KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu hỏi : HS còn lại thực hiện trên phiếu học tập
a) .CMR: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = latex(n^2) (*), với mọi n thuộc N* b). Đặt f(n) = latex(n^2). Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5),..., f(k),.... Hãy sắp thứ tự từ trái sang phải các giá trị thu được a). Với n = 1: (*) đúng; Giả sử (*) đúng với n = k latex( >=) 1, ta cần chứng minh (*) còn đúng với n = k +1 Theo giả thiết quy nạp: 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = latex(k^2) Cộng vào 2 vế đẳng thức trên với (2k + 1) ta được: 1 + 3 + 5 + ...+ (2k - 1) + ( 2k +1 ) = latex(k^2 + (2k + 1)) = latex((k+1)^2) (*) đúng với n = k + 1 Vậy đẳng thức đã được chứng minh b).* Thay lần lượt các giá trị n = 1, 2, 3, 4, 5,..., k,... vào f(n) ta được f(1)=1;f(2) = 4; f(3) = 9;f(4)=16;f(5) = 25;...,f(k) = latex(k^2);... * Sắp thứ tự ta được: 1, 4, 9, 16, 25, ..., latex(k^2), ... Trang bìa
Trang bìa:
TRUỜNG THPT BÌNH ĐÔNG Tổ: Toán - tin học CHUƠNG III: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Bài 2: DÃY SỐ LỚP 11 cơ bản Thời gian : 1tiết I. ĐỊNH NGHĨA
1. Định nghĩa dãy số: Hoạt động 1
Nhận xét: các giá trị tương ứng của hàm số lập thành một dãy số. Do đó có thể coi dãy số là một hàm số xác định trên tập các số nguyên duơng Mỗi hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* đuợc gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : N*--->R n --->u(n) Dạng khai triển của dãy: latex(u_1,u_2,u_3,...,u_n,...) trong đó latex(u_n = u(n)), latex(u_1) được gọi là số hạng đầu, latex(u_n) được gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số 1. Định nghĩa dãy số BÀI 2: DÃY SỐ I. ĐỊNH NGHĨA * Ví dụ dãy số : Trắc nghiệm nhanh
a) Cho dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, ....tìm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy
Số hạng đầu ||latex(u_1) = 1||, Số hạng tổng quát|| latex(u_n) = 2n-1|| b) Cho dãy các số là bình phuơng của một số tự nhiên. Viết dạng khai triển của dãy, tìm số hạng đầu, và số hạng tổng quát
*Dạng khai triển của dãy: ||1, 4, 9, 16, 25, ..., latex(n^2), ...|| *Số hạng đầu ||latex(u_1) = 1||, Số hạng tổng quát ||latex(u_n) = latex(n^2)|| 2. Dãy số hữu hạn: Định nghĩa - Ví Dụ
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn * Mỗi hàm số u xác định trên tập M ={1, 2, 3, ..., m} với m thuộc N* được gọi là một dãy số hữu hạn * Dạng khai triển của dãy: latex(u_1, u_2, u_3, ..., u_m) * Trong đó latex(u_1) là số hạng đầu, latex(u_m) là số hạng cuối. Ví dụ: các dãy số sau có phải dãy số hữu hạn không ? Hãy xác định số hạng đầu và số hạng cuối (nếu có)
a) Dãy số: -5, -2, 1, 4, 10, 13 ||Dãy số hữu hạn|| có số hạng đầu ||latex(u_1) = -5||, số hạng cuối ||latex(u_n) = 13|| b) Dãy latex(1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32) ||Dãy số hữu hạn|| có số hạng đầu ||latex(u_1) = latex(1/2)||, số hạng cuối ||latex(u_n) = latex(1/32)|| c) Dãy số: 0, 2, 4, 6, 8, .... ||không là dãy số hữu hạn|| có số hạng đầu ||latex(u_1) = 0||, số hạng cuối ||latex(u_n) = ?|| II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
1. Cách 1: Cho số hạng TQ: Hoạt động củng cố hàm số
Hãy cho biết các cách cho một một hàm số đã học ở lớp 10 ? II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ Ví dụ
a. Cho dãy số (latex(u_n)) với latex(u_n) = latex((-1)^n.(3^n)/n) Dạng khai triển cũa dãy là: ||latex(-3, 9/2, -9, 81/4,..., (-1)^n.(3^n)/n), ...|| b. Cho dãy (latex(u_n)) với latex(u_n) = latex(n/(sqrt(n)+1)) Dạng khai triển của dãy là:||latex(1/2, 2/(sqrt(2)+1), 3/(sqrt(3)+1),..., n/(sqrt(n)+1), ...|| 1.Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát * ví dụ 1: Trắc nghiệm nhanh
Dãy nào trong các dãy sau là dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ
latex(1, 1/2, 1/3, ...., 1/n, .....
