I9
I

CCH
HƯ
Ư
Ơ
ƠN
NG
GI

Tiết 48 : Luyện Tập

Câu 1. Với đoạn thẳng AB và góc  (0o <  <
180o) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa
·
mãn AMB =  là gì?

Câu 2. Khi  = 90o thì quỹ tích điểm M là
gì?

Kết luận: Với đoạn thẳng AB và góc  (00 < 
< 1800) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa

mãn AMB   là hai cung chứa góc  dựng
trên đoạn AB.

Chú ý: Quỹ tích các điểm M luôn nhìn đoạn
thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là
đường tròn đường kính AB.

Câu 3. Điền vào chỗ (…) để hoàn thiện cách giải bài toán quỹ tích.
Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính chất (1) …
T là một hình H nào
đó. Ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm M có tính chất T đều thuộc (2)………
hình H
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có (3)…………………
tính chất T
Kết luận: Quỹ tích các điểm (4)…
M có tính chất T là hình H

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1) Kết luận: Với đoạn thẳng AB và góc  (00 <  < 1800) 2) Cách giải bài toán quỹ tích:
·
= α là Muốn chứng minh quỹ tích ( tập
cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB
hợp) các điểm M thỏa mãn tính
hai cung chứa góc  dựng trên đoạn AB.
chất T là một hình H nào đó, ta
phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính
chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình
H đều có tính chất T.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp)
các điểm có tính chất T là hình H.
Chú ý: Quỹ tích các điểm M luôn nhìn đoạn thẳng
AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn
đường kính AB.

LUYỆN TẬP
Bài 44 (trang 86 SGK Toán 9 Tập 2): Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định.
Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Các em quan sát
chuyển động của
điểm I qua phần mềm
Em
hãy
tìmđọc
yếuvàtố cố
Em
hãy
GSP và dự đoán quỹ
Em quan
hãy vẽ
hình,
định,
hệ
không
phân
tích
bài
toán
tích điểm I.
ghitrong
GT bài
và KL
đổi
toán

Dự đoán: Quỹ tích
điểm I là cung
chứa góc 135º
dựng trên đoạn
BC.

LUYỆN TẬP
Bài 44 (trang 86 SGK Toán 9 Tập 2): Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định.
Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Chứng minh
a) Phần thuận:

0
0
µ
µ µ
Vì ABC có A 90  B  C 90
µC
µ
B
µ
¶
µ
¶
¶
¶
450
mà B1 B2 ; C1 C2  B2  C2 
2
¶ C
¶ 450  BIC
· 1800  ( B
¶ C
¶)
Trong IBC có B
2
2
22
22

 1800  450 13500

Vậy điểm I thuộc cung chứa góc 1350 dựng trên BC.

Dự đoán: Quỹ tích
điểm I là cung chứa
góc 135º dựng trên
đoạn BC.

b) Phần đảo: Không trình bày (giảm tải)
c) Kết luận: Quỹ tích điểm I khi A thay đổi là 2 cung
chứa góc 135º dựng trên đoạn BC (khác B và C).

LUYỆN TẬP
Bài 44 (trang 86 SGK Toán 9 Tập 2): Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định.
Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Chứng minh
a) Phần thuận:
0
0
µ
µ µ
A

90

B

C

90
Vì ABC có

µC
µ
B
µ
¶
µ
¶
¶
¶
450
mà B1 B2 ; C1 C2  B2  C2 
2
¶ C
¶ 450  BIC
· 1800  ( B
¶ C
¶)
Trong IBC có B
2
2
2
22

Em hãy nêu cách
giải bài toán quỹ
tích?

 180 0  450 1350
Vậy điểm I thuộc cung chứa góc 1350 dựng trên BC.

b) Phần đảo: Không trình bày (giảm tải)
c) Kết luận: Quỹ tích điểm I khi A thay đổi là 2 cung
chứa góc 135º dựng trên đoạn BC (khác B và C).

LUYỆN TẬP

Bài 48 (trang 87 SGK Toán 9 Tập 2): Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến
với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
T

B

A

T'

GV lưu ý trường hợp
đường tròn tâm B có
bán kính bằng AB.

Dự đoán: Quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn
đường kính AB
Em hãy vẽ hình
Chứng minh
ghi GT và KL.
Vì AT là tiếp tuyến của (B) (gt) => AT  BT (tính chất)
 ·ATB 900
mà A, B cố định. Vậy quỹ tích các tiếp điểm là đường
tròn đường kính AB.

STAR
T

00:0
00:0
00:1
00:2
00:3
00:4
00:5
01:0

LUYỆN TẬP

Bài 48 (trang 87 SGK Toán 9 Tập 2): Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến
với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
T

A

B

Dự đoán: Quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn
đường kính AB
Em hãy vẽ hình
Chứng minh
ghi GT và KL.
Vì AT là tiếp tuyến của (B) (gt) => AT  BT (tính chất)
 ·ATB 900
mà A, B cố định. Vậy quỹ tích các tiếp điểm là đường
tròn đường kính AB.

T'

GV lưu ý trường hợp
đường tròn tâm B có
bán kính bằng AB.

