình hành thì các trung điểm E, F tương ứng
của các đoạn thẳng MP và NQ có cùng hình
chiếu trên sân.

Luyện tập 1
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Gọi O là
hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) (H.7.36).
a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
b) Xác định hình chiếu của đường thẳng SA trên
mặt phẳng (ABC).
c) Chứng minh rằng nếu AO ⊥ BC  thì SA ⊥ BC.
d) Xác định hình chiếu của các tam giác SBC,
SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC).

Giải
a) Do
nên
Vậy O là tâm đường trọn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Hình chiếu của trên mặt phẳng là
c) Do nên ,
mà suy ra BC
Do dó .
d) Hình chiếu của mỗi tam giác trên mặt phẳng
(ABC) lần lượt là tam giác

2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG

HĐ 3
Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn 240km/h trong suốt
2 phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định
độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm 1 phút kể từ
khi máy bay cất cánh không?
Thông tin chưa đủ để xác định
độ cao.

KẾT LUẬN
 Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng
 Nếu đường thẳng

không

vuông góc với mặt phẳng
thì góc giữa và hình chiếu
của nó trên được gọi là góc
giữa đường thẳng và mặt
phẳng

Chú ý:
Nếu là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì .

Nhận xét:
Cho điểm có hình chiếu trên mặt
phẳng Lấy điểm thuộc mặt phẳng
không trùng Khi đó góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng bằng góc

Ví dụ 2: Cho hình chóp có
a) Gọi là góc giữa và Tính .
b) Tính góc giữa và

Giải:
a) Do nên
Tam giác vuông tại nên

Giải:
b) Gọi là trung điểm của .
Tam giác cân tại nên .
Mặt khác, từ ta có Do đó .
Vậy góc giữa và bằng
Tam giác vuông tại nên
Ta có
Do đó, tam giác vuông cân tại và
Tam giác vuông tại và
Vậy và do đó góc giữa và bằng

Vận dụng
Tâm Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo
quỹ đạo là một đường elip nhận tâm Mặt Trời làm
tiêu điểm. Trong quá trình chuyển động, Trái Đất
lại quay quanh trục Bắc Nam. Trục này có phương
không đổi và luôn tạo với mặt phẳng chứa quỹ đạo
một góc khoảng 66,5°.
(Theo nationalgeographic.org).
a) Giải thích vì sao hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo (P) cũng có
phương không đổi.
b) Giải thích vì sao có hai thời điểm trong năm mà tại đó hình chiếu của trục Trái Đất trên
mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.

Giải
a) Gọi là một vị trí của trục Trái Đất; tương ứng là hình chiếu của trên
Nếu có phương không đổi thì hình chiếu của lên có phương không đổi; nên
có phương không đổi.
Gọi là một vị trí trục của Trái Đất khác trục ; tương ứng là hình chiếu của trên
Ta có: có phương khác phương chiếu;
// hoặc và trùng nhau (tính chất phép chiếu song song).
Vậy hình chiếu của trục Trái Đất có phương không đổi.

Giải
b) Gọi là đường thẳng đi qua tâm Mặt Trời và có phương là phương chiếu của
trục Trái Đất trên .
Suy ra có phương không đổi.
Khi đó hình chiếu của trục Trái Đất xuống thuộc đường thẳng khi và chỉ khi
tâm Trái Đất là giao của với đường elip quỹ đạo của Trái Đất.
Vậy có hai vị trí thuộc quỹ đạo, ứng với hai thời điểm trong năm mà hình chiếu
của trục Trái Đất trên thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.

Khám phá
Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng . Khi
đó, với một đường thẳng bất kì, góc giữa và có
mối quan hệ gì với góc giữa và  ?

Giải
Trường hợp 1. Đường thẳng không vuông góc với và cắt tại một điểm .
Lấy điểm khác thuộc và gọi là hình chiếu vuông góc của trên .
Khi đó, và
Vậy góc giữa và phụ với góc giữa và .

Khám phá
Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng . Khi
đó, với một đường thẳng bất kì, góc giữa và có
mối quan hệ gì với góc giữa và  ?

Giải
Trường hợp 2: vuông góc với nên
Trường hợp 3: song song hoặc thuộc .
Khi đó, và .
Như vậy kết luận đã nêu trong trường hợp 1 cũng đúng đối với cả hai
trường hợp sau.

Trải nghiệm
Đo góc giữa một sợi dây kéo căng và
mặt bàn hoặc sàn lớp học. (Có thể cho
một đầu sợi dây thuộc mặt bàn, mặt
sàn để thuận tiện hơn cho việc đo.)

LUYỆN TẬP

Trò Chơi “Đua xe”

Câu 1. Cho hình chóp có vuông góc với mặt
phẳng , tam giác vuông tại và (minh họa hình
vẽ bên). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng

A

B

90

∘

C

45

∘

D

30

∘

60

∘

Câu 2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông
cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy, . Tính sin
của góc giữa và mặt phẳng .

