CHƯƠNG
I
CHUYÊN ĐỀ I.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA
ẨN

§1. Hệ phương trình bậc nhất ba
ẩn
§2. Ứng dụng của hệ phương
trình bậc nhất ba ẩn.

CHUYÊN ĐỀ I. HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
CHƯƠNG
I BẬC NHẤT BA
ẨN
2
TOÁN ĐẠI SỐ
ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT BA ẨN
 

➉

2

II

GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG CUNG-CẦU  
1

Ví dụ

2

Bài tập

Các nhà kinh tế học đã chỉ ra rằng, giá cả của một mặt hàng bán
trên thị trường phụ thuộc vào ba yếu tố chính.
• phụ thuộc vào giá trị của bản thân hàng hoá đó
• phụ thuộc vào giá trị đồng tiền
• phụ thuộc vào quan hệ cung và cầu về mặt hàng đó
•Sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu thị sự phụ thuộc của lượng cung
và lượng cầu vào giá cả hàng hoá. Người ta thường phải giải bài toán cân
bằng giữa cung và cầu. Bài toán này thường dẫn đến việc giải hệ phương
trình bậc nhất nhiều ẩn.
•Để đơn giản, ta xét thị trường thực phẩm gồm ba loại mặt hàng là thịt
lợn, thịt bò và thịt gà. Khi thịt lợn đắt, thịt bò và thịt gà rẻ thì người tiêu
dùng có xu hướng giảm mua thịt lợn, tăng mua thịt bò và thịt gà.

HĐ2
:

Kí hiệu lần lượt là giá của thịt lợn, thịt bò và thịt gà, ở đây
và đơn vị là nghìn đồng. Kí hiệu:
là
là
là
là

lượng
lượng
lượng
lượng

thịt
thịt
thịt
thịt

lợn mà người bán chấp thuận bán với giá .
bò mà người bán chấp thuận bán với giá .
gà mà người bán chấp thuận bán với giá .
lợn mà người mua chấp thuận mua với giá .

là lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá .
là lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá .
Mức giá thịt lợn , thịt bò và thịt gà phải thỏa mãn điều kiện gì
để người bán và người mua cùng hài lòng, tức là mức giá hợp lí
nhất?
Viết hệ phương trình ràng buộc giữa để người bán và người
mua cùng hài lòng.

Trong kinh tế học người ta gọi:
Các hàm , và phụ thuộc vào ba biến giá là hàm cung (supply
function);
Các hàm , và phụ thuộc vào ba biến giá là hàm cầu (demand
funtion);
• Hệ phương trình gọi là hệ phương trình cân bằng cung – cầu.

Ví dụ 5: Cho biết
Hàm cung thịt lợn là

Hàm cầu thịt lợn là

Chú ý. Trong thực tế, thị trường hàng
Hàm cung thịt bò là
Hàm
cầu
thịt
bò
là
hóa rất phức tạp vì có nhiều mặt
hàng. KhiHàm
đó, cầu
hệ phương
Hàm cung thịt gà là
thịt gà làtrình cân
bằng cung – cầu là một hệ phương
Hãy giải hệ phương trình
cân
bằng
cầu.
trình
nhiều
ẩn,cung
nhiều– phương
trình và
đóbằng
rất khó
Ngoài
Giải: Hệ phương trìnhdo
cân
cunggiải.
– cầu
là: ra, giá cả
của hàng hóa còn phụ thuộc vào
nhiều yếu tố khác nữa, cứ không
phải chỉ
là quan
hệ cung – cầu.
Thu gọn ta được hệ phương
trình
.
Vậy giá thịt lợn 90 nghìn đồng/kg, thịt bò 240 nghìn/kg và thịt gà 100
nghìn/kg là giá bán hợp lí nhất.

Luyện tập 2.

