3/11/2022

Chương V. ĐẠO HÀM
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM

I. Đạo hàm tại một điểm
Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

1.Vận tốc tức thời
Giới hạn hữu hạn (nếu có)

s (t )  s (t 0 )
lim
t  t 0
t  t0
Là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0

I. Đạo hàm tại một điểm
Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

2. Cường độ tức thời
Giới hạn hữu hạn (nếu có)

Q (t )  Q (t 0 )
lim
t  t 0
t  t0
Là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0

Nhận xét
Việc tìm giới hạn

f ( x)  f ( x0 )
lim
x   x0
x  x0

trong đó y = f(x) dẫn tới khái niệm

ĐẠO HÀM

2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) ϶ x0 .
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

f ( x)  f ( x0 )
lim
x   x0
x  x0

Thì giới hạn đó là đạo hàm của hàm số y = f(x)
tại điểm x0 , kí hiệu:

f ( x )  f ( x0 )
y ' ( x0 )  f ' ( x0 )  lim
x   x0
x  x0

Chú ý
∆x = x - xo gọi là số gia của đối số tại xo
∆y = f(x ) – f(xo) = f(xo + ∆x ) – f(xo) gọi là số gia tương ứng của
hàm số y = f(x )
Khi đó

y
f '( x0 )  lim
x  0 x

3. Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Giả sử x là số gia của đối số
tại x0, tính y = f(x0+x) - f(x0).

y
Bước 2. Lập tỉ số
x
y
Bước 3. Tìm lim
x  0 x

Ví dụ: Tính đạo hàm của f(x)=1/x tại x0 =2
Giả sử x là số gia của đối số tại x0=2
1
1
x
y  f 2  x   f 2  
 
2  x 2
2(2  x )

y
1

x
2(2  x )
y
1
1
lim
 lim

x  0 x
x  0 2 2  x 
4
Vậy f'(2)= - 1/4

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và
tính liên tục của hàm số
Định lý 1
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x0 thì liên tục
tại điểm đó
Nhận xét
•Hàm số y=f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có
đạo hàm tại điểm đó
•Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 nhưng có thể
không có đạo hàm tại điểm đó

Hàm số


 x
f  x  
x



y
2

 x 0 
x  0

O
f(x)=x

liên tục tại x=0 nhưng không
có đạo hàm tạị đó (Đồ thị
là đường liền nhưng bị “gãy” tại 0)

x
f(x) = -x2

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và có
đạo hàm tại x0 ϵ(a;b). Gọi (C) là đồ thị HS đó.

Định lý 2
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số
góc tiếp tuyến MoT của (C) tại điểm M(xo; f(xo))

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lý 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
M(xo; f(xo)) là
trong đó yo = f(xo)

y – yo = f'(xo)(x – xo)

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của
Parabol (P): y = x2 - 5x + 2 tại điểm có
hoành độ xo = 1
xo = 1; yo = f(xo) = -2; f'(1) = -3
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại Mo(1; -2) là
y +2 = -3(x – 1) ⇔ y = - 3x + 1

II. Đạo hàm trên một khoảng
Định nghĩa
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên
khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
x trên khoảng đó
Khi đó ta gọi hàm số f': (a; b)
R
x‫׀‬
f'(x)
Là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;
b), kí hiệu là y' hay f'(x)

II. Đạo hàm trên một khoảng
Ví dụ. Hàm số y = x3 có đạo hàm y' = 3x2 trên
khoảng (-∞; +∞)

III. Bài tập