Cấp số cộng
Định nghĩa
Tính chất
Số hạng tổng quát
Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
Bài toán 1 :
Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau :
Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 tr / quý , và kể từ quý làm việc thứ 2 , mức lương sẽ tăng thêm 0,3 tr đồng mỗi quý . Hãy tính lương của kĩ sư trong 4 quý đầu . Tộng số lương của một kĩ sư nhận được sau 1 năm làm việc tại công ti .

Giải :
Với n nguyên dương , kí hiệu (triệu đồng) là mức lương của người kĩ sư ở quý làm việc thứ n cho công ti.Theo gt của bài toán , ta có :
= 4,5 và. = 4,5 + 0,3 = 4,8 .
, = 4,5 + 2.0,3 = 5,1 ; = 4,5 + 0,3.3 = 5,4 .
= 4,5 + 0,3.(n – 1 ) n 1.
Vì mỗi năm có 4 quý nên tổng số lương của kĩ sư trong 1 năm làm việc là :
s = + + + = 19,8 .
Định nghĩa :
Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ 2 , mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi , nghĩa là :
( ) là cấp số cộng n 2
= + d .
Số d gọi là công sai của cấp số cộng .
Ví dụ :
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng ? Vì sao ?
a , -5 ; -2 ; 1; 4; 7; 10.
b , 3,2 ; 4; 1; 7; 13 .
c , 12 ; 14; 16 ; 17; 19 .
Tính chất :
Đinh lí 1 :
nếu ( ) lá cấp số cộng thì kể từ cấp số cộng thứ 2 , mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối với cấp số hạng hh ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy , tức là :
=
Chứng minh :
Gọi d là công sai của cấp số cộng ( ) , với mọi k 2 , ta có :


Từ hai đẳng thức trên ta có :

Từ đó suy ra điều cần chứng minh .
Ví dụ 2 :
Cho cấp số cộng ( ) có = 1 va = 3 . Hãy tìm , .
Số hạng tổng quát
Định lí :
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát của nó xác định theo công thức sau :

Chứng minh :
Ta chứng minh băng pp quy nạp . Công thức đúng khi n = 1 , giả sử nó đúng khi n = k .Tức là

khi đó ta có :

=
vậy công thúc đúng khi n = k + 1 . Từ đó suy ra điều cần chứng minh .


Ví dụ 3 :
Cho cấp số cộng ( ) có = 13 và công sai d = -3 . Hãy tính .
Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
Định lí :
Giả sử ( ) là cấp số cộng . Với mỗi số nguyên dương n , gọi là tổng n số hạng đầu tiên của nó . Khi đó ta có :


Chú ý :
Từ định li ta có :


Ví dụ 4 :
Cho cấp số cộng ( ) có = -2 , d = 3 . Tính tổng của 17 số hạng đầu tiên của cấp số đó .
Giải
Áp dụng đl ta có :

= 374 .

Bài tập về nhà
Làm tất cả bài tập trong sgk đại số nâng cao 11 tr 114, tr 115.
Sưu tầm bài tập trong sách tham khảo .
Chuẩn bị bài cấp số nhân .