KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƯƠNG I
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

CHƯƠNG I

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP THẾ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP CỘNG
GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƯƠNG I
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng:
ax + by = c

PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

(1)

Trong đó a, b và c là các số đã biết (a  0 hoặc b  0)

Nếu tại là một khẳng định đúng thì cặp số được gọi là một
nghiệm của phương trình (1).

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƯƠNG I
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax
+ by = c và a'x + b'y = c được gọi là một hệ hai
phương trình bật nhất hai ẩn.

HỆ
HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:
(*)
Mỗi cặp số được gọi là một nghiệm của hệ (*)
nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương
trình của hệ (*)

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƯƠNG I
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu
diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương
trình còn lại của hệ được phương trình chỉ

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận
được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƯƠNG I

Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của phương
trình trong hệ để được phương trình chỉ còn

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG

chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận
được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƯƠNG I
Bước 1: Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại
lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại

GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm tìm được của
phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không
thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

TRÒ CHƠI

ÚP LY

1

Câu 1

2

Câu 2

Bắt đầu

3

4

Câu 3

Câu 4

1

2

3

4

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 1

Câu 4: Cập số nào sau đây là nghiệp của hệ phương trình

A.

B.

C.

D.
12

CASIO fx-580VN X

CASIO fx-570VN PLUS

MO
DE

w912

5

1

𝑎 1=5 ; 𝑏1 =7 ; 𝑐 1=−1 ; 𝑎 2=3 ; 𝑏2=2; 𝑐 2= −5 ;

5=7=p1=3=2=p5=
=

=

Câu 4: Cập số nào sau đây là nghiệp của hệ phương trình

A.

B.

C.

D.
14

1

2

4

Câu 2

Câu 3

Câu 1

Câu 4

Câu 1: Trên mặt phẳng Oxy, cho các điểm
Đường thẳng 4x – 3y = – 1 đi qua hai điểm nào trong các
điểm đã cho?
A.

A và B

B.

B và C

C.

C và D

D.

D và A

• Thay x = 1; y = 2 vào phương trình

Suy ra đường thẳng 4x – 3y = –1

đường thẳng, ta có:

không đi qua B(5; 6).

4 . 1 – 3 . 2 = 4 – 6 = –2 ≠ –1.

Do đó, loại đáp án B.

Suy ra đường thẳng 4x – 3y = –1

• Thay x = 2; y = 3 vào phương

không đi qua A(1; 2).

trình đường thẳng, ta có:

Do đó, loại đáp án A và D.

4 . 2 – 3 . 3 = 8 – 9 = –1.

• Thay x = 5; y = 6 vào phương trình

Suy ra đường thẳng 4x – 3y = –1 đi

đường thẳng, ta có:

qua C(2; 3).

4 . 5 – 3 . 6 = 20 – 18 = 2 ≠ –1.

Do đó, ta chọn đáp án C.

Câu 1: Trên mặt phẳng Oxy, cho các điểm
Đường thẳng 4x – 3y = – 1 đi qua hai điểm nào trong các
điểm đã cho?
A.

A và B

B.

B và C

C.

C và D

D.

D và A

1

2

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 1

Câu 3: Hệ phương trình

A.

B.

C.

D.
20

CASIO fx-570VN PLUS

CASIO fx-580VN X

MO
DE

w912

5

1

𝑎 1=1,5 ; 𝑏1 =−0,6 ; 𝑐1 =0,3 ; 𝑎 2=− 2 ; 𝑏2=1 ; 𝑐 2=− 2 ;

1.5=p0.6=0.3=p2=1=p2=

=

=

Câu 3: Hệ phương trình

A.

B.

C.

D.
22

1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 1

Câu 2: Hệ phương trình

A.

B.

C.

D.

CASIO fx-580VN X

w912

CASIO fx-570VN PLUS

MO
DE

5

1

a 1=0,6 ; b1= 0,3 ; c 1=1,8 ; a2= 2; b2= 1; c 2 =−6

0.6=0.3=1.8=2=1=p6=

=

Câu 2: Hệ phương trình

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

{

2 x +5 y =10 (1 )
a¿
2
x + y = 1 (2 )
5

Nhân hai vế của phương trình (1) với 5, ta được: 
Trừ từng vế phương trình (1) và (3) , ta được 0x + 0y = 5.            (4)
Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức (4) nên hệ phương trình đã
cho vô nghiệm.

{

b ¿ 0,2 x +0,1 y =0,3( 1)
3 x + y =5( 2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 10, ta được: 
Trừ từng vế phương trình (2) cho (3), ta được x = 2

Thế x = 2 vào phương trình (2), ta có:
3.2+y=5
6+y=5
y=5–6
y = –1.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; –1).

