ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
VÀ HÌNH THANG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài tập thông hiểu – vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD AB . Trên tia
đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE AC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến
AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AE.
a) Chứng minh rằng HK song song với DE.
b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC bằng 10.

Bài 1:
a) D ABD cân tại B, đường cao BH nên BH đồng
thời là đường trung tuyến nên AH = HD
Tương tự AK = K E nên HK là đường trung
1
bình của D ADE nên HK / / DE ; HK = DE
2
b) HK 

DE 10
 5 cm  (vì DE = DB + BC + CF = AB + BC +CA = 10 cm )
2
2

Bài 2: Cho ABC có AB  AC , AH là đường cao. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của
AB, AC, BC.
a) Chứng minh MNKH là hình thang cân.
b) Trên tia AH và AK lần lượt lấy điểm E và D sao cho H là trung điểm của AE và K là
trung điểm của AD. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.

Bài 2:
a) MN là đường trung bình của D ABC Þ MN / / BC
Þ MN / / HK , hay MI / / BH
MI / / BH và MA = MB Þ I A = I H

·
·
D MAH cân tại A nên HMI = I MA (1)
NK là đường trung bình của D ABC Þ NK / / AB
·
Þ MNK
= I·MA (hai góc ở vị tri so le trong) (2)

·
·
Từ (1) và (2) suy ra HMI = MNK (so le trong) hay
·
·
HMN
= MNK
·
·
Tứ giác MNHK có MN / / HK nên tứ giác là hình thang, lại có HMN = MNK là hình thang
cân.
b) HK là đường trung bình của AED

 HK //ED hay BC //ED nên tứ giác BCDE là hình thang.
 NK là đường trung bình của ACD  NK //CD mà NK / / AB nên AB / / CD

(so le trong) (3)
 
ABH BCD
Dễ thấy ABE cân tại B vì BH vừa là đường cao vừa là trung tuyến


(4)
 BH là phân giác của 
ABE  
ABH HBE




Từ (3), (4)  HBE
hay  CBE
BCD
BCD


Hình thang BCDE có CBE
BCD
 tứ giác BCDE là hình thang cân.

BÀI TẬP VẬN DỤNG CAO

Bài tập trích đề thi học sinh giỏi
cấp huyện – tỉnh lớp 8

Cho tam giác ABC nhọn, trực
tâm H, M là trung điểm của BC,
qua H kẻ đường thẳng vuông góc
với HM, cắt AB, AC theo thứ tự
tại E và F
a, Trên Tia đối tia HC, lấy điểm D
sao cho HD=HC, CMR E là trực
tâm của tam giác DBH
b, CMR: HE=HF

A
K

D

F

H
E
B

G
M

C

a, Ta có MH là đường trung bình  BCD
=> MH// BD,
Mà EF // MH => EF  BD
Ta lại có: BA  DH =>  BDH có E là trực tâm
b, Gọi G là giao điểm của DE và BH
=> K là giao điểm BH và AC
=>  DHG =  CHK ( cạnh huyền - góc nhọn) => HG =HK
A
=>  HGE =  HKF ( c. g. c) => HE= HF
K

D

F

H
E
B

G
M

C

Cho  ABC có trực tâm H, Gọi M là trung điểm của BC, Gọi D là điểm đối xứng với H qua M, Gọi I là
trung điểm của AD, CMR: IM vuông góc BC
A

HD:

E

Vì IM là đường trung bình của  AHD
 IM / / AH
 IM  BC
=> 
 AH  BC

F
H

B

I

C

M

D

Cho tam giác đều ABC, trực tâm H, kẻ đường cao AD, một điểm M thuộc cạnh BC, từ M kẻ ME vuông
góc với AB và MF vuông góc với AC, Gọi I là trung điểm của AM, CMR:
a, DEIF là hình thoi
b, Đường thẳng HM đi qua tâm đối xứng của hình thoi DEIF
A
1 2

N
I
1

O

E
B

H

2

M

D

F

C

1
a,  ADM vuông có DI  AM ,
2
1
Tương tự EI  AM  DI EI  EID cân
2
A
EI  AI  AIE cân có I 2 
1

1

  EID
 I  I 600
tương tự : I2 2. A
2
1
2
=>  EID đều => EI=ED= IP
Chứng minh tương tự: IF=FD=ID
=> EIFD là hình thoi
b, Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi DEIF và N là trung điểm AH, Ta có:
 AMH có IN là đường trung bình => IN//MH
 IDN có OH là đường trung bình => OH//IN

Như vậy O, H, M thẳng hàng
=> MH đi qua giao điểm O của ID và EF

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BH, CK, Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên
đường thẳng HK,
CMR: DK = EH.
A

K

D

B

H

M'

M

E

C

Gọi M, M' lầ lượt là trung điểm của BC và DE,
Xét  BHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến nên:
1
(1)
HM  BC
2
 BKC vuông tại K có KM là đường trung tuyến nên:
1
(2)
KM  BC
2
Từ (1) và (2) => MH = MK => KM' = HM'
Vậy DM' = EM'