Phương trình bạc hai 1 ẩn

Gốc > Trung học cơ sở > Kết nối Tri thức với Cuộc sống > Toán > Toán 9 >

0 / 0

Nhấn vào đây để tải về
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả

(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Vũ Thành Trung
Ngày gửi: 09h:35' 21-01-2025
Dung lượng: 13.8 MB
Số lượt tải: 105

Số lượt thích: 0 người

BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Trên một mảnh đất hình chữ nhật
có kích thước 28 m x 16 m, người
ta dự định làm một bể bơi có
đường đi xung quanh (H.6.9). Hỏi
bề rộng của đường đi là bao nhiêu
để diện tích của bể bơi là 288 m2.

BÀI 19: PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI MỘT ẨN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt
3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
4. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng máy tính cầm tay

1. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI MỘT ẨN

Xét bài toán trong tình huống mở đầu.
HĐ1

Gọi x (m) là bề rộng của mặt đường (0Tính chiều dài và chiều rộng của bể bơi theo x.

Trả lời:
Chiều dài của bể bơi: 28 - 2x (m)
Chiều rộng của bể bơi: 16 - 2x (m)

HĐ2

Dựa vào kết quả HĐ1, tính diện tích của bể
bơi theo x.

Trả lời:
Diện tích của bể bơi là: (28-2x).(16-2x)

(m2)

Sử dụng giả thiết và kết quả HĐ2, hãy viết

HĐ3

phương trình để tìm x.
Trả lời:
Vì diện tích của bể bơi là 288 m2 nên ta có
phương trình:
(28-2x).(16-2x) = 288
hay

4x2 – 88x +160 = 0

TỔNG QUÁT

Phương trình bậc hai một ẩn ( nói gọn là phương trình bậc hai) là
phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0
Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và a ≠ 0.

Trong các phương trình sau, những phương trình nào là

Ví dụ 1

phương trình bậc hai ẩn x? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của
mỗi phương trình đó.

a ) 2 x 2  3x  1 0

2

1
 1
c
)

3
 2 0
b) x  3 0
 
x
 x
2

d )  5 x 2 0

Giải
2
2
x
 3 x  1 0 là phương trình bậc hai với: a = 2, b = - 3, c = 1.
a) PT
2
x
 3 0 là phương trình bậc hai với: a = 1, b = 0, c = - 3.
b) PT
2

1
 1

3
 2 0 không phải là phương trình bậc hai
c) PT  
x
 x

2

5
x
0 là phương trình bậc hai với: a = -5, b = 0, c = 0.
d) PT

Luyện tập 1

Trong các phương trình sau, những phương trình nào là
phương trình bậc hai ẩn x? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của
mỗi phương trình đó.

a) x 2  5 0

b) 2 x 2  7 x 0

x2  2 x  5
c)
0
x

d ) 0,5 x 2 0

Giải
a) PT

x 2  5 0

là phương trình bậc hai với: a = 1, b = 0, c = 5.

2
2
x
 7 x 0 là phương trình bậc hai với: a = 2, b = 7, c = 0.
b) PT
x2  2x  5
c) PT
0 không phải là phương trình bậc hai
x

2
0,5
x
0 là phương trình bậc hai với: a = 0,5, b = 0, c = 0.
d) PT

HOẠT ĐỘNG NHÓM

Trả lời: Phương trình trên là một phương trình bậc hai
khi và chỉ khi m ≠ 0

2. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI MỘT ẨN CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT

=
𝒄

𝟎

ax 2  bx 0

b
x1 0; x2 
a

PT tích

ax 2  bx  c 0

 a 0 

𝒃 =𝟎

ax 2


c

0

x2 

c
a

Ví dụ 2

Giải các phương trình sau:

a) 2 x 2  4 x 0

Giải
a) 2 x 2  4 x 0
2 x( x  2) 0
x 0 hoặc x 2

b) 3x 2  8 x 0

b) 3 x 2  8 x 0
x(3 x  8) 0
x 0 hoặc

x1 0, x2 2.
Vậy phương trình có hai

x 

8
3

x1 0, x2 

8
3

Vậy phương trình có hai
nghiệm

Luyện
tập 2

Giải các phương trình sau:

a) 2 x 2  6 x 0

Giải
a) 2 x 2  6 x 0
2 x( x  3) 0
x 0 hoặc x  3

x1 0, x2  3.
Vậy phương trình có hai

b) 5 x 2  11x 0

b) 5 x 2  11x 0
x(5 x  11) 0
x 0 hoặc x 

11
5

11
x1 0, x2 
5

Vậy phương trình có hai

Giải các phương trình sau:

