Thần đồng Gauss được người đời gọi là“Hoàng tử Toán học”đã có những khám phá đầu tiên khi mới chỉ là một cậu thiếu niên.
Nhiều người đã thực sự ngỡ ngàng trước cậu bé Gauss tuổi với khả năng tính tổng 100 số chỉ trong… vài giây.
Bài 3. CẤP SỐ CỘNG
Biết bốn số hạn đầu của một dãy số là:
Số nào là số hạn tiếp theo của dãy?
15, 19, 23, 27, 31
-1, 3, 7, 11,
I.ĐỊNH NGHĨA

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.



Trong các dãy số sau dãy số nào
là cấp số cộng?
2, 4, 6, 8, 10, 12, …,2n,…
7, 3, -1, -5, -9
1, 3, 5, 7, 8, 10
d) 2, 2, 2, 2, 2,…
Khi d=0 cấp số cộng là một dãy số không đổi
Cách chứng minh một dãy số
là cấp số cộng?
Ví dụ 1:
Chứng minh dãy số (un) với un = 4n-3 là cấp số cộng. Tính số hạng đầu và công sai của nó
Hỏi nếu tháp có một 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp vào tầng đế của tháp?
Mai và Hùng chơi trò xếp que diêm thành hình tháp
trên mặt sân ( cách xếp được thể hiện trên hình).
Định lý 1:
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Ví dụ 2:
Cho cấp số cộng (un) với u1 = -5 và d=3
Tìm u15
Số hạng 100 là số hạng thứ bao nhiêu
Định lý 2:
Trong cấp số cộng mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG
Tính tổng các số hạng của cấp số cộng gồm 7 số hạng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
S7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
S7 = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
2S7 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

2S7 = 7*8
S7 =7*8:2=28

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Tổng là 101
Tổng là 101
Với 100 số thì có 50 cặp có tổng là 101.
Do đó: 1 +2+3+…+ 100= 50*101=5050
Số hạng đầu
Số hạng cuối
Định lý 1:
Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 +u2+ u3 +….+un
Khi đó:
III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
Chú ý:

Ví dụ 3:
Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau:
Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 10 triệu đồng và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ được tăng 0,3 triệu đồng mỗi quý.
Hãy tính tiền một kỹ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty