CHƯƠNG II
Ví dụ 1: Cho tập hợp A= {1,2,3,4,5}
B={6,7,8,9}
C={2,4}
Tìm các tập hợp sau: A∩B; AUB; AC.Và đếm số phần tử của các tập hợp A, B, C, AUB; AC..
Giải:
+Ta có A∩B =ø
AUB ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} →Số các phần tử của tập AUB là 9
AC = {1,3,5} →Số các phần tử của tập AC là 3
+Số các phần tử của tập A là 5
+Số các phần tử của tập B là 4
+Số các phần tử của tập C là 2



*Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là n(A) hoặc IAI
* Ví dụ trên:
+Số phần tử của tập hợp A là n(A) =5
+Số phần tử của tập hợp B là n(B) =4
+Số phần tử của tập hợp C là n(C) =2
+Số phần tử của tập hợp AUB là n(AUB) = 9 = n(A) +n(B)
+Số phần tử của tập hợp AC là n(AC) =3

* Nếu A và B là những tập hợp hữu hạn không giao nhau thì
n(AUB)=n(A) +n(B)

Ví dụ 2: Cho tập hợp A là tập các số tự nhiên < 1000 được thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5, 6. Hãy đếm số phần tử của tập hợp A?
BÀI 1
Ví dụ 3: Huy có ba chiếc áo sơ mi và bốn chiếc áo phông khác nhau. Hỏi Huy có bao nhiêu cách chọn 1 chiếc áo để mặc?
1
2
3
4
5
6
7
Giải: Ba chiếc áo sơ mi được đánh số 1,2,3 và bốn chiếc áo phông được đánh số 4,5,6,7.
-Nếu chọn áo sơ mi thì có 3 cách chọn.
-Nếu chọn áo phông thì có 4 cách chọn.
Vậy số cách chọn một chiếc áo để mặc là
3 + 4 = 7 (cách)

I. QUI TẮC CỘNG
Nếu có m cách chọn đối tượng X, n cách chọn đối tượng Y và nếu cách chọn đối tượng X không trùng với bất kì cách chọn đối tượng Y nào thì có m+n cách chọn 1 trong các đối tượng đã cho.
- Qui tắc cộng phát biểu ở trên thực chất là qui tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau
Nếu A và B là những tập hợp hữu hạn không giao nhau thì
n(AUB)=n(A) +n(B)

Ví dụ 4: Huy có ba chiếc áo sơ mi, bốn chiếc áo phông và 5 áo khoác khác nhau. Hỏi Huy có bao nhiêu cách chọn 1 chiếc áo để mặc?
Giải: Ba chiếc áo sơ mi được đánh số 1,2,3 ; bốn chiếc áo phông được đánh số 4,5,6,7 và năm chiếc áo khoác được đánh số 8,9,10,11,12.
-Nếu chọn áo sơ mi thì có 3 cách chọn.
-Nếu chọn áo phông thì có 4 cách chọn.
-Nếu chọn áo khoác thì có 5 cách chọn.
Vậy số cách chọn 1 chiếc áo để mặc là 3+4+5=12
Qui tắc cộng tổng quát
Nếu có m1 cách chọn đối tượng X1, m2 cách chọn đối tượng X2,.., có mn cách chọn đối tượng Xn và nếu cách chọn đối tượng Xi không trùng với bất kì cách chọn đối tượng Xj nào ( I ≠ j ; i,j=1,2,…,n ) thì có m1+m2+…+mn cách chọn 1 trong các đối tượng đã cho.