A

2√ 2
3

C

3 √ 17
17

B

3 √2
4

D

2 √ 34
17

Câu 3. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh
bằng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng

A

B

60

∘

C

45

∘

D

30

∘

90

∘

Câu 4. Cho hình chóp có đáy là hình vuông
cạnh bằng , có các cạnh bên đều bằng Diện
tích hình chiếu vuông góc của tam giác trên
mặt phẳng là:
A

B

𝑎2
2

𝑎

2

C

2𝑎

D

𝑎2
3

2

Câu 5. Cho hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc
với đáy. Cho biết Diện tích hình chiếu vuông góc
của tam giác trên mặt phẳng

A

3
2
𝑐𝑚
4

C

B

3
2
𝑐𝑚
2

D

1
𝑐 𝑚2
2

3𝑐𝑚

2

Bài 7.10 (SGK – tr.42) Cho hình chóp có tam giác vuông tại .
a) Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
b) Xác định hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng
c) Xác định hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng

Giải
S

a) Ta có nên là hình chiếu của trên
b) là hình chiếu của S trên
là hình chiếu của trên

A

C
B

là hình chiếu của trên
⇒ Hình chiếu của tam giác trên là tam giác

Bài 7.10 (SGK – tr.42) Cho hình chóp có tam giác vuông tại .
a) Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
b) Xác định hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng
c) Xác định hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng

Giải
S

c)   là hình chiếu của trên
là hình chiếu của chính nó trên
⇒ Hình chiếu của tam giác trên là đoạn

A

C
B

Bài 7.11 (SGK-tr.42) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và 
a) Tính góc giữa và mặt phẳng
b) Tính góc giữa và mặt phẳng
c) Tìm hình chiếu của trên mặt phẳng

Giải

a) là hình chiếu của trên
Xét tam giác vuông tại có
Xét tam giác SAC vuông tại A có
Vậy

Bài 7.11 (SGK-tr.42) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và 
a) Tính góc giữa và mặt phẳng
b) Tính góc giữa và mặt phẳng
c) Tìm hình chiếu của trên mặt phẳng

Giải

b)

c) Gọi mà
là hình chiếu của trên (SAC)
Vậy hình chiếu của SB trên (SAC) là SO.

Bài 7.12 (SGK-tr.42) Cho hình chóp có tam giác vuông tại  
a) Xác định hình chiếu của trên mặt phẳng
b) Tính góc giữa và mặt phẳng
Giải
a) Trong (SAB) kẻ tại D.

}

𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐷
⇒ 𝐴𝐷 ⊥ ( 𝑆𝐵𝐶 )
𝑆𝐵 ⊥ 𝐴𝐷
𝐵𝐶 ∩𝑆𝐵={ 𝐵}
D là hình chiếu của trên (SBC).

Giải
b) là hình chiếu của trên
Xét tam giác vuông tại có
Xét tam giác SAC vuông tại A có
Vậy

Bài 7.13 (SGK – tr.43)
Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P), có hình chiếu H trên (P). Với mỗi
điểm M bất kì (không trùng H) trên mặt phẳng (P), ta gọi đoạn thẳng SM là
đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu trên (P) của đường xiên đó.
Chứng minh rằng:
a) Hai đường xiên SM và SM' bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu HM
và HM' tương ứng của chúng bằng nhau;
b) Đường xiên SM lớn hơn đường xiên SM' nếu hình chiếu HM lớn hơn
hình chiếu HM'.

Giải
a)
+) Giả sử
Ta có (ch – cgv)
+) Giả sử
Ta có (hai cạnh góc vuông)

Vậy hai đường xiên khi và chỉ khi hai hình
chiếu

Giải
b)

VẬN DỤNG

Bài 7.14 (SGK – tr.43)
Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một
đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng
nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn
vận

tốc

trong

5

phút

đầu,

với

các

góc

cất

cánh

lần

lượt

là 100,150.100,150. Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ
cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?
Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một
điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.

Giải
Sau 1 phút cả 2 máy bay cùng bay được quãng đường dài 

Độ cao của máy bay 1: 
Độ cao của máy bay 2: 
Vì nên sau 1 phút từ khi cất cánh, máy bay 2 có độ cao cao lớn
hơn máy bay 1.

Bài 7.15 (SGK – tr.43)
Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và
mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.
Chú ý. Góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời lúc giữa trưa
với mặt phẳng nằm ngang tại vị trí đó được gọi là góc Mặt Trời. Giữa
trưa là thời điểm ban ngày mà tâm Mặt Trời thuộc mặt phẳng chứa
kinh tuyến đi qua điểm đang xét. Góc Mặt Trời ảnh hưởng tới sự hấp
thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên
Trái Đất.

Giải

Giả sử một cột AB, bóng của cột AB là AM.
Khi đó
Từ đó tính được góc

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ôn tập kiến thức đã học.
 Hoàn thành bài tập trong SBT.
 Đọc và chuẩn bị trước Bài 25. Hai mặt phẳng
vuông góc.

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ THEO DÕI
BÀI HỌC!