Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa:

a) f ( x) tại
x 2 điểm bất kì
1
b) g ( x) tại điểm bất kì
x

2

a) f ( x)  xtại bất kì

+) Giả sử ∆ là số gia của đối số tại
y  f ( x0  x)  f ( x0 ) ( x0  x) 2  x0 2
2 x0 .x  (x) 2 x(2 x0  x)
y x(2 x0  x)
)

2 x0  x
x
x
y
) f '( x0 )  lim
 lim 2 x0  x  2 x0
x  0 x
x  0

1
b) g ( x ) 
tại ()bất
x kì

+) Giả sử ∆ là số gia của đối số tại ()
1
1
y  f ( x0  x)  f ( x0 ) 

x0  x x0
x  ( x0  x)
 x
 0

x0 ( x0  x)
x0 ( x0  x )
 x
y x0 ( x0  x)
1
)


x
x
x0 ( x0  x)
y
1
1
) g '( x0 )  lim
 lim
 2
x  0 x
x  0 x ( x  x )
x0
0
0

Tính đạo hàm của hàm số sau bằng định nghĩa:
tại điểm bất kì

+) Giả sử ∆ là số gia của đối số tại ()
1
1
y  f ( x0  x)  f ( x0 ) 

x0  x x0
x0  ( x0  x)
 x


x0 ( x0  x)
x0 ( x0  x )
 x
y x0 ( x0  x)
1
)


x
x
x0 ( x0  x)
y
1
1
) g '( x0 )  lim
 lim
 2
x  0 x
x  0 x ( x  x )
x0
0
0

LỚP

11
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
Chương V: ĐẠO HÀM

Bài 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
4QUAN HỆ GIỮA SỰ TỒN TẠI CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN

TỤC CỦA HÀM SỐ
5 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
6 Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM

II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG

f ( x)  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
x  x0
x  x0

f ( x0 )  lim f ( x)
x  x0

f ( x)  f ( x0 )
lim f ( x)  f ( x0 )  lim
( x  x0 )
x  x0
x  x0
x  x0
 f '( x0 ).0 0
 lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

I. Đạo hàm tại một điểm:
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số:

Định lý 1:
Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:
a) Nếu hàm số gián đoạn tại thì nó không có đạo hàm tại
điểm đó.

f ( x)  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
x  x0
x  x0

f ( x0 )  lim f ( x)
x  x0

Hàm số

Ví dụ

LỜI GIẢI

y

Ta có: Hàm số liên tục tại

f ( x) 
lim
x 0
x
f ( x) 
lim
x 0
x

O
2

f (0)
x
 lim
0
x 0 x
0
f (0)
x
 lim 1
x 0 x
0

f ( x)  f (0)
suy ra không tồn tại
lim
x 0
x 0
Do đó đạo hàm tại không tồn tại.

y=x

x
y = - x2

I. Đạo hàm tại một điểm:
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số:

Chú ý:
a) Nếu hàm số gián đoạn tại thì nó không có đạo hàm tại
điểm đó.
b) Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

f ( x)  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
x  x0
x  x0

f ( x0 )  lim f ( x)
x  x0

I. Đạo hàm tại một điểm:
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng:
Cho hs y = f(x) có đồ thị là (C )
Điểm M0 (x0 ;f(x0)) cố định
thuộc (C).
Với mỗi điểm M(x ; f(x)) di
chuyển trên (C ).
Khi đó ta có đường thẳng M0M là
một cát tuyến của (C).

y

(C)
M

f(x)

T
f(xo)
O

Mo

xo

x

x
Khi x →x0 thì M di chuyển trên (C) tới điểm M0 và ngược lại. Giả sử cát
tuyến M0 M có vị trí giới hạn M0 T thì đường thẳng M0T được gọi là tiếp

I. Đạo hàm tại một điểm:
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng:
b) Ý nghĩa hình học của đạo
y
hàm:
(C)
f(x)

f(xo)

O

M
Mo

xo

T

xM

x

I. Đạo hàm tại một điểm:
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng:
b) Ý nghĩa hình học của đạo
hàm:

Định lý 2:

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến
M0 T của (C) tại điểm Mo(xo;f(xo)).
c) Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến:

y  y0 kf ('(xx0 )x(0x)  x0 )
k  f '( x0 )

I. Đạo hàm tại một điểm:
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng:
b) Ý nghĩa hình học của đạo
hàm:

Định lý 2:

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến
M0 T của (C) tại điểm Mo(xo;f(xo)).
c) Phương trình tiếp tuyến

Định lý 3:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm
Mo(xo;f(xo)) là:
trong đó

LƯU Ý:

Ví dụ áp dụng
Cho (C . Viết phương trình tiếp tuyến
tại điểm có hoành độ .