Chú ý: Qui tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động
Ví dụ 5: Mai có ba chiếc áo khác nhau và hai chiếc quần khác nhau. Hỏi Mai có bao nhiêu cách chọn 1 bộ quần áo để mặc?
A
B
C
1
2
Giải: Ba chiếc áo được ghi chữ A,B,C và hai chiếc quần được đánh số 1,2. Để chọn một bộ quần áo ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động:
-Hành động 1: Chọn áo. Có ba cách chọn (Chọn A,hoặc B, hoặc C)
- Hành động 2: Chọn quần. Ứng với mỗi cách chọn áo có hai cách chọn quần
(Chọn 1, hoặc 2)
Kết quả ta có các bộ quần áo như sau: A1,A2,B1,B2,C1,C2 ( hình trên)
Vậy số cách Mai có thể chọn được một bộ quần áo là 3.2=6
A1
A2
B1
B2
C1
C2
II. QUI TẮC NHÂN
Nếu có m cách chọn đối tượng X, và sau đó với mỗi cách chọn X như thế có n cách chọn đối tượng Y thì có mxn cách chọn cặp đối tượng (X,Y)
Ví dụ 6: Mai có ba chiếc áo khác nhau, hai chiếc quần khác nhau và 3 chiếc túi khác nhau. Hỏi Mai có bao nhiêu cách chọn 1 bộ quần áo và 1 chiếc túi?
t
h
A
B
C
1
2
A1t
A1h
A2t
A2h
B1t
B1h
B2t
B2h
C1t
C1h
C2t
C2h
Giải
Ba chiếc áo được ghi chữ A,B,C
Hai chiếc quần được đánh số 1,2
Hai chiếc túi được ghi chữ t,h
Để chọn một bộ quần áo và một chiếc túi ta phải thực hiện liên tiếp ba hành động:
-Hành động 1: Chọn áo. Có ba cách chọn (Chọn A,hoặc B, hoặc C)
- Hành động 2: Chọn quần. Ứng với mỗi cách chọn áo có hai cách chọn quần (Chọn 1, hoặc 2)
- Hành động 3: Chọn túi. Ứng với mỗi cách chọn áo và quần có hai cách chọn túi (chọn t, hoặc h)
Kết quả ta có các bộ quần áo như sau: A1t,A1h,A2t,A2h,B1t,B1h,B2t,B2h,C1t,C1h,C2t,C2h ( hình trên)
Vậy số cách Mai có thể chọn được một bộ quần áo và một chiếc túi là 3.2.2=12
Chú ý: Qui tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động
Qui tắc nhân tổng quát
Nếu có m1 cách chọn đối tượng X1, sau đó với mỗi cách chọn X1có m2 cách chọn đối tượng X2, sau đó với mỗi cách chọn X1và X2 như thế có m3cách chọn đối tượng X3,.., Cuối cùng với mỗi cách chọn X1,X2,X3,..,Xn-1 có mn cách chọn Xn . Khi đó có m1.m2.….mn cách chọn 1 dãy các đối tượng X1,X2,X3,..,Xn .
* Dạng gọn hơn của qui tắc nhân:
Nếu 1 công việc được hoàn thành bởi n bước, bước 1 có m1 cách thực hiện, bước 2 có m2 cách thực hiện,…, bước n có mn cách thực hiện thì có m1.m2.….mn cách hoàn thành công việc
Ví dụ 7: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường ,từ thành phố C đến thành phố D có 2 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C.Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D?

a
b
c
d
e
1
2
3
4
Giải
Đi từ thành phố A đến thành phố D thì hoặc phải qua thành phố B hoặc phải qua thành phố C.
*Số các con đường đi từ thành phố A đến thành phố D đi qua thành phố B:
Có 3 con đường đi từ thành phố A đến thành phố B
Có 2 con đường đi từ thành phố B đến thành phố D.
Áp dụng qui tắc nhân thì có 3.2=6 con đường
*Số các con đường đi từ thành phố A đến thành phố D đi qua thành phố C:
Có 2 con đường đi từ thành phố A đến thành phố C
Có 2 con đường đi từ thành phố C đến thành phố D.
Áp dụng qui tắc nhân thì có 2.2=4 con đường
Vậy theo qui tắc cộng có 6+4 = 10 con đường từ thành phố A đến thành phố D
*Qui tắc cộng tổng quát
Nếu có m1 cách chọn đối tượng X1, m2 cách chọn đối tượng X2,.., có mn cách chọn đối tượng Xn và nếu cách chọn đối tượng Xi không trùng với bất kì cách chọn đối tượng Xj nào ( i ≠ j ; i,j=1,2,…,n ) thì có m1+m2+…+mn cách chọn 1 trong các đối tượng đã cho.

*Qui tắc nhân tổng quát
Nếu có m1 cách chọn đối tượng X1, sau đó với mỗi cách chọn X1có m2 cách chọn đối tượng X2, sau đó với mỗi cách chọn X1 và X2 như thế có m3 cách chọn đối tượng X3,.., Cuối cùng với mỗi cách chọn X1,X2,X3,..,Xn-1 có mn cách chọn Xn . Khi đó có m1.m2.….mn cách chọn 1 dãy các đối tượng X1,X2,X3,..,Xn .
Hãy khoanh tròn vào những câu trả lời đúng
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
Câu 1: Gồm 1 chữ số ?
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
Câu 2: Gồm 2 chữ số ?
a. 12 b. 25 c. 30 d. 36
Câu 2: Gồm 2 chữ số khác nhau?
a. 25 b. 30 c 36 d. 40
Câu 3: Gồm 2 chữ số lẻ khác nhau?
a. 3 b. 6 c. 9 d. 12
Câu 4: Lẻ gồm 2 chữ số khác nhau?
a.6 b. 9 c. 12 d.15
Câu 5: Chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?
a.4 b. 13 c.15 d.17

ĐÁP ÁN