22

•
•
•
•
•

BA ĐƯỜNG CONIC

THUẬT NGỮ
Conic, Elip, Hypebol, Parabol
Tiêu điểm
Tiêu cự
Phương trình chuẩn tắc
Đường chuẩn, tham số liệu

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
• Nhận biết ba đường conic bằng
hình học.
• Nhận biết phương trình chính tắc
của ba đường conic.
• Giải quyết một số vấn đề thực tiễn
gắn với ba đường conic.

Trong thực tế, em có thể bắt gặp nhiều hình ảnh ứng với các đường elip
(ellipse), hypebol (hyperbola), parabol (parabola), gọi chung là ba đường
conic. Được phát hiện và nghiên cứu từ thời Hy Lạp cổ đại, nhưng các ứng
dụng phong phú và quan trọng của các đường conic chỉ được phát hiện
trong những thế kỉ gần đây, khởi đầu là định luật nổi tiếng của Kepler
(Johnnes Kepler, 1571 – 1630) về quỹ đạo của các hành tinh trong hệ Mặt
Trời. Để có thể tiếp tục câu chuyện thú vị này, ta cần tìm hiểu kĩ hơn, đặc
biệt là tìm phương trình đại số mô ta các đường conic.

a)

b)

Hình 7.17

c)

1. ELIP

a)

HĐ1: Đính hai đầu của một sợi dây không
đàn hồi vào hai vị trí cố định , trên một
mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng
cách giữa hai điểm , ). Kéo căng sợi dây
tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc
phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ
trên mặt bàn một đường khép kín
(H.7.18).
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với
hình ảnh nào ở Hình 7.17?
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để
vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng
cách từ nó tới các vị trí , có thay đổi

b)

c)

Hình 7.17

Giải:
a) Đường vừa nhận được có liên
hệ với hình ảnh b ở Hình 7.17.
b) Trong quá trình đầu bút di
chuyển để vẽ nên đường nói
trên, tổng các khoảng cách từ nó
tới các vị trí , không thay đổi. Vì
độ dài sợi dây không đổi.

Định nghĩa: Cho hai điểm cố định và phân biệt , . Đặt . Cho số thực lớn
hơn . Tập hợp các điểm sao cho được gọi là đường elip (hay elip). Hai
điểm , được gọi là hai tiêu điểm và được gọi là tiêu cự của elip đó.
Ví dụ 1: Cho lục giác đều ABCDEF. Giải:
Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện ?
Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, Lục giác đều có các cạnh bằng nhau
F cùng thuộc một elip có hai tiêu và các góc đều có số đo là (H.7.19).
điểm là A và D.
Do đó, các tam giác , , , bằng nhau
(c.g.c).
Suy ra .
Từ đó ta có:
.
Vậy B, C, E, F cùng thuộc một elip có
hai tiêu điểm là A và D.

Luyện tập 1.
Trên bàn bida hình elip có một lỗ
thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20).
Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh
vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại
của bàn, thì sau khi va vào thành
bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu
(bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ
dài quãng đường bi lăn từ điểm
xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc
vào đường đi của bi hay không? Vì
sao?

Giải:
Độ dài quãng đường bi lăn từ điểm
xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc
vào đường đi của bi. Vì tổng khoảng
cách từ điểm bi va vào thành bàn đến
hai tiêu điểm là không đổi.

HĐ2. Xét một elip với các kí hiệu
như trong định nghĩa. Chọn hệ trục
tọa độ có gốc là trung điểm của ,
tia trùng tia (H.7.21)
a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm , .
b) Giải thích vì sao điểm thuộc elip
khi và chỉ khi
.

Giải:
a) Vì nên và
b) Ta có
⟺.
Chú ý: Người ta có thể biến đổi về
dạng , với .

Trong mặt phẳng tọa độ , elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho
là trung điểm của đọan thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình
, với .
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng đều là phương trình của elip có hai
tiêu điểm , , tiêu cự và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó
tới hai tiêu điểm bằng .
Phương trình được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.
Ví dụ 2: Cho Elip có phương trình
chính tắc
.
Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của
Elip.
Tính tổng các khoảng cách từ mỗi
điểm trên elip tới hai tiêu điểm.

Giải:
Ta có: , .
Do đó .
Vậy elip có hai tiêu điểm là ; và tiêu
cự là .
Ta có: , nên tổng các khoảng cách từ
mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm
bằng .

