Bài toán mở đầu

GIẢI
Với hai biến x và y biểu thị giả thiết này, hệ thức cần tìm là: x + y = 17.

GIẢI
− Câu thơ thứ ba “Chia ba mỗi quả quýt rồi” tức là mỗi quả quýt chia ba nên có
3y miếng quýt.
− Câu thơ thứ tư “Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh” tức là chia mười mỗi
quả cam nên có 10x miếng cam.
− Câu thơ thứ năm “Trăm người, trăm miếng ngọt lành” tức là tổng số miếng
cam và quýt là 100 miếng nên 10x + 3y = 100.

GIẢI
Ta có thể viết các phương trình bậc nhất hai ẩn khác nhau.
Chẳng hạn: 8x + 3y = 11.
Với x = 1; y = 1 thì 8x + 3y = 8 . 1 + 3 . 1 = 11.
Ta thấy (1; 1) là một nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 8x + 3y = 11.

x +2 y=5
?

?

−2+ 2 y =5
2 y=5 +2
2 y =7
7
y=
2

?

?

?

−1+2 y =5
2 y=5 +1
2 y= 6
6
y = =3
2

0+ 2 y=5
2 y =5
5
y=
2

x +2 y=5
?

x +2 .1=5

x +2 . 2=5

x +2=5

x +4 =5

x=5 − 2

x=5 − 4

x=3

x=1

?

y =−0,5 x +1,5
C ho x=0
T a đượ c y =− 0,5 . 0+1,5

⟹ y=1,5

y

A ( 0 ;1,5 )

C ho y=0

2
A 11,5

–1 O
–1

T a đượ c 0=− 0,5 x +1,5
1,5
⟹ x=
=3
−0,5

N

B (3 ; 0)

1

d
2

B
3

4

5 x

GIẢI
a) Xét phương trình 2x – 3y = 5.   (1)
Ta viết (1) dưới dạng y = .
Mỗi cặp số (x; ) với x ∈ ℝ tùy ý, là một nghiệm của phương trình (1).
Khi đó, ta nói phương trình (1) có nghiệm (tổng quát) là: 
(x; ) với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng y = .
Ta cũng gọi đường thẳng này là đường thẳng d: 2x – 3y = 5.
Ta xác định được hai điểm tùy ý của đường thẳng y =
Chẳng hạn:
Cho x = 1
Cho x = 4

2
5 2 5
 y= .1− ¿ − ¿ −1
3
3 3 3
2
5 8 5
 y= .4 − ¿ − ¿ 1
3
3 3 3

A(1; 1)
B(4; 1)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó, ta được đường thẳng y =
A(1; 1)

y

B(4; 1)

3
y=

2
1
–3

–2 –1

O
–1
–2

B
1
A

2

3

4

5

x

b) Xét phương trình 0x + y = 3.          (2)
Ta viết gọn (2) thành y = 3. Phương trình (2) có nghiệm (x; 3) với x ∈ ℝ tùy ý.
Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục
hoành và cắt trục tung tại điểm N(0; 3).
Ta gọi đó là đường thẳng y = 3.

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình y = 3 như sau:
Xác định điểm M(0; 3)

y
4
3

y=3

N

2
1
–3

–2 –1

O
–1

1

2

3

4

5

x

c) Xét phương trình x + 0y = −2.        (3)
Ta viết gọn (3) thành x = −2. Phương trình (3) có nghiệm (−2; y) với y ∈ ℝ tùy ý.
Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục tung
và cắt trục hoành tại điểm N(−2; 0).
Ta gọi đó là đường thẳng x = −2.

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình x = −2 như sau:   
Xác định điểm M(−2; 0)

y
4
3
2
x = −2

1
M

–3 –2

–1

O
–1

1

2

3

4

5

x

Xét hệ phương trình:  
GIẢI
Ta thấy khi x = 0; y = −2 thì
• x – 2y = 0 – 2 . (−2) = 0 + 4 = 4 nên (0; −2) là nghiệm của phương trình
thứ nhất;

• 4x + 3y = 4 . 0 + 3 . (−2) = 0 − 6 = −6 ≠ 5 nên (0; −2) không phải là nghiệm
của phương trình thứ hai.
Do đó (0; −2) không phải là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (0;
−2) không phải là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

* Ta thấy khi x = 2; y = −1 thì
• x – 2y = 2 – 2 . (−1) = 2 + 2 = 4 nên (2; −1) là nghiệm của phương trình thứ
nhất;
• 4x + 3y = 4 . 2 + 3 . (−1) = 8 – 3 = 5 nên (2; −1) là nghiệm của phương trình
thứ hai.
Do đó (2; −1) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (2; −1) là một
nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Xét hệ phương trình: 
* Ta thấy khi x = 10; y = 7 thì
• x + y = 10 + 7 = 17 nên (10; 7) là nghiệm của phương trình thứ nhất;
• 10x + 3y = 10 . 10 + 3 . 7 = 100 + 21 = 121 ≠ 100 nên (10; 7) không phải là
nghiệm của phương trình thứ hai.
Do đó (10; 7) không là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (10; 7)
không phải là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