Ví dụ 3

2

a ) x  9 0

Giải
2

a) x  9 0

b)  x  1 3
2

b)  x  1 3
2

x 2 9

x  1  3 hoặc x  1  3

x 3 hoặc x  3

x  1  3 hoặc x  1 

3

x1  1 3, x2  1 

3

x1 3, x2  3.
Vậy phương trình có hai

Vậy phương trình có hai

Luyện
tập 3

Giải các phương trình sau:
2

a ) x  25 0

Giải
2

a) x  25 0

b)  x  3 5
2

b)  x  3 5
2

x 2 25

x  3  5 hoặc x  3  5

x 5 hoặc x  5

x  3  5 hoặc x  3 

5

x1  3  5, x2  3 

5

x1 5, x2  5.
Vậy phương trình có hai

Vậy phương trình có hai

Chú ý
Để giải phương trình bậc hai dạng x2 + bx = c ta có thể
cộng thêm vào hai vế của phương trình với cùng một số
thích hợp để vế trái có thể biến đổi thành một bình
phương. Từ đó có thể giải phương trình đã cho

Ví dụ 4

Cho phương trình
a)

x 2  4 x 1

Hãy cộng vào cả hai vế của phương trình với cùng một số
thích hợp để được một phương trình mà vế trái có thể biến
đổi thành một bình phương.

b)

Giải

Dựa vào câu a và cách giải Ví dụ 3b, hãy giải phương trình
đã cho.

a ) x 2  4 x 1

b)  x  2  5
2

x 2  4 x  4 1  4

x 2 5

hoặc

x  2  5

x  2

x 2  5

hoặc

x 2 

2

5

x1 2  5, x2 2 

5

5

LUYỆN
TẬP 4

Giải
x 2  6 x 1

Cho phương trình

x 2  6 x 1

x 2  6 x  9 1  9

Hãy cộng vào cả hai vế
của

phương

trình

với

cùng một số thích hợp để
được một phương trình
mà vế trái có thể biến đổi
thành một bình phương.
Từ đó, hãy giải phương
trình đã cho.

 x  3

2

10

x  3  10

hoặc

x  3  10

x  3  10 hoặc

x  3  10

Vậy phương trình có hai nghiệm

x1  3  10, x2  3  10

3. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HĐ4

Giải

Thực hiện lần lượt các bước sau để
giải phương trình:

2 x 2  8 x  3 0

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.
b) Chia cả hai vế của PT cho hệ số
của

x

2

c) Thêm vào hai vế của PT nhận được
ở câu b với cùng một số để vế trái
có thể biến đổi thành một bình
phương. Từ đó tìm nghiệm

x

a )2 x 2  8 x  3
b) x 2  4 x 
c) x 2  4 x  4 
5
2
10
x 2
2
10
x 2 
2

x  2

2

3
2
3
4
2



hoặc x  2 
hoặc x 2 

10
2
10
2

HĐ4
Thực hiện lần lượt các bước sau để
giải phương trình:

2 x 2  8 x  3 0

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.
b) Chia cả hai vế của PT cho hệ số
2
x
của

c) Thêm vào hai vế của PT nhận được
ở câu b với cùng một số để vế trái
có thể biến đổi thành một bình
phương. Từ đó tìm nghiệm

x

Từ HĐ4, em
hãy nêu các
bước để giải
phương trình
bậc hai?

TỔNG QUÁT
Xét phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
+ Tính biệt thức  = b2 – 4ac

Kí hiệu  = b2 – 4ac và gọi là biệt thức của phương trình (

•

Nếu  > 0 thì phương đọc
trìnhlàcó
hai nghiệm phân biệt
“đenta”)

x1 

b 
b 
; x2 
.
2a
2a

•

Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép

•

Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.

x1 x2 

b
2a

Ví dụ 5

Giải

Cho phương trình

3 x 2  7 x  1 0

a)

Xác định các hệ số a, b, c.

b)

Tính biệt thức .

c)

Áp dụng công thức nghiệm, giải phương trình đã cho.

a)

Ta có: a = 3, b = 7, c = -1.

b)

Ta có  = b2 – 4ac = 72 – 4.3.(-1) = 61

c)

