ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
VỚI MẶT PHẲNG
I. Định nghĩa
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lí:
Chú ý:
Ví dụ 1:
LG:
Ta có:
Mà
Vậy
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lí
Hệ quả
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh:
a/ AA’ vuông góc với mp(ABCD).
b/ BD vuông góc với (AA’C’C).
LG:
a/ Ta có:
AA’ ⊥ AB
(vì AA’B’B là hv)
AA’ ⊥ AD
(vì AA’D’D là hv)
AA’ ⊥ (ABCD)
 
 
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh:
a/ AA’ vuông góc với mp(ABCD).
b/ BD vuông góc với (AA’C’C).
LG:
b/ Ta có:
BD ⊥ AC
(vì ABCD là hv)
BD ⊥ AA’
(vì AA’ ⊥ (ABCD)
BD⊥ (AA’C’C)
 
 
Giải
a) Vì SA ⊥(ABC) nên SA ⊥ BC
Ta có BC ⊥ SA
BC ⊥ AB
BC ⊥ (SAB).
 
 
Giải
b) Ta có: BC ⊥ (SAB)
Ta lại có:
 
1. Phương pháp chứng minh 1 đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng?
=> Ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
2. Phương pháp chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau?
=> Ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
III. Tính chất
Tính chất 1
. O
d
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
mặt phẳng
M
O
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
d
III. Tính chất
Tính chất 2
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước
Tính chất 1
IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 2
Tính chất 3
V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc
1. Phép chiếu vuông góc
 
 
2. Định lí ba đường vuông góc
 
Khi đó
Ta có thể viết:
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 
Định nghĩa 
 
 
 
 
 
 
Chú ý
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A lên các đường thẳng SB và SD. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (AMN).
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Ta có
Ta lại có:
Do đó:
Tương tự ta chứng minh được