Chúc các em có buổi học tốt
Câu hỏi
a. 10
c. 20
d. 15
D. 0
Câu 3: Các khẳng định sau đúng hay sai
a. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau thì cắt nhau.
b. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau thì chéo nhau.
c. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng 900.
d. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc với nhau.
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài toán 1:
Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng (P). Chứng minh rằng nếu đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
a
b
c
d
của ba đường thẳng a, b, c, d, trong đó d là đường thẳng bất kì nằm trong (P).
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
- Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta còn nói mặt phẳng (P) vuông góc với a hoặc a và (P) vuông góc với nhau, và kí hiệu:
Định lý 1:
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Định nghĩa1:
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài tập 2: Chứng tỏ rằng nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba, tức là:
Chứng minh
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Ví dụ:
Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC).
a) Chứng minh: BC  (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh: AH  SC.
Giải
a) Chứng minh: BC  (SAB).
S
A
B
C
Nêu phương pháp chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng?
Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên mặt phẳng
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Ví dụ:
Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC).
a) Chứng minh: BC  (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh: AH  SC.
Giải
a) Chứng minh: BC  (SAB).
S
A
B
C
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2. Các tính chất
Tính chất 1:
Tính chất 2:
Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước.
Có duy nhất một đường thẳng Δ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2. Các tính chất
Nhận xét:
O
a
b
c
– Mặt phẳng (P) nói trong tính chất 1 được xác định bởi hai đường thẳng phân biệt b và c cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với a.
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2. Các tính chất
Nhận xét:
O
a
b
c
– Mặt phẳng (P) nói trong tính chất 1 được xác định bởi hai đường thẳng phân biệt b và c cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với a.
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2. Các tính chất
Nhận xét:
– Đường thẳng Δ nói trong tính chất 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q) và (R) cùng đi qua điểm O và lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng (P).
b
a
O
Δ
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2. Các tính chất
Nhận xét:
– Từ tính chất 1, duy nhất một mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng đó được gọi là Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
A
B
O
M
– Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 3:
a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 3 được phát biểu gọn là:
a
b
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 3:
a) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 4:
Tính chất 4 được phát biểu gọn là:
a
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 3:
a) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 4:
Tính chất 4 được phát biểu gọn là:
a
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 3:
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với với (P) thì cũng vuông góc với a.
Tính chất 4:
Tính chất 5 được phát biểu gọn là:
Tính chất 5:
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
b
a
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
4. Định lí ba đường vuông góc
Phép chiếu vuông góc
Định nghĩa 2:
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P)
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
4. Định lí ba đường vuông góc
Phép chiếu vuông góc
Định lí ba đường vuông góc
Định lí 2:
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)
Chứng minh
a
A
B
A’
B’
a’
b’
Nếu a nằm trong (P) thì kết quả là hiển nhiên
Nếu a nằm trong (P) thì kết quả là hiển nhiên
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Ta có định nghĩa sau (hình.106)
a)
b)
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900.
Định nghĩa 2:
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB, SD
a. Chứng minh rằng MN//BD và SC  (AMN)
b. Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) khi
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB, SD
a. Chứng minh rằng MN//BD và SC  (AMN)
A
B
C
D
S
M
N
Giải
?1: Hai tam giácΔSAB = ΔSAD?
?2: AM = AN?; SB = SD?
?3: SM = SN?
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB, SD
a. Chứng minh rằng MN//BD và SC  (AMN)
A
B
C
D
S
M
N
Giải
a) • MN // BD
AM = AN vì AM, AN cùng là đường cao tương ứng từ đỉnh A; SB = SD
• SC  (AMN)
BC  AB
BC  SA
BC  (SAB)
AM  BC
AM  SB (GT)
AM  (SBC)  SCAM (1)
Tương tự, AN  (SCD)  SC  AN (2)
Từ (1) và (2)  SC  (AMN)
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB, SD
a. Chứng minh rằng MN//BD và SC  (AMN)
A
B
C
D
S
M
N
Giải
b. Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc
O
K
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB, SD
a. Chứng minh rằng MN//BD và SC  (AMN)
A
B
C
D
S
M
N
Giải
b. Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc
O
K
b) • AK  MN
MN//BD (3)
ABCD là hình vuông BD  AC (4)
SA  (ABCD)  BD  SA (5)
Từ (4), (5) suy ra BD  (SAC) (6)
Từ (3), (6) MN  (SAC)  MN  AC
§ 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB, SD
A
B
C
D
S
M
N
Giải
O
K
2. Tính góc giữa SC và (ABCD)
AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD)
ΔSAC vuông tại A
Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 450