KHỞI ĐỘNG
Độ cao H (mét) của một vật (so với mặt đất) khi
ném lên từ một điểm trên mặt đất được biểu thị
bởi biểu thức H = -5x2 + 15x, trong đó x (giây)
là thời gian tính từ thời điểm ném vật. Hỏi sau
bao lâu kể từ khi được ném lên, vật sẽ rơi trở lại
mặt đất?
Khi vật rơi trở lại mặt đất độ cao
H bằng bao nhiêu? Để trả lời câu
hỏi của bài toán, ta phải làm gì?

BÀI 25:
ĐA THỨC MỘT BIẾN

NỘI DUNG BÀI HỌC
01 Đơn thức một biến
02 Khái niệm đa thức một biến
03 Đa thức một biến thu gọn
04 Sắp xếp đa thức một biến
05

Bậc và các hệ số của một đa thức

06

Nghiệm của đa thức một biến

1. Đơn thức một biến
Các biểu thức như -0,5x; 3x2; là những ví dụ về đơn
thức một biến. Chúng đều là tích của một số với một
lũy thừa của x.

Sơ lược về đơn thức một biến:

Vậy đơn thức một biến là gì?
Đơn thức một biến (đơn thức) là biểu thức đại số có dạng
tích của môt số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số
thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của
đơn thức.
Đặc điểm của các đơn thức một biến:
Có dạng tích của một số với một lũy thừa của biến.
Ví dụ
Biểu thức 4x3 là một đơn thức, trong đó 4 là hệ số, số mũ 3
của x là bậc của đơn thức đó.

Hệ số

4x3

Bậc

-Đơn thức -0,5x có hệ số là -0,5 và có bậc là 1 (vì x = x1).
-Một số khác 0 là một đơn thức bậc 0.
Chú ý Số 2 là đơn thức bậc 0 vì
Em hãy lấy ví dụ, sau đó chỉ ra
0
có thể
coi
rằng
2
=
2x
bậc và hệ số của đơn thức đó.
Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không
có bậc
Áp dụng, suy nghĩ nhận biết hệ số và bậc của đơn thức hoàn
thành bài ?
Cho biết hệ số và bậc của mỗi đơn thức sau:
a. 2x6
b. x2
c. -8
2
d. 3số:
x2
 Hệ
 Hệ số:
 Hệ số: -8  Hệ số: 32
 Bậc: 6
 Bậc: 2
 Bậc: 0
 Bậc: 1

Cách cộng, trừ, nhân, chia đơn thức một biến
Với các đơn thức một biến, ta có thể:
Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay
trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng
nhận được là một đơn thức.
Ví dụ: -3x4 + x4 = (-3+1).x4 = -2x4
3,7x2 – 1,2x2 = (3,7 -1,2).x2 = 2,5x2
Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và
nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được cũng là
một đơn thức.
Ví dụ: (0,5x).(6x2) = (0,5.6). (x.x2) = 3x3
(-6x3).= (x3.x2) = -4x5
Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2,
ta được đơn thức bậc mấy?
Bậc 5

Luyện tập 1 Tính
a) 5x3 + x3 = (5 + 1)x3 = 6x3
b) x5 –x5
c) (−0,25x2).(8x3)

= (-0,25. 8)(x2.x3) = -2x5
2. Khái niệm đa thức một biến
Quan sát các biểu thức và thảo luận theo nhóm trả lời câu hỏi:
A = 6x3 – 5x2 - 4x3 + 7
B = 2x4 - 3x2 + x + 1
Em có nhận xét gì về đặc điểm chung của 2 biểu thức trên?
Vì a - b = a + (-b) nên
A, B đều là tổng của những
đơn thức với biến x. Đó là
A = 6x3 + (-5x)2 + (-4x3) + 7
những
ví
dụ
về
đa
thức
một
Tương tự:
biến.
4
2
B = 2x + (-3x ) + x + 1
Vậy đa thức một biến là gì?