Luyện tập 2.
Cho Elip có phương trình chính tắc

.
Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của
elip.

Giải:
Ta có: , .
Do đó .
Vậy elip có hai tiêu điểm là ; và tiêu
cự là .

Vận dụng 1.
Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô
thoáng trong hình 7.22 là nửa nằm
phía trên trục hoành của elip có
phương trình
.
Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng
tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với
30 cm trên thực tế. Tính chiều cao
h của ô thoáng tại điểm cách điểm
chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Giải:
Ta có: , nên
.
Vì nên khoảng cách từ O đến vị trí
ngoài cùng bằng cm.
Vì nên khoảng cách từ O đến vị trí
đỉnh phía trên bằng cm.
Ta có tỉ lệ
cm.

2. HYPEBOL
Trên mặt phẳng, nếu hai thiết bị đặt tại các vị trí , nhận
được một tín hiệu âm thanh cùng lúc thì vị trí phát ra tín
hiệu cách đều hai điểm ,, và do đó, nằm trên đường
trung trực của đoạn thẳng . Nếu hai thiết bị nhận được
tin hiệu không cùng lúc thì để giới hạn khu vực tìm kiếm
nơi phát ra tín hiệu, ta cần biết một đối tượng toán học,
gọi
là
hypebol.
HĐ3: Giả sử thiết bị tại nhận được tín Giải:

hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại là 2 a) Gọi là điểm phát ra tín hiệu âm
giây và vận tốc âm thanh là .
thanh.
a) Tìm mối liên hệ giữa các khoảng
Đặt thì
cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh
.
tới ,.
Khi đó, ta có: .
b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi
phát ra tín hiệu âm thanh có thể liên
b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi
quan đến bài toán tìm tập hợp những
phát ra tín hiệu âm thanh có thể liên
điểm thỏa mãn hay không?
quan đến bài toán tìm tập hợp những

Định nghĩa 2: Cho hai điểm phân biệt cố định , . Đặt . Cho số thực dương
nhỏ hơn . Tập hợp các điểm sao cho được gọi là đường hypebol (hay
hypebol). Hai điểm , được gọi là hai tiêu điểm và được gọi là tiêu cự của
hypebol đó.
Chú ý. Hypebol có hai nhánh (H.7.23), một nhánh gồm những điểm thỏa
mãn và nhánh còn lại gồm những điểm thỏa mãn (hay ).

Tại sao trong định nghĩa hypebol cần
điều kiện ?

Ví dụ 3: Trên biển có hai đảo tròn
với bán kính khác nhau. Tại vùng
biển giữa hai đảo đó, người ta xác
định một ranh giới cách đều hai
đảo, tức là, đường mà khoảng cách
từ mỗi vị trí trên đó đến hai đảo là
bằng nhau. Hỏi đường ranh giới đó
có thuộc một nhánh của một
hypebol hay không?
Chú ý. Khoảng cách từ một vị trí
trên biển đến đảo hình tròn bằng
hiệu của khoảng cách từ vị trí đó
đến tâm đảo và bán kính của đảo.

Giải:

Giả sử đảo thứ nhất có tâm và bán kính ,
đảo thứ hai có tâm và bán kính (H.7.24).
Do hai đường tròn , nằm ngoài nhau nên
. Gọi là một điểm bất kì thuộc đường
ranh giới.
Vì M cách đều hai đảo nên
.
Vậy đường ranh giới thuộc một nhánh
của hypebol với tiêu điểm trùng ,
trùng , , .

Luyện tập 3.
Giải:
Cho hình chữ nhật và , tương ứng là Ta có: nên bốn điểm , , , cùng thuộc
trung điểm của các cạnh , (H.7.25). một hypebol có hai tiêu điểm là và .
Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng
thuộc một hypebol có hai tiêu điểm
là M và N.

HĐ4. Xét một hypebol (H) với các kí Giải:
hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục
Giả sử , ta có: , , ,
tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của ,
tia trùng tia (H.7.26). Nêu tọa độ của .
các tiêu điểm , . Giải thích vì sao điểm
Vì
nên
hay
thuộc (H) khi và chỉ khi
.
. (3)
Chú ý. Người ta có thể biến đổi (3) về
dạng , với .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành
sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có
phương trình
, với . (4)
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng đều là phương trình của hypebol có
hai tiêu điểm , , tiêu cự và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ
mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng .
Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương
ứng.