HÀM SỐ LIÊN TỤC
Cho hàm số f(x) =x2 và
a).Tính giá trị của mỗi hàm số tại x=1 và so sánh với giới hạn (nếu có ) của hàm số khi x  1 b). Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x=1 (Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 và hàm số y=g(x) không liên tục tại điểm này )
Trả lời
a) Ta có : f(1) =1,
g(1) = 1
Vậy không tồn tại
f(1) =?
1
-1
1
-1
0
0
b) Đồ thị hàm số y=f(x) là một đường liền nét , đồ thị hàm số y=g(x) là đường không liền nét mà bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x=1
Vì
Nên ta nói hàm số f(x) liên tục tại x0= 1
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x0 K .
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu
Định nghĩa 1
1.Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số y=f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó .
Vậy muốn biết hàm số y=f(x) có liên tục hay không tại điểm x0 , ta làm những công việc gì ?
Muốn biết hàm số y=f(x) có liên tục tại x0 hay không ta cần
Tính f(x0)
So sánh hai số trên
Nếu bằng thì liên tục , khác thì không liên tục
Giải
Hàm số y=f(x) xác định trên R { 2 }, do đó xác định trên khoảng (2;+ ) chứa điểm x0 = 3
Vậy hàm số y=f(x) liên tục tại x0 =3
Xét tính liên tục của hàm số y= f(x) = x3+2x-1 tại điểm x0= 3
Hàm số xác định trên tập hợp nào ?
Theo định nghĩa ta cần thực hiện những công việc gì ?
VD1.
Xét tính liên tục của hàm số tại x0 =3
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó
liên tục tại mọi điểm của khoảng đó .
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó
liên tục trên khoảng (a;b) và
Định nghĩa 2.
a
b
a
b
a). Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b). Hàm số phân thức hữu tỉ ( thương của hai đa thức )
và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của
tập xác định của chúng .
3. Một số định lí cơ bản
Định lí 1.
Chẳng hạn
Định lí 2.
Giả sử y=f(x) và y= g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 .
Khi đó :
a). Các hàm số y= f(x) +g(x) , y = f(x) –g(x) và y=f(x).g(x)
liên tục tại x0 ;
b).Hàm số
liên tục tại x0 nếu g(x0)≠0
VD2.
Cho hàm số
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó
Giải
Tập xác định của hàm số là
R
Nếu x ≠ 1, thì
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-;1)(1;+)
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-;1) và (1;+)
Nếu x=1, ta có h(1) =5 và
Vì
nên hàm số đã cho không liên tục tại x=1
Kết luận : hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-;1), (1;+) và gián đoạn tại x=1
Trong biểu thức xác định h(x) ở VD2 , cần thay số 5 bởi số nào để được một hàm số liên tục trên tập số thực R
Hay quá ?
Giải . Xét hàm số
Hàm số liên tục trên R khi tại x =1 hàm số h(x) liên tục tức là
=> a= 2
Vậy nếu thay 5 bằng 2 thì hàm số liên tục trên R
Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] với f(a) và f(b) trái dấu nhau .Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuôc khoảng (a;b) không ?
Bạn Hưng trả lời rằng : “ Đồ thị của hàm số y=f(x) phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng (a;b) .”
Bạn Lan khẳng định :”Đồ thị của hàm số y=f(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm trong khoảng (a;b)”.
Bạn Tuấn thì cho rằng : “ Đồ thị của hàm số y=f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a;b), chẳng hạn như đường parabol ở hình ”.
Câu trả lời của bạn nào đúng ? Vì sao ?
y
b
f(b)
a
f(a)
0
Lan đúng
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0
thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) sao cho f(c) = 0 .
Hoặc
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a) .f(b) <0 thì
phương trình f(x) có nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b) .
Định lí 3.
VD3.
Chứng minh rằng phương trình x3 +2x-5=0 có ít nhất một nghiệm
Giải
Xét hàm số f(x) = x3+2x-5
Ta có f(0)=-5 và f(2) = 7
Do đó f(0)f(2) <0
Hàm số y= f(x) là hàm đa thức liên tục trên R .Do đó , nó liên tục trên đoạn [0;2] .Từ đó suy ra phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm x0  (0;2)
Hãy tìm hai số a và b thỏa mãn 1Hay quá ?
Có thể chọn a =1,1 và b= 1,9
Vì f(1,1) = 1,13 +2.(1,1) -5 <0 và f(1,9) = 1,93 +2.(1,9)-5 >0
KiỂM TRA 15 PHÚT
ĐỀ 1. TÍNH CÁC GiỚI HẠN
ĐỀ 2. TÍNH CÁC GiỚI HẠN
CỬA
1
2
1
2
1/ Làm đúng đề 2/ Ngồi đúng sơ đồ 3/ Tập, sách toán đậy lại
Vi phạm :