latex(1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/(2^n), ...
latex(1/2, 1/4, 1/6, 1/8, ..., 1/(2n), ...
latex(1, 1/3, 1/5, 1/7, ...,1/(2n-1), ....
* ví dụ 2: Trắc nghiệm nhanh
Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1
latex(0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...)
latex(1, 3, 5, 7, 9...., (2n-1), ...)
latex(1, 4, 9, 16, 25..., n^2, ...)
latex(1, 4, 7, 10, 13, ..., (3n-2), ...)
2. Cách 2: Cho bằng PP mô tả: Hoạt động 2
Lưu ý: Không phải mọi dãy số đều có công thức số hạng tổng quát *Cho số latex(pi) là số thập phân vô hạn không tuần hoàn latex(pi)= 3,141 592 653 589 ... *Nếu lập dãy số latex((u_n)) với latex(u_n) là giá trị gần đúng thiếu của số latex(pi) với sai số tuyệt đối latex(10^(-n)) thì ta được dãy sau latex(u_1=3,1;u_2=3,14;u_3=3,141;u_4=3,1415; ...) 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả Hãy mô tả các dãy số sau:
a). 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... ||Dãy các số nguyên tố|| b). 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; .... ||Dãy các giá trị gần đúng thiếu của latex(sqrt(3))|| Liên hệ thực tế: Chân trời kiến thức
Gia đình Thỏ: Gia đình thỏ trong 10 tháng
3. Cách 3: Cho bằng PP truy hồi: Hoạt động 3
ví dụ 5. (Dãy Phi-bô-na-xi) Cho dãy số latex((u_n)) được xác định như sau: a). latex(u_1 = u_2 = 1 b). latex(u_n = u_(n-1) + u_(n-2) , với n>=3 Nghĩa là từ số hạng thứ 3, mỗi số hạng đều bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó 2. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi * Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi là: a). Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). b). Cho hệ thức truy hồi, là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó. ví dụ Dãy truy hồi: Hoạt động

Tìm 10 số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi latex(u_1) = ||1||, latex(u_2) = ||1||, latex(u_3) = ||2||, latex(u_4) = ||3||, latex(u_5) =||5||, latex(u_6) = ||8||, latex(u_7) = ||13||, latex(u_8) = ||21||, latex(u_9) = ||34||, latex(u_10) = ||55|| III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ
Ví dụ minh họa: Hoạt động 5
latex(u_1) latex(u_2) latex(u_3) latex(u_4) *Vì dãy số là một hàm số trên N* nên có thể biểu diễn dãy số latex(((n+1)/n)) bằng đồ thị. *Khi đó trong mặt phẳng toạ độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có toạ độ (n, latex(u_n)) III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ y x (2;latex(3/2)) (1;2) (3;latex(4/3)) (4;latex(5/4)) u(n) n ví dụ minh hoạ : Hoạt động 5
latex(3/2 latex(4/3) latex(5/4 2 1 0 latex(u_1) latex(u_2) latex(u_4) latex(u_3) u(n) Biểu diễn các số hạng của dãy số latex((u_n)) với latex(u_n) = latex((n+1)/n)trên trục Tính 3 số hạng đầu của các dãy số sau, so sánh các số
