GV:NGUYỄN THỊ MAI HƯƠNG
CẤP SỐ CỘNG
Bài 3 CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa
Phương pháp: Để cm một dãy số là cấp số cộng ta cm hiệu un+1 – un bằng số d không đổi
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số d không đổi.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng
Chú ý :
d = 0 => CSC là một dãy số không đổi có dạng :
u1 , u1 , u1 , u1,…
d > 0 => CSC là dãy số tăng
d < 0 => CSC là dãy số giảm
Ví dụ 1: Trong các dãy số hữu hạn sau, dãy nào là CSC ?
a) -5, -2, 1, 4, 7, 10
b) 2, 4, 7, 10, 13, 14, 15, 20
CSC với công sai d = 3
Không là CSC
Không là CSC
BÀI GIẢI
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
GI?I:
u2= u1+d=
Ta có:
u3= u2+d=
u4= u3+d=
u5= u4+d=
Ví dụ 3 : Cho cấp số cộng (un) có u1 = -7 và công sai d = 2.
a) Tính u15
b) Số 41 là số hạng thứ bao nhiêu ?
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Định lý 1
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d
thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức :
un = u1 + (n – 1)d với n  2
Giải:
a) u15 = u1 + 14d = -7 + 14.2 = 21
b) Ta có : un = u1 + (n – 1)d
 41 = - 7 + ( n – 1 ).2
 n = 25
Bài 3 CẤP SỐ CỘNG
II Số hạng tổng quát
I. Định nghĩa
un+1 = un + d (nN*)
Công thức truy hồi
un = u1 + (n – 1)d (n  2)
Số hạng tổng quát
Ví dụ4:
Cho cấp số cộng có u1 = -1, u2 = 2
Tìm u15 ?
b) Số 296 là số hạng thứ bao nhiêu?
Ta có d = u2 – u1 = 3
Theo ct số hạng tổng quát:
u15 = u1 + (15 – 1)d = -1 + 14.3 = 41
b) Giả sử 296 là số hạng thứ n ta có
un = u1 + (n – 1)d <=> 296 = -1 + (n – 1).3
<=> n = 100 => 296 là số hạng thứ 100 của dãy số
Lời giải
Bài 3 CẤP SỐ CỘNG
II Số hạng tổng quát
I. Định nghĩa
un+1 = un + d (n N*)
Công thức truy hồi
un = u1 + (n – 1)d (n  2)
Số hạng tổng quát
Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
a) Ta có :
Ta có :
III. Tính chất
Chú ý:
Để cm 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng
ta chỉ ra 2b = a + c
Hay 2uk = uk–1 + uk+1
Bài 3 CẤP SỐ CỘNG
Nếu (un) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng là trung bình cộng của số hạng đứng liền trước và liền sau nó
II. Số hạng tổng quát
I. Định nghĩa
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
Cho cấp số công (un). Đặt
Chú ý :
Khi đó :
ĐỊNH LÍ 3
Ví dụ: Cho csc (un) có u1= -2 và công sai d = 2.
Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số đó.
Gi?i
Ta cĩ:
Trong đó:
u1=
d=
u100=
2
-2
u1+99.d=-2+99.2=196
Suy ra:
S100=9700
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
Cho dãy số (un) với un = 3n-5
a. Chứng minh dãy (un) là CSC. Tính u1 và d.
b. Tìm u15.
c. Tính tổng của 15 số hạng đầu.
d. Biết Sn = 115, tìm n.
Ví dụ:
Giải
a. Xét hiệu :
un+1 – un = 3(n+1)-5 - (3n-5) = 3 (hằng số)
Vậy dãy (un) là CSC Với u1=-2, d=3
b. Áp dụng công thức :
= 40
un+1 = un + d (n N*)
un = u1 + (n – 1)d (n  2)
1, Công thức truy hồi
2, Công thức số hạng tổng quát
3, Tính chất
4, Tổng n số hạng đầu
Cho dãy số (un) với un = 5 + 4n
a) Cm dãy (un) là cấp số cộng , tìm u1 , d
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu
c) Biết Sn = 1425, tìm n
Bài 3 CẤP SỐ CỘNG
Ví dụ 2 :
un+1 = un + d (n N*)
un = u1 + (n – 1)d (n  2)
1, Công thức truy hồi
2, Công thức số hạng tổng quát
3, Tính chất
4, Tổng n số hạng đầu
Bài 3 CẤP SỐ CỘNG
Giải :
a, un +1 = 5 +4(n+1) = 4n + 9
Xét hiệu : un+1 – un = 4n + 9 – 4n – 5 = 4
Vậy d/số trên là CSC với u1 = 9 ; d = 4
b, u50 = 9 + 49.4 = 205
c, Theo bài ra ta có :
Vậy tổng 1425 là tổng của 25 số hạng đầu trong dãy
Bài tập
Bài giải
Kiến thức
un+1 = un + d (n N*)
un = u1 + (n – 1)d (n  2)
1, Công thức truy hồi
2, Công thức số hạng tổng quát
3, Tính chất
4, Tổng n số hạng đầu
CỦNG CỐ
Hai phương pháp chứng minh một dãy số là CSC :
- Dùng định nghĩa
- Dùng tính chất
- Vận dụng các công thức để giải các bài toán liên quan
Hs cần nắm được :