Khái niệm:
-Đa thức một biến (đa thức) là tổng của những đơn thức
cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử
của đa thức đó.
-Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.
Chú ý Một đơn thức cũng là một đa thức.
Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi
còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.
Ví dụ: A = A(x) = 6x3 - 5x2 - 4x3 + 7
Mỗi số thực có phải là
một đa thức không?
Tại sao?

Mỗi số thực là một đơn thức,
mà một đơn thức cũng là một
đa thức nên mỗi số thực là một
đa thức.

Ví dụ 1 Đa thức 2x3 – 5x2 + 7 có ba hạng tử là 2x3; -5x2
và 7.
Luyện tập 2
Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức B = 2x4 – 3x2 + x + 1
Đa thức B có 4 hạng tử: 2x4; -3x2; x và 1.

3. Đa thức một biến thu gọn

Quan sát các biểu thức và trả lời câu hỏi:
A = 6x3 – 5x2 - 4x3 + 7
B = 2x4 - 3x2 + x + 1
Em hãy nêu nhận xét về các đơn thức cùng bậc trong A và B.
-Trong đa thức A có hai đơn thức cùng bậc là 6x3 và -4x3.
-Trong đa thức B không có hai đơn thức nào cùng bậc.
Kết luận: Đa thức thu gọn là các đa thức không chứa
hai đơn thức nào cùng bậc.

Ví dụ 2

Thu gọn đa thức A = 6x3 – 5x2 - 4x3 + 7
Giải

A = 6x3 - 5x2 - 4x3 + 7
Đổi chỗ hai đơn thức
= 6x3 - 4x3 – 5x2 + 7
= (6x3 - 4x3) - 5x2 + 7
Nhóm hai đơn thức bậc 3
= 2x3 – 5x2 + 7
Cộng hai đơn thức cùng bậc
Luyện tập 3

Thu gọn đa thức: P = 2x3 - 5x2 + 4x3 + 4x + 9 + x
Giải

P = 2x3 - 5x2 + 4x3 + 4x + 9 + x
= (2x3 + 4x3) - 5x2 + (4x + x) + 9
= 6x3 - 5x2 + 5x + 9

4. Sắp xếp đa thức một biến
Cho đa thức P: P = 5x2 - 2x + 1 – 3x4
Sắp xếp các hạng tử của đa thức P = 5x2 - 2x + 1 - 3x4
thứcgiảm
trên của
đã được
chưa?
theo lũyĐa
thừa
biến,thu
ta gọn
được.
Em có nhận4 xét gì
2 về vị trí sắp xếp
P = -3x + 5x - 2x + 1.
các
hạng
tử
(biến
của
chúng
có
theo
Trong đa thức P, ta thấy có các đơn thức bậc 4 và bậc 2,
một
thứ bậc
tự nào
không?)
nhưng khuyết đơn
thức
3. Tuy
nhiên khi cần, ta cũng
có thể viết:
P = - 3x4 + 0x3 + 5x2 – 2x + 1.
Ở đây, ta coi rằng hệ số của lũy thừa bậc 3 là 0.
Luyện tập 4 Thu gọn (nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau
theo lũy thừa giảm của biến:

a.A = 3x - 4x4 + x3
b. B = -2x3 - 5x2 + 2x3 + 4x + x2 - 5
c. C = x5 - x3 + x - x5 + 6x2 - 2
Giải

a. A = 3x - 4x4 + x3
= -4x4 + x3 + 3x
b. B = -2x3 - 5x2 + 2x3 + 4x + x2 - 5
= (-2x3 + 2x3) + (-5x2 + x2) + 4x - 5
= -4x2 + 4x - 5

c. C = x5 - x3 + x - x5 + 6x2 - 2
= (x5 - x5) - x3 + 6x2 + x - 2
= - x3 + 6x2 + x - 2

Chú ý Người ta cũng có thể sắp xếp đa thức theo lũy

thừa tăng của biến.
VD:Ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức P trên
đây như sau: P = 1 - 2x + 5x2 - 3x4
5. Bậc và các hệ số của một đa thức

Bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của một đa thức
P = -3x4 + 5x2 - 2x + 1.
HĐ1

Trong P, bậc của hạng tử 5x2 là 2 (số mũ của x2).
Hãy xác định bậc của các hạng tử trong P.