Xét thị trường hải sản gồm ba mặt hàng là cua, tôm và cá. Kí
hiệu lần lượt là giá 1 kg cua, 1 kg tôm và 1 kg cá (đơn vị nghìn
đồng). Kí hiệu , và là lượng cua, tôm và cá mà người bán bằng
lòng bán với giá và . Kí hiệu , và tương ứng là lượng cua, tôm
và cá mà người mua bằng lòng mua với giá và . Cụ thể các
hàm này được cho bởi:
;
.;
;
Tìm mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng
hài lòng.

Luyện tập 2.

Giải: Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là

Thu gọn ta được hệ phương trình .

• Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta được .
• Vậy giá cua 600 nghìn đồng/kg, tôm 300 nghìn/kg và cá 400 nghìn/kg là
giá bán hợp lí nhất.

2

Bài tập

1.7. Cho hàm cung và hàm cầu của ba mặt hàng như sau:
;
;
;
Hãy xác định giá cân bằng cung – cầu của ba mặt hàng.
Giải: Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là

Vậy giá của ba mặt hàng là .

{

𝑥=10
39
𝑦=
⇔
2
5
𝑧=
2

2

Bài tập

1.8. Em Hà so sánh tuổi của mình với chị Mai và anh Nam. Hiện
tại, tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà. Bảy năm trước,
tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam. Ba năm sau, tuổi
của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà. Hỏi tuổi
hiện tại của mỗi người là bao nhiêu?
Giải:
Gọi lần lượt là số tuổi hiện tại của anh Nam, chị Mai và em Hà.
• Ta có hệ

{

𝑥 −3 𝑧=0

1
7
⇔
𝑥 − 𝑦 =−
2
2
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 =3

{

𝑥=39
⇔ 𝑦=23
𝑧 =13

• Vậy số tuổi hiện tại của anh Nam là 39 tuổi, chị Mai là 23 tuổi và em Hà
là 13 tuổi.

2

Bài tập

1.9. Bác Việt có 330 740 nghìn đồng, bác chia số tiền này thành
ba phần và đem đầu tư vào ba hình thức: Phần thứ nhất bác đầu
tư vào chứng khoán với lãi thu được 4% một năm; phần thứ hai
bác mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết
kiệm với lãi suất 6% một năm. Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác
thu được ba món tiền bằng nhau. Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi
Giải:
bác thu được sau một năm là bao nhiêu?

• Gọi lần lượt là số tiền Bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng và gửi
tiết kiệm.
• Sau một năm, số tiền cả gốc lẫn lãi của đầu tư chứng khoán là .
Sau một năm số tiền cả gốc lẫn lãi của mua vàng là .
Sau một năm số tiền cả gốc lẫn lãi của gửi tiết kiệm là .

2

Bài tập

Giải:
• Theo bài ra ta có

• Vậy số tiền cả gốc lẫn lãi thu được sau một năm của Bác Việt là nghìn
đồng.

2

Bài tập

1.10. Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250
nghìn đồng; vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá
400 nghìn đồng. Một ngày nhà ga cáp treo thu được tồng số tiền
là 251 triệu đồng. Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên
quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người
đi xuống.
Giải:
• Gọi lần lượt là số vé đi lên, đi xuống và hai chiều của cáp treo.
• Ta có .

• Vậy có 220 vé đi lên, 60 vé đi xuống và 460 vé hai chiều.

2

Bài tập

1.11. Ba lớp 10A, 10B, 10C của một trường trung học phổ thông
gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Tính trung bình,
mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây xoan và 4 cây bạch đàn; mỗi em
lớp 10B trồng được 2 cây xoan và 5 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10C
trồng được 6 cây xoan. Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây
xoan và 375 cây bạch đàn. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em?
Giải:
• Gọi lần lượt là số học sinh lớp 10A, 10B và 10C.
• Ta có

• Vậy lớp 10A có 40 học sinh, lớp 10B có 43 học sinh và lớp 10C có 45 học
sinh.

