CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

Một thiết bị trễ kỹ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp
lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận
được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần và
phát lại được nốt thuần thì âm kết hợp là , trong đó t là biến thời
gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng, tức là âm
kết  hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm và
pha ban đầu của sóng âm.

VIDEO 3

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 2. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

CÔNG THỨC CỘNG

2

CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

3

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TÍCH THÀNH TỔNG

4

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TỔNG THÀNH TÍCH

VIDEO 4

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1. CÔNG THỨC CỘNG

VIDEO 5

HĐ1
a) Cho , hãy chứng tỏ 

Giải:
Ta có: nên

Vậy

y

HĐ1
b) Bằng cách viết  và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính 

Giải:
Ta có:
Mà (hai góc đối nhau).
Do đó

y

HĐ1

y

c) Bằng cách viết  và sử dụng
công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính 

Ta có:

Giải:

(do ).
Vậy

KẾT LUẬN
Công
thức:

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ 1
Không dùng máy tính, hãy tính:

𝜋
a ¿ cos75 ° ;b ¿ 𝑡𝑎𝑛
12

GIẢI:

𝑎¿ cos75 °=𝑐𝑜𝑠 ( 45 °+30 ° ) =𝑐𝑜𝑠 45 ° 𝑐𝑜𝑠 30 °− 𝑠𝑖𝑛 45 ° 𝑠𝑖𝑛 30 °
2 √ 3 √ 2 1 √6 − √ 2
√
¿
.
−
. =
2 2
2 2
4
𝜋
𝜋
2
𝑡𝑎𝑛
− 𝑡𝑎𝑛
(
3
−
1
)
𝜋
𝜋
𝜋
3
4
3−1
√
√
b ¿ 𝑡𝑎𝑛
=𝑡𝑎𝑛
−
=
=
=
= 2− √ 3
12
3
4
𝜋
𝜋
3−1
1+ √ 3
1+𝑡𝑎𝑛
. 𝑡𝑎𝑛
3
4

(

)

Ví dụ 2

(

𝜋
𝑠
𝑖𝑛𝑥+
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
2
𝑠𝑖𝑛
𝑥+
√
Chứng minh rằng:
4

)

GIẢI:
Ta có:

( ) (

) (

𝜋
𝜋
𝜋
2
2
√
√
√ 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥+ =√ 2 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 +𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛 =√ 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 . +𝑐𝑜𝑠𝑥 .
4
4
4
2
2
Đẳng thức được chứng minh.

¿ 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥

LUYỆN TẬP 1:
Chứng minh rằng:
a)  
b)

GIẢI
a) Ta có:

(đpcm).

𝜋
𝑡𝑎𝑛
−𝑡𝑎𝑛
𝑥
b) Ta có:
𝜋
4
𝑉𝑇 =𝑡𝑎𝑛
−𝑥 =
=𝑉𝑃
4
𝜋
1+𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑥
4

(

)

(do )

Vận dụng 1
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
GIẢI:
Ta có:
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được:
Do đó,
Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ),
trong đó biên độ âm  và pha ban đầu của sóng âm là .

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

HĐ2
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:

Giải:

Mà , suy ra và
Do đó,

HĐ2
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:

Giải:

tan ⁡2 𝑎=tan ⁡(𝑎+ 𝑎)
tan 𝑎+ tan 𝑎
¿
1− tan 𝑎 tan 𝑎
2 tan 𝑎
¿
2
1− tan 𝑎

y

KẾT LUẬN

A
C

A
X

Công thức nhân đôi:

B

A

B

C

Ví dụ 3:

(

)

−1 𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑎=
< 𝑎< 𝜋
Cho
. Tính
3 2

Giải:
𝜋
Vì 2 <𝑎 < 𝜋 nên .