Xét đa thức P = -3x4 + 5x2 – 2x + 1. Quan sát và trả
lời các câu hỏi sau:

1 Xác định bậc của các hạng tử trong P.
Hạng tử
Bậc

2

Trong đa thức P:
Hạng tử có bậc cao nhất là: ……

Bậc: ….
Hệ số: ….

3

Trong đa thức P; hạng tử có bậc bằng 0 là: ….

Xét đa thức P = -3x4 + 5x2 – 2x + 1. Quan sát và trả lời các
câu hỏi sau:

1

Xác định bậc của các hạng tử trong P.
Hạng tửĐa thức
-3x4P có 5x2

3
Bậchệ số cao4nhất là - 2

2
3

-2x

1

Trong đa thức P:
Hạng tử có bậc cao nhất là: -3x4

Đa1 thức P
có 0bậc là 4
Bậc: 4
Hệ số: - 3

Trong đa thức P; hạng tử có bậc bằng 0 là: 1
Đa thức P có
hệ số tự do là 1

KẾT LUẬN

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không:
-Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa
thức đó.
-Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao
nhất của đa thức đó.
-Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi hệ số tự do của đa thức
đó.
Chú ý -Đa thức không là đa thức không có bậc.
-Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải
khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).

-Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn
đa thức đó.
Một số khác 0 cũng là một đa thức. Vậy bậc của nó bằng
bao nhiêu?
Bậc của nó bằng 0.
Ví dụ 3
Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức
P = -x3 - 2x2 + x3 + 4x + 5.
Giải
Gọi 5 là hệ số tự do vì
trong P, hạng tử 5
P = -x3 - 2x2 + x3 + 4x + 5.
không chứa biến.
= (-x3 + x3) - 2x2 + 4x + 5
= -2x2 + 4x + 5

Luyện tập 5
Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của
mỗi đa thức sau:
a. 5x2 - 2x +1 - 3x4
b. 1,5x2 - 3,4x4 + 0,5x2 - 1.
-Hạng tử có bậc cao nhất là -3x4, bậc của nó là 4, hệ số
là -3.
- Hệ số tự do là 1.
- Hạng tử có bậc cao nhất là -3,4x4, bậc của nó là 4, hệ số
là -3,4.
- Hệ số tự do là -1.
6. Nghiệm của đa thức một biến
Giá trị và nghiệm của một đa thức
Xét đa thức G(x) = x2 - 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x =
3 còn gọi là giá trị của đa thức và được kí hiệu là G(3).
G(3) = 32 – 4 = 5

HĐ4
Tính các giá trị G(−2); G(−1); G(0); G(1); G(2).
Giải
G(-2) = (-2)2 - 4 = 0
G(-1) = (-1)2 - 4 = -3
G(0) = (0)2 - 4 = -4
G(1) = (1)2 - 4 = -3
G(2) = (2)2 - 4 = 0
HĐ5 Với giá trị nào của x thì G(x) có giá trị bằng 0?
Từ kết quả của HĐ4, ta thấy với giá trị x = 2 và x = -2 thì
G(x) = 0
KẾT LUẬN
Nếu tại x = a, đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là
F(a) = 0, tức F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là một
nghiệm của đa thức F(x).

Ví dụ 4
a. x = -3 và x = 0 là hai nghiệm của đa thức A(x) = 2x2 + 6x
vì A(0) = 0 và A(-3) = 2.(-3)2 + 6.(-3) = 0
b. Đa thức B(x) = x2 + 1 không có nghiệm vì tại giá trị bất kì
của x, ta luôn có x2 0 nên B(x) = x2 + 1 1 > 0.
Chú ý
Một đa thức có thể không có
nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.
Nhận xét
Nếu một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một
nghiệm của đa thức đó.
Chẳng hạn, trong ví dụ trên cho thấy đa thức A(x) = 2x2 + 6x
có hệ số tự do bằng 0 và có nghiệm x = 0.

