CHƯƠNG V : TAM GIÁC
§ 1. ĐỊNH LÝ PYTHAGOER

§ 1. ĐỊNH LÝ PYTHAGOER
Định lý Pythagoer
Định lý Pythagoer đảo
Luyện tập
Vận dụng

KHỞI ĐỘNG
Quan
Hình
1, bạn
Bạnsát
Đan
đã dựa
vàoĐan
kiếnkhẳng
thức
định
Diện
củađịnh
hìnhtrên?
nàorằng:
để đưa
ra tích
khẳng
vuông lớn nhất bằng tổng diện
tích của hai hình vuông còn lại.
Hình 1

1. Định lý Pythagoer

Hoạt động nhóm
c
b
a)Vẽ và cắt giấy để có 4 hình tam giác vuông
c
b
a
như nhau với độ dài cạnh huyền là a, độ dài
c
hai cạnh góc vuông là b và c, trong đó a,b,c
b
b
có cùng đơn vị độ dài (Hình 2)
Hình 2 c
c
b
b)Vẽ hình vuông ABCD có cạnh là b + c như
Hình 3
Hình 3. Đặt 4 hình tam giác vuông đã cắt ở câu a
lên hình vuông ABCD vừa vẽ, phần chưa bị che là
hình vuông MNPQ với độ dài cạnh là a ( Hình 4)
c) Gọi S1 là diện tích của hình vuông ABCD. Gọi S2
là tổng diện tích của hình vuông MNPQ và diện
tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ.
So sánh S1 và S2.
Hình 4
d) dựa vào kết quả của câu c, dự đoán mối liên hệ giữa a2 và b2 +c2

1. Định lý Pythagoer
*Định lý Pythagoer
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng
bình phương của hai cạnh góc vuông
ABC vuông tại A, có
BC2 = AB2 + AC2
hay a2 = b2 + c2

B
c
A

a
b

C

1. Định lý Pythagoer
Cho ABC vuông tại A, có AB = 5cm; AC =12cm.
Tính độ dài của cạnh BC
B
Giải:

Do tam giác ABC vuông tại A nên theo
định lý Pythagoer ta có:
BC2 = AB2 + AC2
=> BC2 = 52 + 122
=> BC2 = 169
=> BC = 13 cm

5cm

VÍ DỤ 1

A

a
12cm

C

1. Định lý Pythagoer
Tính độ dài đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh là a.
Giải:
Do tam giác ABC vuông tại B nên theo
định lý Pythagoer ta có:
AC2 = AB2 + BC2
=> AC2 = a2 + a2
=> AC2 = 2a2
=> AC = = a
Vậy độ dài cẩu đường chéo của hình
vuông đó là a

A

a

a

B

D
a

a

C

2. Định lý Pythagoer đảo
Thực hiện các hoạt động sau:
a) Vẽ tam giác ABC có: AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm
b) Tính tổng diện tích của hình vuông có cạnh BC với tổng diện tích của hai hình
vuông tương ứng có cạnh AB và AC ( Hình 6)
c) Kiểm tra xem  của ABC có là góc vuông hay không?

Chúng ta cùng đi làm từng
bước 1 của hoạt động.

2. Định lý Pythagoer đảo
Thực hiện các hoạt động sau:
a) Vẽ tam giác ABC có: AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm
+ Vẽ đoạn thẳng AC = 4 cm
+ Vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm
+ Vẽ cung tròn tâm C bán kính 5 cm.
Hai cung tròn trên cắt nhau tại hai
điểm. Lấy 1 trong 2 giao điểm đó,
kí hiệu là điểm B
Nối các đoạn thẳng BA, BC ta được tam giác ABC như yêu cầu.

2. Định lý Pythagoer đảo
Thực hiện các hoạt động sau:
2
2
S1 = 3tổng
 = 9diện
(cmtích
). của
b) Tính
vuông
có
cạnh
BC
2
=> Shình
S
=
9
+
16
=
25
(cm
).
1+ 2
2
2 hai hình vuông tương ứng có
vớiStổng
diện
tích
của
=
4
 =
16
(cm
).
2
cạnh AB và AC ( Hình 6) S3 = 52 = 25 (cm2).