Bài tập

2

1.12. Cân bằng phương trình phản ứng hoá học đốt cháy methane
trong oxygen
Giải:
• Giả sử thỏa mãn phương trình cân bằng
• Vì số nguyên tử carbon, hydrogen và oxygen ở hai vế phải bằng nhau
nên ta có hệ

{

𝑥= 𝑧
⇔
4 𝑥 =2 𝑡
2 𝑦 = 2 𝑧 +𝑡

{

2

𝑥
𝑧
=
𝑡
𝑡
𝑥
4
=2
𝑡
𝑦
𝑧
=2
+1
𝑡
𝑡

2

Bài tập

Giải:
• Đặt ta có hệ .

• Suy ra . Chọn .
• Vậy .

2

Bài tập

1.13. Cho đoạn mạch như Hình 1.2. Gọi là cường độ dòng điện
của mạch chính, , và là cường độ dòng điện mạch rẽ. Cho biết
và . Tính điện trở và hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch.

Hình 1.2

2

Bài tập

Giải:
• Từ sơ đồ mạch điện, ta thấy , và là nghiệm của hệ phương trình

• Lại có .
• Vậy .

2

Bài tập

1.14. Mỗi giai đoạn phát triển của thực vật cần phân bón với tỉ lệ
nhất định. Bác An làm vườn muốn bón phân cho một cây cảnh có
tỉ lệ cân bằng nhau. Bác An có ba bao phân bón, bao gồm:
Bao 1 có tỉ lệ là 12:7:12.
Bao 2 có tỉ lệ là 6:30:25.
Bao 3 có tỉ lệ là 30:16:11.
Hỏi phải trộn ba loại phân bón trên với tỉ lệ bao nhiêu để có hỗn
hợp phân bón với tỉ lệ là 15:15:15?
• Chú ý rằng trên mỗi bao phân bón người ta thường viết một tỉ lệ nhất
định. Chẳng hạn trên bao phân 1 ghi tỉ lệ là 12:7:12 nghĩa là hàm lượng
đạm (nitơ) chiếm , lân (tức là ) chiếm và kali (tức là ) chiếm , còn các
loại khác chiếm .

2

Bài tập

Giải:
• Gọi là tỉ lệ phải trộn ba loại phân bón trên để có hỗn hợp phân bón với tỉ
lệ là 15:15:15.
• Ta có hệ .

• Vậy phải trộn ba loại phân bón trên với tỉ lệ hay .

• Em có biết?
• Wassily Leontief (1906 - 1999)
• Wassily Leontief (1906 - 1999) là nhà kinh tế học người Mĩ, gốc Nga. Ông
đã đóng góp một số lí thuyết sâu sắc cho kinh tế học, trong đó mô hình
kinh tế Leontief đưa ông đến với giải thưởng Nobel năm 1973. Mô hình
kinh tế Leontief biểu thị sự phụ thuộc giữa các ngành sản xuất trong một
nền kinh tế bởi một hệ phương trình bậc nhất: Xét một nền kinh tế gồm
ngành sản xuất hàng hoá . Để sản xuất, mỗi ngành cần tiêu thụ hàng
hoá của bản thân ngành mình và các ngành khác của nền kinh tế đó. Giả
sử để sản xuất ra một đơn vị hàng hoá, ngành cần tiêu thụ đơn vị hàng
hoá của ngành . Vấn đề đặt ra là tính số đơn vị hàng hoá mà mỗi ngành
trên cần sản xuất để sau tiêu thụ do sản xuất, ngành có thể xuất ra
ngoài nền kinh tế nói trên đơn vị hàng hoá.

• Gọi tương ứng là số đơn vị hàng hoá mà các ngành cần sản xuất. Để
sản xuất đơn vị hàng hoá, ngành cần tiêu thụ đơn vị hàng hoá của
ngành . Do đó, sau tiêu thụ do sản xuất, số đơn vị hàng hoá ngành còn
lại là .
• Sau tiêu thụ do sản xuất, ngành còn đơn vị hàng hoá nên ta có hệ
phương trình (với ẩn là ):
•
hay là

2