√

( )

√ √

1
1 8 2 √2
= 1− = =
Do đó sin 𝑎= √ 1 −𝑐𝑜𝑠 𝑎= 1 − −
3
9 9 3
2

2

( )

2 √2
1
4 √2
. − =−
Vậy sin 2 𝑎=2 sin 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎=2.
3
3
9

Công thức hạ bậc

1+ cos 2 a
cos a=
2
2

1− cos 2 a
sin a=
2
2

LUYỆN TẬP 2:
π
cos
Không dùng máy tính, tính: 
8

Giải

Ta có:

( 8)

√2 =cos π =cos 2. π =2cos2 π −1
2

4

8

π
2
2+ √ 2
√
2π
Suy ra 2 cos 8 =1+ 2 ⇒ cos 8 = 4
2

π
2+
2
√
√
π
cos =
cos
>
0
Vì
nên suy ra
8
2
8

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TÍCH THÀNH TỔNG

HĐ3

a) Từ các công thức cộng và hãy tìm:

b) Từ các công thức cộng  và , hãy tìm: 

Giải
a) Ta có: (1);
  (2).
Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được:

Từ đó suy ra:
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được

Từ đó suy ra:

1
sin ⁡𝑎 sin ⁡𝑏 = [cos ⁡( 𝑎 – 𝑏)– cos ⁡(𝑎+𝑏)]
2

Giải
b) Ta có:
(3)
  

(4)

Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được:

Từ đó suy ra:

1
sin ⁡𝑎 cos ⁡𝑏 = [sin ⁡( 𝑎+𝑏)+sin ⁡(𝑎 – 𝑏)]
2

y

KẾT LUẬN

A
C

A
X

Công thức biến đổi tích thành tổng

B

A

B

C

Ví dụ 4:
Tính giá trị của các biểu thức:

5𝜋
7𝜋
𝐴=𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
; 𝐵=𝑐𝑜𝑠 75 ° 𝑠𝑖𝑛 15 °
12
12
Giải:
Ta có:

[ (

)

(

5𝜋
5𝜋 1
5𝜋 7𝜋
5𝜋 7𝜋
𝐴=𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
= 𝑐𝑜𝑠
−
+𝑐𝑜𝑠
+
12
12 2
12 12
12 12

[ ( )

] (

1
𝜋
1
¿
𝑐𝑜𝑠 −
+𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 ) =
2
6
2

)]

)

√3 − 1 = √3 −
2

4

Ví dụ 4:
Tính giá trị của các biểu thức:

5𝜋
7𝜋
𝐴=𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
; 𝐵=𝑐𝑜𝑠 75 ° 𝑠𝑖𝑛 15 °
12
12
Giải:
Ta có:

1
𝐵=𝑐𝑜𝑠75 ° 𝑠𝑖𝑛15 °= [ 𝑠 𝑖𝑛 ( 15 ° − 75 ° ) + 𝑠𝑖𝑛 ( 15 ° +75 ° ) ]
2

(

)

1
1
3
2 −√3
√
¿ [ 𝑠𝑖𝑛 ( − 60 ° ) + 𝑠𝑖𝑛 ( 90 ° ) ] =
−
+1 =
2
2
2
4

LUYỆN TẬP 3:

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

5π
7π
B=sin
cos
12
12

Giải

1
¿
2

¿
Ta có:
1
1
o
o
¿
( cos 60 +cos 90 )= .
2
2

(

)

1
1
+0 =
2
4

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TỔNG THÀNH TÍCH

HĐ4
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3,
đặt  và viết các công thức nhận được

Giải:

HĐ4
Giải:
Đặt
Ta có: và

𝑢+𝑣
𝑢− 𝑣
Suy ra 𝑎= 2 ; 𝑏=− 2
Khi đó: (1) trở thành:

(

)

( 𝑢+𝑣 )
𝑢− 𝑣 1
𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠 −
= ( 𝑐𝑜𝑠𝑢+𝑐𝑜𝑠 𝑣 )
2
2
2

𝑢+ 𝑣
𝑢−𝑣
⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑢+ 𝑐𝑜𝑠 𝑣=2 𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
2
2
(do ).

HĐ4
Giải:
•

(2) trở thành:

(do )

•

(3) trở thành:

KẾT LUẬN
Công thức biến đổi tổng thành tích:

CÂU HỎI
Biến đổi tổng thành tích:
a)

b)

Giải
a)

CÂU HỎI
Biến đổi tổng thành tích:
a)

b)

Giải
b)

LUYỆN TẬP 4:
Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức

Giải:
Ta có:

VẬN DỤNG 2
Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết
hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần
số thấp f1 và tần số cao f2 liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra
sóng âm ở đó là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi
nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng
tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

GIẢI
a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra có tần
số thấp f1 = 770 Hz và tần số cao f2 = 1 209 Hz.
Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là:

b) Ta có:

Vậy ta có hàm số:

LUYỆN TẬP