Luyện tập 6
1.Tính giá trị của đa thức F(x) = 2x2 - 3x - 2 tại x = −1; x =
0; x = 1; x = 2. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức F(x).
2. Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x2 + x.
Giải
1. Tính giá trị:
F(-1) = 2.(-1)2 - 3.(-1) - 2 = 3;
F(0) = 2.(0)2 - 3.(0) - 2 = -2;
F(1) = 2.12 - 3.1 - 2 = -3;
F(2) = 2.22 - 3.2 - 2 = 0;
⇒ Một nghiệm của đa thức F(x) là 2.
2. Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x2 + x.
Vì đa thức E(x) có hệ số tự do bằng 0 nên
có một nghiệm là x = 0
x = 0 và x = -1 là nghiệm của đa thức E(x)

vì: E(0) = 02 + 0 ; E(-1) = (-1)2 + (-1) = 0
Nghiệm của đa thức E(x) là 0 và -1.
Vận dụng Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện
các yêu cầu sau:
a. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số
tự do của đa thức H(x) = −5x2 + 15x.
b.Tại sao x = 0 là một nghiệm của đa
thức H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?
c.Tính giá trị của H(x) khi x = 1; x = 2 và x = 3 để
tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa
gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Giải
a.Trong đa thức , hạng tử có bậc cao nhất.
Hạng tử có hệ số là –5 và bậc là 2.
Hệ số tự do trong đa thức là 0.
b. là một nghiệm của đa thức vì tại , đa thức ta được
giá trị của bằng 0.
Kết quả đó nói lên: 0 là một nghiệm của đa thức .
c. H(1) = −5. 12 + 15. 1 = 10
    H(2) = −5. 22 + 15. 2 = 10
    H(3) = −5. 32 + 15. 3 = 0

Kết luận:
-Khi ném vật từ một điểm trên
mặt đất sau thời gian là 1 giây, thì
độ cao của vật là 10m.
-Khi ném vật từ một điểm trên mặt
đất sau thời gian là 2 giây, thì độ
cao của vật là 10m.
- Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời
gian là 3 giây, thì vật rơi trở lại mặt đất (0m).

LUYỆN TẬP
Bài 7.5
a.Tính .(−4x2). Tìm hệ số và bậc của đơn
thức nhận được.
b.Tính −. Tìm hệ số và bậc của đơn thức
nhận được.
Giải
a.
Hệ số: -2a

Bậc: 5

b.
Hệ số: -2

Bậc: 6

Bài 7.6
Cho hai đa thức: A(x) = x3 + x – 7x4 + x – 4x2 + 9
B(x) = x5 – 3x2 + 8x4 – 5x2 – x5 + x – 7
a.Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa
giảm của biến.
b.Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa
thức đã cho.

Giải
A(x) = x3 + x – 7x4 + x – 4x2 + 9
= -7x4 + x3 - 4x2 + ( x + x) + 9
= -7x4 + x3 - 4x2 + 2x + 9

Bậc cao nhất: 4
Hệ số cao nhất: -7
        Hệ số tự do: 9

B(x) = x5 - 3x2 + 8x4 - 5x2 - x5 + x - 7
= (x5 - x5) + 8x4 + (-3x2 - 5x2) + x- 7
= 8x4 - 8x2 + x - 7
Bậc cao nhất: 4