Do  > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai
nghiệm phân biệt:

x1 

 7  61
 7  61
; x2 
.
6
6

Ví dụ 6

Giải các phương trình sau:

a ) x 2  6 x  9 0

b)2 x 2  3 x  5 0

Giải
a) Ta có  = (- 6)2 – 4.1.9 = 0.
Do đó, phương trình có
nghiệm kép:
b
6
x1 x2 

3.
2a
2

b) Ta có  = 32 – 4.2.5 = -31 < 0.
Do đó, phương trình vô
nghiệm

Giải

LUYỆN
TẬP 5
Áp

dụng

công

a) Ta có  = (- 5)2 – 4.2.1 = 17>0.
thức

nghiệm, giải các phương
trình sau:
2

a )2 x  5 x  1 0;
2

b) x  8 x  16 0;
c) x 2  x  1 0.

Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có
5  17
5  17
hai nghiệm: x1 
; x2 
.
4
4
b) Ta có  = 82 – 4.1.16 = 0.
Do đó, phương trình có nghiệm kép:
b
8
x1 x2 
  4.
2a
2
c) Ta có  = (-1)2 – 4.1.1 = -3 < 0.
Do đó, phương trình vô nghiệm

Hoạt động
nhóm đôi
Trả lời: Phương trình bậc hai luôn có hai
nghiệm phân biệt.

Chú ý
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),
với b = 2b' và ' = b' 2 – ac
•

Nếu ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

 b'   '
 b'   '
x1 
; x2 
.
a
a

b'
• Nếu ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 x2 
a
•

Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Công thức nghiệm thu gọn

Ví dụ 7

Xác định các hệ số a, b', c, rồi dung công thức nghiệm thu gọn
giải các phương trình sau:

a)2 x 2  6 x  1 0

b) x 2  4 3 x  12 0

Giải
a)

Ta có: a = 2, b' = 3, c = 1 và ' = 32 – 2.1= 7 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 

 3 7
 3 7
; x2 
.
2
2

b) Ta có: a = 1, b' = -2 3 , c = 12 và ' = (-2
Do đó, phương trình có nghiệm kép:

3)2 – 1.12 = 0.

x1 x2 2 3.

Luyện
tập 6

Xác định các hệ số a, b', c, rồi dung công thức nghiệm thu gọn
giải các phương trình sau:

a)3 x 2  8 x  3 0

b) x 2  6 2 x  2 0

Giải
a)

Ta có: a = 3, b' = 4, c = -3, ' = 42 – 3.(-3) = 25

Do ' > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
x1  ; x2  3.
3

b)

Ta có: a = 1, b' = 3 2 , c = 2, ' = ( 3 2)2 – 1.2 =16

Do ' > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1  3 2  4; x2  3 2  4.

VẬN DỤNG

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Gọi x (m) là bề rộng của mặt đường (0Chiều dài của bể bơi: 28 - 2x (m)
Chiều rộng của bể bơi: 16 - 2x (m)
Vì diện tích của bể bơi là 288 m2 nên ta có phương trình:
28  2 x 16  2 x  288
4 x 2  88 x  160 0
x 2  22 x  40 0
x 2  22 x  121 81

 x  11

2

81

x  11 9 hoặc x  11  9
Do đó x 20 (loại vì không tmđk) hoặc x 2 (tmđk).

Vậy bề rộng của mặt đường là 2 m.

4. TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI BẰNG MÁY TÍNH
CẦM TAY

Giải

Ví dụ 8
Sử dụng MTCT,
tìm nghiệm của
phương trình sau:

a )2 x 2  5 x  4 0
b)9 x 2  12 x  4 0
2

c)  3x  4 x  2 0

a )2 x 2  5 x  4 0
Sử dụng MTCT, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 

5  57
5  57
; x2 
.
4
4

b)9 x 2  12 x  4 0
Sử dụng MTCT, phương trình có nghiệm kép:

2
x1 x2  .
3
c )  3 x 2  4 x  2 0

Sử dụng MTCT, phương trình vô nghiệm.

