DÃY SỐ
Bài toán.
2
Cho hàm số f ( x) 

x 1

.

Hãy tính f(1), f(2), f(3), f(4).
Giải
2
2
Ta có f (1)  2, f (2)  , f (3) 1, f (4)  .
3
5

Nếu sắp xếp lại một chút ta được một dãy các số như
sau:
2
2
2,
, 1,
...
3
5

DÃY SỐ

I. Khái niệm
1. Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u: {1;2;3;…;m}
dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển: u1, u2, u3,…...,um.

R được gọi là một

Số u1 gọi là số hạng đầu, số um gọi là số hạng cuối của
dãy số.
Chú ý. un = u(n).
Ví dụ 1. Cho dãy số: u(n) = 3n xác định trên tập hợp
M = {1;2;3;4;5}. Xác định số hạng đầu, số hạng cuối
và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.

DÃY SỐ

I. Khái niệm
2. Dãy số vô hạn
Mỗi hàm số u: N*
R được gọi là một dãy số vô
hạn (gọi tắt là dãy số).
Dạng khai triển: u1, u2, u3,.…...,un ,…...
Dãy số đó còn viết tắt là (un).
Số u1 gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), un gọi
là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát của dãy số).
Ví dụ 2. Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,….

DÃY SỐ
II. Cách cho một dãy số
- Liệt kê các số hạng của dãy số đó.
- Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy
số đó.
- Cho công thức số hạng tổng quát của dãy số đó.
- Cho bằng phương pháp truy hồi.
Ví dụ 3. Cho dãy số (un) với un = 2n + 1.
a. Tính u2, u7.
b. Viết 10 số hạng đầu tiên của dãy số.
Ví dụ 4. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, un+1 = 2un .
Tính u6 .

DÃY SỐ
II. Cách cho một dãy số
Ví dụ 5. Cho dãy số (un) xác định như sau:

u1 2
.

un 1 2un  3, n 1
Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số.

DÃY SỐ

III. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa

Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với
mọi n  N*.
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với
mọi n  N*.
Chú ý. Nếu un+1 - un > 0 thì dãy số tăng.
Nếu un+1 - un < 0 thì dãy số giảm.
Ví dụ. Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) xác định
như sau:
n
a. un 3n  2.
b. un  n .
5

DÃY SỐ

III. Dãy số tăng, dãy số giảm
a. Ta có
un 1  un [3(n  1)  2]  (3n  2) 3  0, n  N *.
Vậy dãy số (un) tăng.
n 1
un1 5n 1 n  1 5n n  1
b. Ta có

 n. 
 1, n  N *.
n
un
5.5 n
5n
5n
Vậy dãy số (un) giảm.

DÃY SỐ

IV. Dãy số bị chặn
Định nghĩa
Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M
sao cho un  M với mọi n  N*.
Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m
sao cho un  m với mọi n  N*.
Dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy số
bị chặn.
Chú ý. Nếu dãy số tăng thì bị chặn dưới bởi u1, nếu dãy
số giảm thì bị chặn trên bởi u1.

DÃY SỐ

IV. Dãy số bị chặn
Ví dụ. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
3n  2
(un): un 
.
2n  3
Giải. Ta có
3( n  1)  2 3n  2 3n  5 3n  2
un 1  un 




2( n  1)  3 2n  3 2n  5 2n  3

(3n  5)(2n  3)  (3n  2)(2n  5)


(2n  5)(2n  3)
5

 0, n  N *.
(2n  5)(2n  3)

DÃY SỐ

IV. Dãy số bị chặn
Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
Suy ra dãy số (un) bị chặn dưới bởi u1 = 1.
Mặt khác ta có:
3
5
(2n  3) 
3n  2 2
3
5
3
2
un 

 
 , n  N *.
2n  3
2n  3
2 2(2n  3) 2
3
Suy ra dãy số (un) bị chặn trên bởi .
2
Vậy dãy số (un) bị chặn.

BÀI TẬP
Bài 1. Cho dãy số (un) xác định như sau:

u1  2
.

un1 un  5, n 1
a. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số.
b. Chứng minh bằng quy nạp un = 5n - 7.
Bài 2. Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) xác định
như sau:
n2
a. un 
.
b. un n 3  3n 2  5n  7.
3n  1
n 1
c. un  n  1  n . d . u n  n .
3

BÀI TẬP
Bài 3. Cho dãy số (un) xác định như sau:
u1 1

.
un

un 1 1  u , n 1
n

Tìm số hạng tổng quát un.
Bài 4. Xét tính bị chặn của các dãy số (un) xác định
như sau:
1
3n
a. un 
.
b. u n  2
.
n(n  2)
n 3

c. un sin n  cos n.