* Ta thấy khi x = 7; y = 10 thì
• x + y = 7 + 10 = 17 nên (7; 10) là nghiệm của phương trình thứ nhất;
• 10x + 3y = 10 . 7 + 3 . 10 = 70 + 30 = 100 nên (7; 10) là nghiệm của
phương trình thứ hai.
Do đó (7; 10) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (7; 10) là một
nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Vậy cặp số (7; 10) là nghiệm của hệ phương trình trên; số cam và số quýt thỏa
mãn yêu cầu của bài toán cổ là 7 quả quả cam và 10 quả quýt.

Lời giải:
a) Phương trình 5x – 8y = 0 có dạng ax + by = c với a = 5 ≠ 0, b = –8 ≠ 0.
Do đó, phương trình 5x – 8y = 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Phương trình 4x + 0y = –2 có dạng ax + by = c với a = 4 ≠ 0.
Do đó, phương trình 4x + 0y = –2 là phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) Phương trình 0x + 0y = 1 có dạng ax + by = c với a = 0, b = 0.
Do đó, phương trình 0x + 0y = 1 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
d) Phương trình 0x – 3y = 9 có dạng ax + by = c với b = –3 ≠ 0.
Do đó, phương trình 0x – 3y = 9 là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải:

x

–1

–0,5

0

0,5

1

2

y = 2x – 1

–3

–2

–1

0

1

3

a)• Với x = –1, ta có y = 2 . (–1) – 1 = – 2 – 1 = –3;
• Với x = –0,5, ta có y = 2 . (–0,5) – 1 = – 1 – 1 = –2;
• Với x = 0, ta có y = 2 . 0 – 1 = 0 – 1 = –1;
• Với x = 0,5, ta có y = 2 . 0,5 – 1 = 1 – 1 = 0;
• Với x = 1, ta có y = 2 . 1 – 1 = 2 – 1 = 1;
• Với x = 2, ta có y = 2 . 2 – 1 = 4 – 1 = 3.
Vậy 6 nghiệm của phương trình đã cho là (–1; –3), (–0,5; –2), (0; –1),(0,5; 1), (1; 1),(2; 3).

b) Ta có y = 2x – 1.
Với mỗi giá trị x tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị y tương ứng.
Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát của phương trình đó là: (x; 2x – 1) với x ∈ ℝ tùy ý.

Lời giải:
a) Xét phương trình 2x – y = 3.          (1)
Ta viết (1) dưới dạng y = 2x – 3.
Mỗi cặp số (x; 2x – 3) với x ∈ ℝ tùy ý, là một nghiệm của (1).

Khi đó, ta nói phương trình (1) có nghiệm (tổng quát) là: (x; 2x – 3)
với x ∈ ℝ tùy ý.
Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng y = 2x – 3
Ta xác định được hai điểm tùy ý của đường thẳng y = 2x – 3
Chẳng hạn:
Cho x = 0  y = 2 . 0 – 3 = – 3
Cho x = 1  y = 2 . 1 – 3 = 2 – 3 = – 1

A(0; – 3)
B(1; –1)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0; – 3) và B(1; –1)
ta được đường thẳng d: y = 2x – 3 như sau:

y
2

d: y = 2x − 3

1
–3 –2

–1

O
–1
–2
A
–3
–4

1

2
B

3

4

5

x

b) Xét phương trình 0x + 2y = –4 .      (2)
Ta viết gọn (2) thành y = –2. Phương trình (2) có nghiệm (x; –2) với x ∈ ℝ tùy ý.
Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành
và cắt trục tung tại điểm M(0; –2). Ta gọi đó là đường thẳng y = –2.     

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình y = –2 như sau:
y
2

Xác định điểm M(0; –2)

1
–3 –2

–1

O
–1

1
M

–2
–3
–4

2

3

4

5
y=−2

x

c) Xét phương trình 3x + 0y = 5.      (3)
Ta viết gọn (3) thành .
Phương trình (3) có nghiệm ( ; y) với y ∈ ℝ tùy ý.
Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục tung
và cắt trục hoành tại điểm N . Ta gọi đó là đường thẳng .

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình  như sau:
y
2

Xác định điểm N

1
N
–3 –2

–1

O
–1
–2
–3
–4

1

5

2 3 3

x=

4

5
3

5

x