Luyện tập 7

Sử dụng MTCT,
tìm nghiệm của
phương trình sau:
a )5 x 2  2 10 x  2 0
b)3 x 2  5 x  7 0
c) 4 x 2  11x  1 0

Giải

a ) 5 x 2  2 10 x  2 0
Sử dụng MTCT, phương trình có nghiệm kép:

x1 x2 

10
.
5

b) 3 x 2  5 x  7 0
Sử dụng MTCT, phương trình vô nghiệm.

c) 4 x 2  11x  1 0
Sử dụng MTCT, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

11  105
11  105
x1 
; x2 
.
8
8

Bài 6.8 sgkTr16
Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 và
xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó

a )3x 2  2 x  1 x 2  x
b) 2 x  1 x 2
2

Giải
2

2

a ) 3 x  2 x  1 x  x
2 x 2  3x  1 0
PT 2 x 2  3 x  1 0 có các hệ số
a = 2, b = 3, c = -1

b) 2 x  1 x 2
2

3x 2  4 x 0
PT 3 x 2  4 x 0 có các hệ số
a = 3, b = 4, c = 0

Bài 6.9 SGK/Tr16. Giải các phương trình sau:
1
a ) 2 x 2  x 0
3
b)(3 x  2) 2 5

Giải

1
a) 2 x 2  x 0
3
1

x  2 x   0
3

1
x 0 hoặc x 
6
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
x 0 và x 
6

b)(3x  2)2 5

3x  2  5 hoặc 3 x  2  5
x

5 2
3

hoặc x 

 5 2
3

Vậy phương trình có hai nghiệm
 5 2
5 2
x

và
x
3
3

Bài 6.11 SGK/Tr17. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai,
giải các phương trình sau:
a ) x 2  2 5 x  2 0

b) 4 x 2  28 x  49 0
c) 3 x 2  3 2 x  1 0

Giải



a) Ta có    2 5

  4.1.2 12  0 . Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có
2

hai nghiệm phân biệt: x1  5  3 và x2  5 

3

b) Ta có  282  4.4.49 0 . Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có nghiệm
kép: x1 x2 



7
2

c) Ta có    3 2



2

nghiệm phân biệt: x1 

 4.3.1 6  0 . Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai
3 2 6
3 2
và x1 
6
6

6

Bài 6.15 SGK/Tr17. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều
rộng ngắn hơn chiều dài 6 m và diện tích là 280 m 2. Tính các
kích thước của mảnh vườn đó.

Giải

Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là x (m)  x  0 

Khi đó, chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là x  6 (m)
Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là x( x  6) ( m 2 )
Do diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là 280 m 2 nên ta có phương trình:

x( x  6) 280 hay x 2  6 x  280 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1  20 (loại), x2 14 (thỏa mãn điều kiện).
Do đó chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là 14 (m)
Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là 20 ( m)

Trò chơi

LUẬT CHƠI:
Trò chơi gồm 6 câu hỏi trắc
nghiệm, thời gian suy nghĩ
trả lời mỗi câu hỏi là 10
giây. Trả lời đúng được 9
điểm, sai thì nhường quyền
trả lời cho người chơi khác.

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương
trình nào là phương trình bậc hai?

A

3x - 5x+ 2 = 0

B

4x – 10 = 0

C

x2 - 5x = x2 + 1

D

2

x2  6
0
x

HẾT GIỜ

Câu 2: Cho phương trình x2 - 3x + 5 = 0,
biệt thức  bằng:

A

11

B

4

C

-29

D

- 11

HẾT GIỜ

Câu 3: Trong các phương trình

sau, phương trình nào vô nghiệm?
A

2x – 5x = 0

B

-x2 + 5x - 12 = 0

C

4x2 - 4x + 1 = 0

D

x2 – x - 2 = 0

2

HẾT GIỜ

Câu 4: Xác định a, b', c của phương trình

-x2 - 4x + 5 = 0,

A

a = 1, b' = 2, c = 5

B

a = -1, b' = -4, c = 5

C

a = -1, b' = -2, c = 5

D

a = -1, b' = -4, c = 5

HẾT GIỜ

Câu 5: Phương trình x2 - 3x - 4 = 0,
có nghiệm là?

A

x1,2
= 1;
x=4
+ 0,8

B

x = -3; x = 4

C

x = -1; x = - 4

D

x = -1; x = 4

HẾT GIỜ

Câu 6: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có
nghiệm khi nào?

A

>0

B

=0

C



D



HẾT GIỜ

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

Ôn lại kiến thức

Hoàn thành các

Chuẩn bị bài mới

đã học trong

bài tập trong

Luyện tập

bài.

SGK

chung.

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ
LẮNG NGHE BÀI GIẢNG!