STAR
T

00:0
00:0
00:1
00:2
00:3
00:4
00:5
01:0

LUYỆN TẬP
Bài 48 (trang 87 SGK Toán 9 Tập 2): Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến
với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Dự đoán: Quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn
đường kính AB
Chứng minh
Vì AT là tiếp tuyến của (B) (gt) => AT  BT (tính chất)
 ·ATB 9000
mà A, B cố định. Vậy quỹ tích các tiếp điểm là đường
tròn đường kính AB.
Trong bài trên, gọi G là
trọng tâm của ABT .
Tìm quỹ tích trọng tâm G.
.

LUYỆN TẬP
Bài 48 (trang 87 SGK Toán 9 Tập 2): Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến
với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Dự đoán: Quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn
đường kính AB
Chứng minh
Vì AT là tiếp tuyến của (B) (gt) => AT  BT (tính chất)

 ·ATB 9000

mà A, B cố định. Vậy quỹ tích các tiếp điểm là đường
tròn đường kính AB.
Khai thác: Trong bài trên, gọi G là trọng tâm của
ABT. Tìm quỹ tích trọng tâm G.
Trong bài trên, gọi G là
trọng tâm của ABT .
Tìm quỹ tích trọng tâm G.
.

Gọi M là trung điểm AB, vì G là trọng tâm nên

1
1
GM  TM  AB
AB không đổi, mà M cố định
3
6

1


M;
AB
Vậy quỹ tích điểm G là 

6



LUYỆN TẬP
Bài 51 (trang 87 SGK Toán 9 Tập 2): Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC với góc A = 60o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và
CC'.
Chứng minhAcác điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn
600
HS vẽ hình ghi GT và
KL của bài.
B'
O, H, I cùng thuộc một cung chứa góc 1200 dựng trên BC
C'

B

H

I O

·
· BOC
·
BHI
BIC
12000
C

·
· 1200 ; BOC
·
BHI
1200 ; BIC
120 0

00:00
00:01
00:02
00:03
00:04
00:05
00:06
00:07
00:08
00:09
00:10
00:11
00:12
00:13
00:14
00:15
00:16
00:17
00:18
00:19
00:20
00:21
00:22
00:23
00:24
00:25
00:26
00:27
00:28
00:29
00:30
00:31
00:32
00:33
00:34
00:35
00:36
00:37
00:38
00:39
00:40
00:41
00:42
00:43
00:44
00:45
00:46
00:47
00:48
00:49
00:50
00:51
00:52
00:53
00:54
00:55
00:56
00:57
00:58
00:59
01:00
01:01
01:02
01:03
01:04
01:05
01:06
01:07
01:08
01:09
01:10
01:11
01:12
01:13
01:14
01:15
01:16
01:17
01:18
01:19
01:20
01:21
01:22
01:23
01:24
01:25
01:26
01:27
01:28
01:29
01:30
01:31
01:32
01:33
01:34
01:35
01:36
01:37
01:38
01:39
01:40
01:41
01:42
01:43
01:44
01:45
01:46
01:47
01:48
01:49
01:50
01:51
01:52
01:53
01:54
01:55
01:56
01:57
01:58
01:59
02:00
START

LUYỆN TẬP

Bài 51 (trang 87 SGK Toán 9 Tập 2): Cho I, O. lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'.
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh
µ' C
¶ ' 900
A 600 ; B
Tứ giác AB ' HC ' có µ





· ' HC ' 3600  µ
µ'  C
¶ ' 3600  600  900  90 0 1200
B
AB

·
· ' HC ' (đối đỉnh)
 BHC
1200 B

µC
µ 1800  µ
A 600  B
A 1200
ABC có µ
Mà BI, CI lần lượt phân giác các góc B và C

µC
µ
B
0
·
 BIC 180 
1800  600 1200
Xét (O) có · 2 ·
00 (hệ quả góc nội tiếp)
BOC 2 BAC 120

·
· BHC
·
Suy ra: BOC
BIC
1200
=> O, H, I cùng thuộc một cung chứa góc 1200 dựng trên BC
Vậy các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

VẬN DỤNG
Bài 52 (trang 87 SGK Toán 9 Tập 2): "Góc sút" của quả phạt đền. 11 mét là bao nhiêu độ? Biết
rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả
phạt đền 11 mét.

VẬN DỤNG THỰC TẾ
.
Bài 52 (trang 87 SGK Toán 9 Tập 2): "Góc sút"
của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết
rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả
phạt đền 11 mét.

HƯỚNG DẪN:

Các vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt
đền 11 mét thuộc cung chứa góc PCQ dựng trên PQ

·
?
PCQ

·
PCH
?
PH
·
tan PCH

CH

AB cho trước, M di động
sao cho ·AMB  000    18000 

Chứng minh quỹ tích là cung chứa
góc (bài 44)
Chứng minh các điểm cùng nằm
trên một đường tròn (Bài 51)
Bài toán thực tế
(Bài 52)

Cung
chứa góc
AB cho trước, M di động
0
sao cho ·AMB 90

Chứng minh quỹ tích các điểm
thuộc đường tròn đường kính
cố định

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ôn tập lý thuyết về “cung chứa góc”, xem lại
các dạng bài tập đã chữa.
 Hoàn thiện bài 51 (SGK)
 Làm bài 36, 37 SBT
 Đọc trước bài “tứ giác nội tiếp”