BÀI 3 : ĐƯỜNG THẲNG
VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Môn : Toán
Giáo viên : Nguyễn Thị Mai Hương
Hình ảnh thực tế
I. ĐỊNH NGHĨA
d
a
�
THỪA NHẬN KẾT QUẢ
BÀI TOÁN:
Cho
với c là đường thẳng bất kì thuộc
a
b
c
d
o
II. DI?U KI?N D? DU?NG TH?NG VUễNG GểC V?I M?T PH?NG
Định lý
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Lời giải : Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng (α), người ta phải chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (α).
Lời giải : Không , vì trái với định lí ( a // b thì a và b không cắt nhau)
b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR :AH (SBC)
Ví dụ : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA (ABC), ∆ABC vuông tại B.
a. Chứng minh rằng: BC  (SAB) .Từ đó CMR : BCSB
BC  (SAB)
BC  AB
BC  SA
 ABC vuông tại B
SA  (ABC)
b. Chứng minh rằng: AH  (SBC)
AH  (SBC)
AH  SB
AH  BC
H là hình chiếu của A lên SB
BC  SB
a. Chứng minh rằng: BC  (SAB ) , BC  SB
Nếu một đường thẳng vuông góc với
hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông
góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
Hệ quả:
d
A
B
C
Như vậy:
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1. Định lí :
§3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Dựa vào định lý, chứng minh rằng “Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.”
Qua nội dung định lý và hệ quả, ta có thêm phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc!
www.themegallery.com
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
§3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
b. Chứng minh :
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi AH là đường cao của tam giác SAD.
a.Chứng minh:
H
D
C
B
A
S
Ví dụ minh họa:
www.themegallery.com
1. Định lí :
§3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
a. Chứng minh:
H
D
C
B
A
S
Ta có:
Nên
www.themegallery.com
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1. Định lí :
§3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
a. Chứng minh:
H
D
C
B
A
S
Ta có:
Mà
* Chứng minh:
Ta có:
Mà
www.themegallery.com
II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1. Hệ quả:
§3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
b. Chứng minh:
H
D
C
B
A
S
Ta có:
Nên
www.themegallery.com
1. Hệ quả:
§3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
b. Chứng minh:
H
D
C
B
A
S
Ta có:
Nên
* Chứng minh:
Ta có:
Mà
a. Chứng minh : ∆SAB, ∆SAC là các tam giác vuông
c.Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR :AH (SBC)
Ví d? : Cho hình chĩp tam gi�c S.ABC cĩ SA ?(ABC),
?ABC vuơng t?i B.
b. Chứng minh rằng: BC  (SAB) .Từ đó CMR : BCSB
a. Chứng minh :  SAB,  SAC là các tam giác vuông
b. Chứng minh rằng: BC  (SAB ) , BC  SB
BC  (SAB)
BC  AB
BC  SA
 ABC vuông tại B
SA  (ABC)
c. Chứng minh rằng: AH  (SBC)
AH  (SBC)
AH  SB
AH  BC
H là hình chiếu của A lên SB
 SAB vuông tại A
 SAC vuông tại A
BC  SB
III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 1.
Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Hai đt phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 2.
Đt nào vuông góc với một trong hai mp song song thì vuông góc với mp còn lại.
Hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đt thì song song với nhau.
III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 3.
Cho đt a và mp() song song với nhau. Đt nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.
Nếu một đt và một mặt phẳng ( không chứa đt đó) cùng vuông góc với một đt thì chúng song song với nhau.
b
a’
AH vuông góc với SC
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (α) theo phương  vuông góc với mặt phẳng (α)
IV. Định lí ba đường vuông góc
Nhắc lại phép chiếu song song ?
-(α) là mp chiếu
-  là phương chiếu
-M’ là hình chiếu song
song của M qua phép
chiếu song song trên.
IV. Định lí ba đường vuông góc
1. Phép chiếu vuông góc
Phép chiếu song song lên mặt phẳng () theo phương  vuông góc với mặt phẳng () gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ().
Chú ý :
● Khi M  (P) thì M  M’
● Phép chiếu vuông góc có mọi tính chất của phép chiếu song song.
● Phép chiếu vuông góc lên (P) còn gọi là phép chiếu lên (P).
2. Định lí ba đường vuông góc
 
Khi đó
Ta có thể viết:
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 
Định nghĩa 
 
 
 
 
 
