§2. DÃY SỐ
GV: Ngô Thị Bích Ngọc-VCVB
 
Ta có :
Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn ( gọi tắt là dãy số)
Kí hiệu :
Dãy số có thể viết dưới dạng khai triển
 
Ví dụ 1
a) Dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7 … có số hạng đầu u1= 1
số hạng tổng quát un = 2n - 1
b) Dãy các số chính phương 1, 4, 9, 16 …có số hạng đầu u1= 1
số hạng tổng quát un = n2
Định nghĩa dãy số hữu hạn
 
Dạng khai triển của dãy số hữu hạn trên là
(u1 là số hạng đầu , um là số hạng cuối).
Ví dụ 2:
a) -5, 2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có u1= -5 , u7=13
 
Cách cho một dãy số
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát .
Ví dụ 3
Cho dãy số (un) với
Từ công thức (1) ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn :
Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được :
Áp dụng: Viết 5 số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:
a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ
b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.
a) Năm số hạng đầu của dãy số :
Số hạng tổng quát của dãy số :
b) Năm số hạng đầu của dãy số :
Số hạng tổng quát của dãy số :
Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
 
 
Đó là dãy số được cho bằng phương pháp mô tả , trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy
Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Ví dụ 5: Dãy số Phi-bô-na-xin là dãy số (un) được xác định như sau :
Có nghĩa là , kể từ số hạng thứ ba trở đi , mỗi số hạng đều bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó .
Cách cho dãy số như trên gọi là cho bằng phương pháp truy hồi.
Tổng quát : Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.
a) Cho một ( một vài) số hạng đầu
b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua một ( một vài) số hạng đứng trước nó.
Biểu diễn hình học của dãy số
Ví dụ 6
Dãy số (un) với có biểu diễn hình học như hình
Vì dãy số là một hàm số trên N* nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó dãy số được biễu diễn bằng các điểm có toạ độ (n;un)
Biểu diễn hình học của dãy số
 
Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
1. Dãy số tăng, dãy số giảm.
Định nghĩa :
Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có :
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có :
Ví dụ 7:
Dãy số (un) với un = 2n – 1 là dãy số tăng
 
Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Ví dụ 8: Dãy số (un) với là dãy số giảm
 
Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Nhận xét :
Chú ý :
Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm .Chẳng hạn dãy số
Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Không tăng cũng không giảm.
Định nghĩa 2 :
Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
Dãy số bị chặn
Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới , tức là tồn tại các số m, M sao cho :
Dãy số bị chặn
Ví dụ 9: a) Dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới vì
b) Dãy số (un) với bị chặn vì