Các mục :
1 : Bất đẳng thức : Tính chất cơ bản
2 : Bất đẳng thức Côsi
3 : Ứng dụng bất đẳng thức Côsi
4 : Bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối
5 : Bất đẳng thức Bunhicốpxki
3: BẤT ĐẲNG THỨC
Các tính chất cơ bản bất đẳng thức
1) a > b ; b > c ? a > c
2) a > b ? a + c > b + c
3) Hệ quả : a > b + c ? a ? c > b
a > b và c > d ? a + c > b + d

Sử dụng các bất đẳng thức sau
a) (a ? b)2 ? 0
b) (a ? b)2 + M ? M
c) M - (a ? b)2 ? M
Bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
Dấu ? = ? xảy ra khi và chỉ khi a = b
Dấu ? = ? xảy ra khi và chỉ khi
Dấu ? = ? xảy ra khi và chỉ khi a.b ? 0
hoặc a.b ? 0
Dấu ? = ? xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0
Dấu ? = ? xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0
Dấu ? = ? xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0
Bài 7 : Chứng minh bất đẳng thức :
2a2 + 2b2 + 2 ? 2ab ? 2a ? 2b
= (a2 ? 2ab + b2) + (a2 ? 2a + 1) + (b2 ? 2b + 1)
? đpcm
a
a2 ? 2a + 1
b2 ? 2b + 1
= (a ? b)2 + (a ? 1)2 + (b ? 1)2
? 0
? 0
? đpcm
Dấu ?=? ? a ? b = a ? 1 = b ? 1 = 0 ? a = b = 1

Dấu ?=? ? a = b = 1

Chứng minh bất đẳng thức :
Dấu ?=? ? a = b
2. Bất đẳng thức Côsi
Định lí : 2 số không âm a và b thì trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của 2 số đó.
Dấu ?=? xảy ra khi và chỉ khi a = b
Chứng minh
.
=
.
=
? 0
Đẳng thức xảy ra ?
Ví dụ về bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 1 : Cho 4 số không âm ; thoã a1.a2.a3.a4 = 1 Chứng minh rằng : (1+ a1) (1+ a2) (1+ a3) (1+ a4) ? 24
Dấu ?=? xảy ra khi nào ?
Chứng minh
.
có
.
??????????.................................................
Đẳng thức xảy ra ?
Theo BĐT Côsi
?
tương tự có
?
Vì a1a2a3a4 = 1 nên
?
?
Ví dụ về bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 2 : Cho 3 số dương a ; b ; c Chứng minh rằng :
Chứng minh
.
có
.
??????????.................................................
Đẳng thức xảy ra ?
Theo BĐT Côsi
?
tương tự có
?
?
?
Dấu ?=? xảy ra khi nào ?
(a + b + c)
Ứng dụng : Bất đẳng thức Côsi
Hệ quả 1 : Nếu 2 số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau
Ví dụ :
f(x) = (x + 3) ( 5 ? x) với ? 3 < x < 5
Tìm x để giá trị f(x) lớn nhất
áp dụng bất đẳng thức Côsi
.
?3 < x < 5 ? x + 3 > 0 ; 5 ? x > 0
f(x) = (x + 3) (5 ? x)
?
Vậy giá trị lớn nhất : max f(x) = 16
.
? x + 3 = 5 ? x
? x = 1
a + b ? 2.
a ; b ? 0 ?
? a . b ?
Bài tập :
a) f(x) = 4x(8 ? 5x) với 0 < x < 8/5
b) f(x) =
với x > 4
Hệ quả 2 : Nếu 2 số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau
Ví dụ :
f(x) = 3x +
Tìm x để giá trị f(x) nhỏ nhất
áp dụng bất đẳng thức Côsi
.
?1 < x ? x + 1 > 0 ; 4/(x+1) > 0
f(x) = 3(x + 1) ? 3 +
?
Vậy giá trị nhỏ nhất : min f(x)
.
? 3(x + 1) =
? (x + 1)2 = 4/3
a + b ? 2.
a ; b ? 0 ?
Bài tập :
a) f(x) = x + 3/x với x > 0
b) f(x) = x ?
với 0 < x <1/2
với x > - 1
? x =
 3(x + 1) =


m�a


3.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Định lí : Với mọi số thực a và b thì :
Chứng minh (sgk)
=
.
?
? đpcm
Đẳng thức xảy ra ?
Đẳng thức khi chỉ khi a.b ? 0
Đẳng thức khi chỉ khi a.b ? 0
Ví dụ :
Chứng minh ?a ; b ? R ?
+
?
+
4. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
Định lí : Với mọi số thực a ; b ; c ; d thì :
Chứng minh (sgk)
=
.
?
4
Đẳng thức xảy ra ?
Đẳng thức xảy ra
Ví dụ :
Cho x + 2y = 2 Chứng minh
?
.
5 (x2 + y2)
?
? đpcm
Bài 8 : Chứng minh bất đẳng thức :
Đặt

và

Dấu ?=? ? x = y = z ? a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức :

Dấu ?=? ?

? a = b = 2

Dùng Côsi cho 2 số không âm

a ? 1 ? 0 và 1

(a ? 1). 1 ?
Tương tự

b ? 1 ? 0 và 1

? (b ? 1). 1 ?
Chứng minh bất đẳng thức :
a) Có 1 ? (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Cộng 2 vế có :
Dấu ?=? ? a = b = �
0 ? (a ? b )2 = a2 + b2 ? 2ab
1 ? 2( a2 + b2)
? a2 + b2 ? � (đpcm)
b) Dùng câu a) có : (1/2 )2 ? (a2 + b2)2 = a4 + b4 + 2a2b2
Cộng 2 vế có :
0 ? (a2 - b2)2 = a4 + b4 - 2a2b2
? a4 + b4 ? 1/8
Dấu ?=? ? a = b = �
Chứng minh bất đẳng thức :
Áp dụng Côsi có 2 ? a + b + 2ab + 2ab ? 4.
? 24 ? 44.4a3b3
? ab ? 1/ 4
Áp dụng Côsi cho 4 số dương a + b + 2ab + 2ab ? 4.
PHẠM QUỐC KHÁNH
Quyết
phen
này
theo
nàng
một
phen
Ơ�i là bạn tình ơi ?.. ?