Hướng dẫn:
Tìm
Tìm
Phương trình tiếp tuyến:

Lời giải tham khảo:
Cho parabol . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ .

f '(1)  1

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1;1) là:

hay

2

Vận tốc tức thời

Cường độ dòng điện tức
thời

s (t )s(ts)(t0 s) (t0 )
v(t0 v) (
s '(t0 )
t0lit)m

lim
t0 t  t t  t
0
t0  t0

QQ
(t()t0 )Q(t0 )
Q
(
t
)

) lim
I (t0 ) I(tli0m
Q '(t0 )
t

t
t  t0
t0  t0 t  t0

Ta có

f ( x)  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
x  x0
x  x0

I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM:
6. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:
a) Vận tốc tức thời:
Quãng đường của chuyển động là một hàm số của thời gian t, với s(t) là một
hàm số có đạo hàm. Ta có vận tốc của chuyển động tại thời điểm t0 là đạo
hàm của hàm số s(t) tại t0 là:

v(t0 ) s '(t0 )
b) Cường độ tức thời:
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, với Q= Q(t) là
một hàm số có đạo hàm. Ta có cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t0 là đạo
hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0 là:

I (t0 ) Q '(t0 )

II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG:
Định nghĩa: Hàm số được gọi là có đạo hàm trên nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số
là đạo hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng , kí hiệu là y' hay f'(x).

Ví dụ
Hàm số có đạo hàm y'= 2x trên khoảng .
Hàm số có đạo hàm y'= trên các khoảng và .

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1

Gọi
Giả sử là số gia của đối số

y  f ( x0  x)  f ( x0 ) ( x0  x )  x0 x   2 x0 .x
2

y
x  2 x0
x

2

2

y
 y '  f '( x0 )  lim
 lim x  2 x0  2 x0
x  0 x
x  0
Theo giả thiết:

Với

y  1 2( x  1)  y 2 x  1

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1

:
A.
C.

y  y0  f '( x0 )  x  x0 
y  y0  f '( x0 )  x  x0 

B.
D.

y  y0  f '( x0 )   x  x0 

y  f '( x0 )  x  x0   y0

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 2

A. - 4

B. - 3

C. 4

D. 3

Lời giải

Cách 1: Tự luận
y  f (2  x)  f (2)

Cách 2: Sử dụng máy tính

 (2  x)  1  ( 2  1)  4x  x 

Bấm máy tính như sau:

y  4x  x 

 4  x
x
x
f '(2)  lim  4  x   4

Nhập: và x = 2

2

2

2

2

x  0

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 3

A.

y  4 x  5

B.

y  3x  5

C.

y  3x  8

D.

y  4 x  8

Lời giải

Tự luận
) f '(2)  4
) y0  f (2)  3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y  3  4( x  2)  y  4 x  5

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 4

là:
A.
C.

Cho hàm số . Phương trình tiếp tuyến của hàm số có hệ số góc bằng 5

y  5 x  1
y 5 x  1

B.
D.

y  5 x  1
y  5 x  2

Hệsố góccủatiế ptuyế ntạimộtđiể mthuộcđồthịk=𝒇 ' ( 𝑥0 )

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1

Gọi
Giả sử là số gia của đối số

y  f ( x0  x)  f ( x0 ) ( x0  x)  x0 x   3x0 .x ( x0  x)
y
y
2
2
x   3 x0 ( x0  x)  y '  f '( x0 )  lim
 lim  x   3 x0 ( x0  x)  3 x0 2

x  0 x
x  0 
x
3

3

3

Theo giả thiết:
Với

Với

y  1 3( x  1)  y 3 x  2

y  1 3( x  1)  y 3 x  2