 
Chú ý
Câu 1.
Góc giữa đường thẳng SD và mp(ABCD) là:
Góc ASD
Góc SDA
Góc SDB
Góc SDC
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
và SA = a6 .
Câu 2. Góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) là:
Góc ASC
Góc SCD
Góc SCB
Góc SCA
Ví dụ 2: Cho S.ABC, SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông tại A. Xác định góc tạo bởi SB và SAC
Giải
Có:

Vậy SA là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC) nên góc ASB là góc tạo bởi SB và (SAC)
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A lên các đường thẳng SB và SD. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp (AMN)
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mp (ABCD)
Giải
Ta có:


Có:



Từ (1) và (2)
Vậy góc giữa SC và (AMN) là

b) Ta có AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên

Tam giác vuông SCA cân tại A có
Ví dụ 4: Cho chóp S.ABC có . Tìm góc giữa SB và (ABC) biết
Giải
Ta có AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) nên
Vì
Xét tam giác SAB vuông tại A
II. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
3. Sử dụng tính chất 3 đường vuông góc
LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
II. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng :
Là góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng
M

d
d
d
II. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
3. Sử dụng tính chất 3 đường vuông góc
LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
II. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng :
Là góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng
BÀI 1 :Cho hình chóp tam giác S.ABC có
SA (ABC), ∆ABC vuông tại B.
a. Chứng minh : ∆ SAB, ∆ SAC là các tam giác vuông
b. Chứng minh rằng: BC  (SAB)
c. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh rằng AH  (SBC)
II. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
3. Sử dụng tính chất 3 đường vuông góc
LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
II. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng :
Là góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng
a. Chứng minh :  SAB,  SAC là các tam giác vuông
? SAC vuơng t?i A
? SAB vuơng t?i A
SA  (ABC)
SA (ABC)
SA AC
SA  AB
b. Chứng minh rằng: BC  (SAB)
BC  AB
? ABC vuơng t?i B
BC ? (SAB)
BC ? SA
SA  (ABC)
c. Chứng minh rằng AH  SC
BC ? (SAB)
BC ? AB
BC ? SA
? ABC vuơng t?i B
SA  (ABC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
Giải
Gọi H là trung điểm BC


Ta có:
Xét tam giác SHB vuông tại H:



SH là hinh chiếu vuông góc của SA lên (ABC)
Xét tam giác SAH vuông tại H:

Bài 3:Cho Tứ diện SABC có AH là đường cao của tam giác ABC;
Kẻ
CMR:
CMR:
Bài tập:
Giải a) :
(1)

Từ (1) , (2), (3)
Giải b):
Theo a):

Từ (4), (5), (6)
Mà
A
B
D
C
N
M
S
H
Lời giải
Câu a:
Câu b:
Câu c:
MN = a(đường trung bình của hình vuông)
SM = đường cao tam giác đều
SM=1/2CD =a/2 trung tuyến của tam giác vuông
Suy ra tam giác SMN vuông cân tại S
A
B
D
C
N
M
H
S
 
Giải
 
Vì ABCD là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.
Do đó, SO là trung tuyến đồng thời là đường cao của ∆SAC.
 
 
Từ (1) và (2) ta có:
 
 
Giải
 
Từ (1) và (3) ta có:
 
Từ (2) và (3) ta có:
 
II. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
3. Sử dụng tính chất 3 đường vuông góc
LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
II. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng :
Là góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng
Bài 6 : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD , có

a) Chứng minh
b) Dựng , .
Chứng minh

C
A
D
B
S
II. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
3. Sử dụng tính chất 3 đường vuông góc
LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
II. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng :
Là góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng

a) Chứng minh
A
D
B
C
S
Giải
(t/c đg chéo HV)
TÍNH CHẤT: Nếu đường thẳng vuông góc hai cạnh của một tam giác
thì nó vuông góc cạnh còn lại .


b) Chứng minh
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD , có
.
a) Chứng minh , , .
b) Dựng , . Chứng minh ,
. Suy ra
c) Chứng minh
A
D
B
C
S
E
F
?
EF // BD
SA là cạnh chung
AB = AD
SB = SD
SE = SF


b) Chứng minh
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD , có
.
a) Chứng minh , , .
b) Dựng , . Chứng minh ,
. Suy ra
c) Chứng minh
A
D
B
C
S
E
F
EF // BD
SA là cạnh chung
AB = AD (ABCD là hình vuông)
SB = SD ,
SE = SF
Ta có :
mà