{

3
1
c ¿ 2 x − y = 2 (1 )
6 x − 4 y =2 (2 )

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 và chia hai vế của phương trình (2)cho
2, ta được:  
Trừ từng vế phương trình (3) và (4), ta được 0x = 0
Phương trình (5) nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

(5)

Ta có:

3x – 2y = 1
2y = 3x – 1

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Các nghiệm của hệ được viết như sau

(

3
1
x ∈ℝ ; y = x −
2
2

)

Lời giải:

{

a ¿ 0,5 x + 2 y =− 2,5 (1 )
0,7 x − 3 y =8,1 ( 2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2)
với 2, ta được: 
Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta được:
2,9x = 8,7
x=3

Thế x = 3 vào phương trình (1), ta có:
0,5 . 3 + 2y = – 2,5
1,5 + 2y = – 2,5
2y = – 2,5 – 1,5
2y = – 4
y = – 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (3; –2).

{

b ¿ 5 x − 3 y =− 2 (1 )
14 x + 8 y=19 (2 )

Nhân hai vế của phương trình (1) với 8 và nhân hai vế của phương trình (2) với
3, ta được: 
Cộng từng vế phương trình (3) và (4), ta được:
82x = 41

1
¿
2

1
Thế x=
  2 vào phương trình (1), ta có:

3 là 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
¿

2

( )
1 3
;
2 2

{

2 ( x − 2 ) +3 ( 1+ y )=− 2(1)
c¿
3 ( x − 2 ) − 2 ( 1+ y )=− 3( 2)

Đặt a = x – 2; b = 1 + y
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:  
Nhân hai vế của phương trình (3) với 3 và nhân hai vế của phương trình (4)
với 2, ta được: 

Trừ từng vế phương trình (5) cho (6) , ta được: 13b = 0, suy ra b = 0.
Thế b = 0 vào phương trình (3), ta có:
2a + 3 . 0 = – 2
2a = –2
a = –1

• Với a = –1 thì x – 2 = –1
x = –1 + 2
x=1
• Với b = 0 thì 1 + y = 0
y = –1.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; –1).

Lời giải:
Gọi số có hai chữ số cần tìm là 
Sau khi viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số n thì ta được số mới có
dạng 

Nếu viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số n thì được một số lớn hơn số
2n là 585 đơn vị nên ta có phương trình:
100a + 30 + b − 2(10a + b) = 585
100a + b − 20a − 2b = 585 − 30
80a – b = 555

      (1)

Khi viết hai chữ số của số n theo thứ tự ngược lại thì ta được số có dạng  
Theo đề bài, số  nhỏ hơn số  là 18 đơn vị nên ta có phương trình:
10a + b − (10b + a) = 18
10a + b − 10b − a = 18
9a – 9b = 18
a–b=2

     (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Trừ từng vế phương trình (1) và (2) ta có: 
(80a − b) − (a − b) = 555 − 2 
80a − b − a + b = 555 − 2 
 

79a = 553
a=7

(thỏa mãn điều kiện)

• Với a = 7 thay vào phương trình (2) ta được: 
7–b =2
–b =2–7
–b = –5
b = –5
Vậy số tự nhiên n có hai chữ số cần tìm là 75.

(thỏa mãn điều kiện)

Lời giải:
Số ha cấy giống lúa cũ là: 160 – 60 = 100 (ha).
Gọi năng suất của giống lúa cũ và giống lúa mới trên 1 ha lần lượt là x, y (tấn
thóc) (x > 0, y > 0).

Số thóc thu được trên 8 ha giống lúa cũ là 8x (tấn thóc).
Số thóc thu được trên 7 ha giống lúa mới là 7y (tấn thóc).
Kết quả 7 ha giống lúa mới cho thu hoạch nhiều hơn 8 ha giống lúa cũ là 2 tấn
thóc nên ta có phương trình 7y − 8x = 2.                   (1)
Số thóc cũ thu được trên 100 ha giống lúa cũ là 100x (tấn thóc).
Số thóc mới thu được trên 60 ha giống lúa mới là 60y (tấn thóc).
Tổng số thóc (cả hai giống) thu hoạch cả vụ trên 160 ha là 860 tấn nên ta có
phương trình 100x + 60y = 860 hay 5x + 3y = 43.  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  
Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2)
với 7 ta được hệ phương trình:
Trừ từng vế phương trình (3) và (4), ta được:
 
 

− 59x = − 295 
x = 5 (thỏa mãn điều kiện).

Thế x = 5 vào phương trình (2), ta có:
5 . 5 + 3y = 43
3y = 43 – 25
3y = 18
y = 6 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy trên 1 ha, năng suất của giống lúa cũ là 5 tấn thóc/ha, năng suất của giống
lúa mới là 6 tấn thóc/ha.

Lời giải:
Chu vi của hình tròn là 20π (cm).
Không mất tổng quát, xét trường hợp vật thứ nhất chuyển động nhanh hơn vật thứ
hai.
Gọi vận tốc (cm/s) của vật thứ nhất và vật thứ hai lần lượt là x, y (x > y > 0)