    Hệ số cao nhất: 8
    Hệ số tự do: -7

Cho hai đa thức:
P(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – 2x4 – 4x3 
 Q(x) = 3x – 4x3 + 8x2 – 5x + 4x3 + 5
a.Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm
của biến.
 b.Sử dụng kết quả câu a để tính P(1), P(0), Q(−1) và Q(0).
Giải
a. P(x) = (2x4 − 2x4) + (5x3 − x3 − 4x3) + (−x2 + 3x2) = 2x2
Q(x) = 3x − 4x3 + 8x2 − 5x + 4x3 + 5
        = (−4x3 + 4x3) + 8x2 + (3x − 5x) + 5
        = 8x2 − 2x + 5
b.P(1) = 2.12 = 2
P(0) = 2.02 = 0
Q(−1) = 8.(−1)2 − 2.(−1) + 5 = 15
Q(0) = 8.02 − 2. 0 + 5 = 5
Bài 7.7

TRÒ CHƠI
EM TẬP LÀM THỦ MÔN

Câu 1: Đa thức nào dưới đây là đa thức một biến?
A. x2 + y + 1

B. x2 - + x

C. x + x2 – 3z

D. xyz – yz + 3

Câu 2: Sắp xếp đa thức -y4 + y7 - 3y2 + 8y5 - y theo
lũy thừa tăng dần của biến ta được:
A. -y – 3y2 - y4 + 8y5 + y7

B. -y – 3y2 + y4 + 8y5 + y7

C. y – 3y2 - y4 + 8y5 + y7

D. y – 3y2 - y4 + 8y5 + y7

Câu 3: Hệ số cao nhất của đa thức 5x6 + 6x5 + x4 - 3x2 + 7 ?

A. 6

B. 7

C. 4

D. 5

Câu 4: Cho a, b, c là hằng số, hệ số tự do của đa thức
x2 + (A + B)x - 5a + 3b + 2 là
A. 5a + 3a + 2

B. -5a + 3a + 2

C. 2

D. 3b + 2

Câu 5: Cho hai đa thức f(x) = 3x4 - 1 và g(x) = 5x4 - 3x3 + 2x.
Chọn đáp án đúng?

A. f(2) = g(2)

B. f(2) = 2.g(2)

C. f(2) < g(2)

D. f(2) > g(2)

Câu 6: Tính đa thức f(x) = ax + b. Biết f(0) = 4; f(3) = 12.
A. f(x) = 3x + 4

B. f(x) =

C. f(x) =

D. f(x) =

VẬN DỤNG

Bài 7.8
Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa
nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được 22m3 nước. Máy thứ
hai bơm mỗi giờ được 16m3 nước. Sau khi cả hai máy chạy
trong x giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy
thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy.
Hãy viết đa thức (biến x) biểu thị dung tích của bể (m3), biết
rằng trước khi bơm, trong bể có 1,5 m3 nước. Tìm hệ số cao
nhất và hệ số tự do của đa thức đó.
Giải
a.Gọi V là dung tích bể nước.
Ta có: Đa thức (biến x) biểu thị
dung tích của bể:

b.Hệ số cao nhất của đa thức V là: 38
Hệ số tự do:
9,5
Bài 7.11
Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng
cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham
khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng).
a. Hãy tìm đa thức (biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại
(đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.
b.Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho.
Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?

Giải
a) Số tiền Quỳnh bỏ ra để mua bộ dụng cụ học tập và cuốn
sách Toán là: 37 + x nghìn đồng.
Đa thức biểu thị số tiền Quỳnh còn lại là:
Q(x) = 100 – (37 + x) = 63 - x (nghìn đồng)
• Bậc của đa thức: bậc 1.
b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho
nên: Q(x) = 0 ⇒ 63 - x = 0 ⇒ x = 63
Vậy: Giá của cuốn sách là 63 nghìn đồng.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Ôn tập kiến thức đã học
Hoàn thành bài tập còn lại trong SGK và bài tập
SBT
Chuẩn bị bài sau - Bài 26.PHÉP CỘNG VÀ PHÉP
TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ LẮNG
NGHE BÀI GIẢNG!
HẸN GẶP LẠI CÁC EM Ở
TIẾT HỌC SAU!