CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

MỞ ĐẦU
Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một
hình lăng trụ đứng tam giác như Hình 2.47b. Với hệ trục tọa độ thể
hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimet), hai điểm và có
tọa độ lần lượt là và . Từ những thông tin trên, có thể tính được kích
thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ hay không?

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 8. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC
PHÉP TOÁN VECTƠ

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC

√x

1
2
3

BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI
VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN
MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ
HƯỚNG
VẬN DỤNG TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG MỘT
SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

VIDEO 4

1. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI
VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT
SỐ VỚI MỘT VECTƠ

HĐ1:
Trong không gian , cho hai vectơ và
a) Biểu diễn hai vectơ và qua các vectơ đơn vị .
b) Biểu diễn hai vectơ và qua các vectơ đơn vị từ đó xác định toạ độ
của hai vectơ đó.

Giải: a) .
b) Ta có:
Khi đó,
Ta có
Khi đó, .

VIDEO 5

Ghi nhớ:
Trong không gian , cho hai vectơ và . Ta có:
;
;
với là một số thực.

Nếu tọa độ của vectơ là thì tọa độ của vectơ đối
của là gì?
Trả lời:
có tọa độ là .

t
é
x
n
ậ
Nh
i
h
k
ỉ
h
c
à
v
i
h
k
ơ
t
c
e
v
i
ớ
v
Vectơ cùng phương
tồn tại số thực sao cho

Ví dụ 1.
Trong không gian , cho hai vectơ và Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau:
a)

Giải:

a) Vì và nên

b) Ta có và
Do đó

b)

Luyện tập 1
Trong không gian cho ba vectơ
Tìm tọa độ của vectơ .

Giải:
Ta có: .
Khi đó,

HĐ2:

Trong không gian , cho tam giác có , và .

a) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tìm tọa độ của theo tọa độ của và .
b) Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm tọa độ của theo tọa độ của và .

Giải: a) Gọi
Ta có: ; ; ;

HĐ2:

Trong không gian , cho tam giác có , và .

a) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tìm tọa độ của theo tọa độ của và .
b) Gọi là trọng tâm của tam giác . Tìm tọa độ của theo tọa độ của và .

Giải:

b) Vì là trọng tâm tam giác nên

Ghi nhớ:
Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng
và . Khi đó:

Ví dụ 2.
Trong không gian , cho ba điểm và Tìm tọa độ trung điểm của đoạn
thẳng và
Giải:

tọa độ trọng tâm của tam giác

Luyện tập 2
Trong không gian , cho ba điểm và . Tìm tọa độ điểm sao cho tam giác
nhận là trọng tâm.
Giải:

Gọi
Ta có:Vậy .

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA
TÍCH VÔ HƯỚNG

HĐ3:
Trong không gian , cho hai vectơ và .
a) Giải thích vì sao  và .
b) Sử dụng biểu diễn  để tính các tích vô hướng  và .
c) Sử dụng biểu diễn  để tính tích vô hướng .

Giải:

a) Vì có độ dài là 1 nên .
Vì đôi một vuông góc nên .
b) Ta có:
Do đó
Mặt khác suy ra
Tương tự, ta có: .

HĐ3:
Trong không gian , cho hai vectơ và .
a) Giải thích vì sao  và .
b) Sử dụng biểu diễn  để tính các tích vô hướng  và .
c) Sử dụng biểu diễn  để tính tích vô hướng .

Giải:

c) Ta có: .
Tương tự, và .
Mặt khác:
Nên

Ghi nhớ:

Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ
và được xác định bởi công thức:

Nhận xét
• Hai vectơ và vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu .

• Nếu thì
• Nếu và   là hai vectơ khác thì

Ví dụ 3.
Trong không gian , cho hai vectơ và
a) Tính và cho biết hai vectơ và có vuông góc với nhau hay
không.
b) Tính độ dài của vectơ

Giải:
a) Ta có:
Do đó, hai vectơ và vuông góc với nhau.
b) Độ dài của vecto là .

Luyện tập 3
Trong Ví dụ 3, tính .
Giải:
Ta có:
.

Ví dụ 4.
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và vuông
góc với mặt phẳng . Giả sử . Xét hệ tọa độ với
trùng và các tia lần lượt trùng với các tia (H.2.48).

a) Xác định tọa độ của các điểm
b) và
c) Tính .

Ví dụ 4.
Giải:
a) Vì trùng gốc toạ độ nên
Vì thuộc tia và nên
Vì thuộc tia và nên
Vì thuộc tia và nên
Vì hình chiếu của lên các trục lần lượt là nên

Ví dụ 4.
Giải: b) Ta có
suy ra
Ta có
suy ra

Chú ý
Nếu và thì
.
Đặc biệt, khi trùng , ta nhận được công thức .

THẢO LUẬN NHÓM ĐÔI

Luyện tập 4
Trong không gian , cho , và .
a) Tính chu vi của tam giác .

Giải:

a) Ta có:   .
Suy ra: .
Vậy chu vi tam giác là .

Suy ra,  .

b) Tính .

3. VẬN DỤNG TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ
LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

Ví dụ 5.
Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo
kilômét), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và
hướng không đổi từ điểm A(800; 500; 7) đến điểm B(940; 550; 8) trong 10
phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của
máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

Gọi là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

Giải:

Vì hướng của máy bay không đổi nên và cùng hướng.

Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ đến gấp đôi thời gian bay từ
đến nên
Mặt khác, nên
Từ đó và vì vậy
Vậy toạ độ của máy bay sau phút tiếp theo là

Luyện tập 5
Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của chiếc máy
bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).

Giải:
Gọi là vị trí của máy bay 10 phút tiếp theo.
Khi đó:
Suy ra,
.

Ví dụ 6.
Hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Giải:

Vì điểm có toạ độ là nên khoảng cách từ đến các trục lần lượt là và
Suy ra và .
Từ giả thiết suy ra do đó
VÌ và nằm trên trục nên toạ độ của điểm là
Do đó và
Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là , chiều rộng là , mỗi cạnh bên của
dài là .

mặt tiền có độ

Luyện tập 6
Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc .

Giải:
Ta có:
Khi đó:
Suy ra,

Ví dụ 7.
Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về
phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát
1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km.
Chọn hệ trục toạ độ với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng trùng với mặt đất
với trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (H.2.50), đơn
vị đo lấy theo kilômét.

a) Tìm toạ độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ
toạ độ đã chọn.
b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm
tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Ví dụ 7.
Giải:

a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có toạ độ lần lượt là và
b) Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

Luyện tập 7
Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa xuất phát điểm hơn? Giải
thích vì sao.

Giải:

Theo Ví dụ 7, tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là
Tọa độ của khinh khí cầu thứ hai là ).

LUYỆN TẬP

Câu 1: Trong không gian , cho hai vectơ ,

). Tọa độ của vectơ

bằng

A. .

C.

B. .

D. .

Câu 2: Trong không gian , cho vectơ . Độ dài của vectơ là:

A. .

C.

B. .

D. .