S3

B

S1

5cm

3cm

Vậy diện tích của hình vuông có cạnh BC bằng tổng diện tích
của hai hình vuông tương ứng có cạnh AB và AC

A

c)
tra giác
xemABC
 củalàABC
có là góc vuông hay
 Kiểm
của tam
góc vuông
không?

4cm

S2

C

2. Định lý Pythagoer đảo
*Định lý Pythagoer đảo (SGK- 95)
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương
của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
*Chẳng hạn: ABC có BC2 = AB2 +AC2
hay a2 = b2 +c2
=>ABC vuông tại A

B
a

c
A

b

C

2. Định lý Pythagoer đảo
VÍ DỤ 2
Cho DEF có DE = 7cm, DG = 24cm và EG = 25cm.
DEG có phải là tam giác vuông hay không?
Giải:

Xét DEF có:
EG2 = 252 = 625

DE2 + DG2 = 72 + 242 = 625
=> EG2 = DE2 + DG2
=>DEG vuông tại D

2. Định lý Pythagoer đảo

20cm

Cho tam giác có 3 cạnh 20cm, 21cm, 29cm có phải là
tam giác vuông hay không?
B
Giải:
Giả sử ABC có
AB = 20 cm, AC = 21 cm, BC = 29 cm.
Xét ABC có:

A

BC2 = 292 = 841 (cm2)
AB2 + AC2 = 202 + 212 = 841(cm2)

29cm
21cm

C

=> BC2 = AB2 + AC2
=>ABC vuông tại A

Vậy tam giác có ba cạnh là 20 cm, 21 cm, 29 cm
là tam giác vuông

VÍ DỤ 3

2. Định lý Pythagoer đảo

Hình 8 mô tả một cánh buồm có dạng tam giác vuông,
được buộc vào cột buồm thẳng đứng, với độ dài hai
cạnh góc vuông là 12m và 5m.
Tính chu vi và diện tích của cánh buồm đó.
Giải:
Do cánh buồm có dạng tam giác vuông với độ dài
hai cạnh góc vuông là 12m và 5m. Nên theo định
lý Pythagoer ta có độ dài cạnh huyền của cánh
2
2
buồm
là
:
12 +5 =13 (𝑚 )

√

Chu vi của cánh buồm là: 12+5 +13 = 30(m)
Diện tích của cánh buồm là: = 30(m2)

BÀI TẬP

Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A.
Tìm độ dài cạnh còn lại trong
mỗi trường hợp sau:
a) AB = 8cm; BC = 17cm
b) AB = 20cm; AC = 21cm
c) AB = AC = 6cm

Giải:
a) AB = 8cm; BC = 17cm
Do ABC vuông tại A nên
theo định lý Pythagoer ta có:
BC2 = AB2 + AC2
=> 172 = 82 + AC2
=> AC2 = 289 - 64
=> AC2 = 225
=> AC = 15 (cm)

Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A.
Tìm độ dài cạnh còn lại trong
mỗi trường hợp sau:
a) AB = 8cm; BC = 17cm
b) AB = 20cm; AC = 21cm
c) AB = AC = 6cm

Giải:
b) AB = 20cm; AC = 21cm
Do ABC vuông tại A nên
theo định lý Pythagoer ta có:
BC2 = AB2 + AC2
=> BC2 = 202 + 212
=> BC2 = 400+ 441
=> BC2 = 841
=> BC = 29 (cm)

Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A.
Tìm độ dài cạnh còn lại trong
mỗi trường hợp sau:
a) AB = 8cm; BC = 17cm
b) AB = 20cm; AC = 21cm
c) AB = AC = 6cm

Giải:
c) AB = AC = 6cm
Do ABC vuông tại A nên
theo định lý Pythagoer ta có:
BC2 = AB2 + AC2
=> BC2 = 62 + 62
=> BC2 = 36 +36
=> BC2 = 72
=> BC = 6 (cm)

Bài 2:
Tam giác có độ dài ba cạnh
trong mỗi trường hợp sau có
phải là tam giác vuông hay
không?
a) 12cm ; 35cm ; 37cm
b) 10cm ; 7cm ; 8cm
c) 11cm ; 6cm ; 7cm

Giải:
a) 12cm ; 35cm ; 37cm
Ta có:

372 = 1369

122 + 352 = 1369
=> 372 = 122 + 352
Do đó: theo định lí Pythagore
đảo, tam giác có độ dài ba
cạnh 12 cm, 35 cm, 37 cm là
tam giác vuông

Bài 2:
Tam giác có độ dài ba cạnh
trong mỗi trường hợp sau có
phải là tam giác vuông hay
không?
a) 12cm ; 35cm ; 37cm
b) 10cm ; 7cm ; 8cm
c) 11cm ; 6cm ; 7cm

Giải:
b) 10cm ; 7cm ; 8cm
Ta có:

102 = 100
72 + 82 = 113

=> 102 ≠ 72 + 82
Do đó: theo định lí Pythagore
đảo, tam giác có độ dài ba
cạnh 10 cm, 7 cm, 8 cm
không là tam giác vuông

Bài 2:
Tam giác có độ dài ba cạnh
trong mỗi trường hợp sau có
phải là tam giác vuông hay
không?
a) 12cm ; 35cm ; 37cm
b) 10cm ; 7cm ; 8cm
c) 11cm ; 6cm ; 7cm

Giải:
c) 11cm ; 6cm ; 7cm
Ta có:

112 = 121
62 + 72 = 85

=> 112 ≠ 62 + 72
Do đó: theo định lí Pythagore
đảo, tam giác có độ dài ba
cạnh 10 cm, 7 cm, 8 cm
không là tam giác vuông

PHIẾU HỌC TẬP
Bài 3: Cho tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng
1dm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác đó.
Bài 5: Hình 9 mô tả một thanh gỗ dài 3,5m dựa vào một
bức tường thẳng đứng. Chân thanh gỗ cách mép tường
một khoảng là 2,1m. Khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm
vào tường đến mặt đất là bao nhiêu mét?
Bài 6: Hình 10 mô tả mặt cắt đứng của một sân khấu
ngoài trời có mái che.Chiều cao của khung phía trước
khoảng 7m, chiều cao phía sau là 6m, hai khung cách nhau
một khoảng là 5m. Chiều dài của mái che sân khấu đó là
bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Bài 3: Cho tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng
1dm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác đó.

Đáp án
Do tam giác đã cho là tam giác vuông cân nên độ dài hai
cạnh góc vuông cùng bằng 1 dm
Khi đó theo định lí Pythagore, độ dài cạnh huyền của tam
giác vuông cân đó là

√1

2

+1 =  √ 2
2

Bài 5: Hình 9 mô tả một thanh gỗ dài 3,5m dựa vào một bức
tường thẳng đứng. Chân thanh gỗ cách mép tường một khoảng là
2,1m. Khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt
đất là bao nhiêu mét?

Đáp án

3,5
m

Do bức tường vuông góc với mặt đất nên thanh gỗ dựa vào tường tạo
thành một tam giác vuông ABC được mô tả như hình vẽ dưới đây.
B
Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có
AB2 = BC2 + AC2
=> 3,52 = BC2 + 2,12
?
2
=> BC = 7,84
=> BC = 2,8(m)
A
Vậy khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường
2,1m C
đến mặt đất là 2,8 mét

Bài 6: Hình 10 mô tả mặt cắt đứng của một sân khấu ngoài
trời có mái che.Chiều cao của khung phía trước khoảng 7m,
chiều cao phía sau là 6m, hai khung cách nhau một khoảng là
5m. Chiều dài của mái che sân khấu đó là bao nhiêu mét (làm
tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án

?

H

C
6m

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có
BC2 = AB2 + AC2 = 12 + 52 = 1 + 25 = 26
Suy ra:  BC  26 5, 099019514... 5,10 (m)
Vậy chiều dài của mái che sân khấu đó khoảng 5,10 mét.

A

B

7m

Mặt cắt đứng của sân khấu ngoài trời có mái che ở Hình 10
được mô tả như hình vẽ dưới đây
Ta có: AB = BH – AH = BH – CK = 7 – 6 = 1 (m).

5m

K

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Ghi nhớ kiến thức trong bài:
Định lí Pythagore thuận và đảo.
- Ôn lại công thức đã học liên quan
“Tổng ba góc trong tam giác”.
- Hoàn thành các bài tập trong SBT.
- Chuẩn bị bài mới “Bài 2: Tứ giác”