latex((u_n)) với latex(u_n) = 1 + latex(1/n) latex((v_n)) với latex(v_n) = 5n - 1 latex(u_1) = ||2||; latex(u_2) = ||latex(3/2)||; latex(u_3) = ||latex(4/3)||. Do đó ||latex(u_1)|| > ||latex(u_2)|| > ||latex(u_3)|| latex(v_1) =|| 4||; latex(v_2) = ||9||; latex(v_3) = ||14||. Do đó ||latex(v_3)|| > ||latex(v_2)|| > ||latex(v_1) || IV. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1. Dãy số tăng, dãy số giảm : Định nghĩa
IV. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1. Dãy số tăng, dãy số giảm *Dãy số latex(u_n) được gọi là dãy số tăng nếu latex(u_(n+1)) > latex(u_n) với mọi n thuộc N* *Dãy số latex(u_n) được gọi là dãy số giảm nếu latex(u_(n+1)) < latex(u_n) với mọi n thuộc N* *Phương pháp xét tính tăng, giảm của một dãy số PP 1: Xét hiệu T = latex(u_(n+1)) - latex(u_n) *Nếu T > 0 với mọi n thuộc N* : Dãy số tăng *Nếu T < 0 với mọi n thuộc N* : Dãy số giảm PP 2: Nếu latex(u_n) > 0 với mọi n thuộc N*. Xét T = latex((u_(n+1))/(u_n)) *Nếu T > 1 với mọi n thuộc N*: Dãy số tăng *Nếu T < 1 với mọi n thuộc N*: Dãy số giảm Ví dụ: a) Dùng PP 1 CMR dãy latex((u_n)) với latex(u_n) = 2n - 1 là dãy số tăng b) Dùng PP 2 CMR dãy latex((u_n)) với latex(u_n) = latex(n/(3^n)) *Ví dụ tăng giảm: Hoạt động sửa ví dụ
a) Thật vậy, với mọi n thuộc N*, Ta có: T = latex(u_(n+1) - u_n) =2(n+1) - 1 - (2n-1) = 2 > 0 : Do đó dãy số tăng b) NX: latex(u_n) > 0 với mọi n thuộc N*, ta có: T = latex((u_(n+1))/(u_n)= (n+1)/(3^(n+1)):n/(3^n) = (n+1)/(3n) . Do (n+1)/(3n) < 1 nên T < 1: Do đó dãy số giảm Lưu ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm Ví dụ: Dãy số latex((u_n)) với latex(u_n) = latex((-3)^n) có dạng khai triển là -3, 9, -27, 81, ... Ví dụ: Chứng minh BĐT sau bằng phép biến đổi tương đương a). latex(n/(n^2+1)<= 1/2 b). latex((n^2+1)/(2n) >=1 ) 2. Dãy số bị chặn: Định nghĩa
2. Dãy số bị chặn *Dãy số latex((u_n)) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho latex(u_n) latex(<=)M, với mọi n thuộc N* *Dãy số latex((u_n)) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho latex(u_n) latex(>=) m, với mọi n thuộc N* *Dãy số latex((u_n)) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, Nghĩa là tồn tại các số M, m sao cho m latex(<=) latex(u_n)latex(<=) M, với mọi n thuộc N* Ví dụ: a). CMR dãy Phi-bô-na-xi bị chặn dưới bởi m = 1 với mọi n thuộc N* b). Dãy số latex((u_n)) với latex(u_n)=latex(n/(n^2+1))là bị chặn trên bởi latex(1/2) và bị chặn dưới bởi 0 HD: a). Do cách xây dựng dãy dễ thấy với mọi n thuộc N*, latex(u_n) latex(>=) 1 b). Dễ thấy latex(u_n) >0, Nhận xét Do BĐT Cauchylatex(n/(n^2+1))latex(<=)latex(n/(2n))=latex(1/2 CỦNG CỐ
BAI KT NHANH: HS thực hiện trên phiếu học tập