CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐÃ ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Các đầu bếp chuyên nghiệp luôn có kĩ
năng dùng dao điêu luyện để thái thức ăn
như rau, củ, thịt, cá,... thành các miếng
đều nhau và đẹp mắt. Các nhát cắt cần
tuân thủ nguyên tắc gì để đạt được điều
đó?

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG
SONG TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

NỘI DUNG
BÀI HỌC

1
2

Hai mặt phẳng song song
Điều kiện và tính chất của hai mặt
phẳng song song

3

Định lí Thalès trong không gian

4

Hình lăng trụ và hình hộp

1

HAI MẶT PHẲNG
SONG SONG

HĐ 1:
Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không
có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó.

Trả lời:
Các mặt của từng tầng trong giá để dép

Mặt sàn và mặt trần nhà bằng gợi nên

gợi nên hình ảnh về các mặt

hình ảnh về các mặt phẳng không có

phẳng không có điểm chung.

điểm chung.

KHÁI
NIỆM

Hai mặt phẳng và được gọi là song
song với nhau nếu chúng không có
điểm chung, kí hiệu // hay // .

Nhận xét:
Nếu hai mặt phẳng

và

song song với

nhau và đường thẳng d nằm trong () thì d
và không có điểm chung, tức là d song
song với . Như vậy, nếu một đường thẳng
nằm trong một trong hai mặt phẳng song
song thì đường thẳng đó song song với
mặt phẳng còn lại.

CÂU HỎI
Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong mặt phẳng song song
hay không?

Trả lời:
Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song.

2

ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT
CỦA HAI MẶT PHẲNG
SONG SONG

HĐ2:
Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với
mặt phẳng (β) (H.4.41)
Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có
song song với nhau hay không, hai đường
thẳng b và c có song song với nhau hay không?
Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi
trên.

Trả lời:
Do a song song với mặt phẳng (β) và a nằm
trong mặt phẳng (α) nên (α) và (β) cắt nhau
theo giao tuyến c song song với a.
Lí luận tương tự, ta thấy c song song với b.
Từ đó suy ra a song song với b hoặc a trùng
với b (mâu thuẫn giả thiết).

KẾT
LUẬN

Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng
cắt nhau và hai đường thẳng này song
song với mặt phẳng (β) thì (α) và (β) song
song với nhau.

CÂU HỎI
Nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên còn
đúng không?
Trả lời:
Giả sử hai đường thẳng a và b trùng nhau thì khi đó có thể xảy ra trường hợp hai mặt
phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c song song với hai đường thẳng trùng nhau
trên, do đó (α) và (β) không song song với nhau.
Do vậy, nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không
đúng.

Ví dụ 1 (SGK – tr89)
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng
nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng mặt
phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF)
(H.4.42).

Giải

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC II AD, suy ra BC II (ADF).
Vì tử giác ABEF là hình bình hành nên BE II AF, suy ra BE II (ADF).
Mặt phẳng (BCE) chứa hai đường thẳng cắt nhau BC và BE cùng song song với mặt
phẳng (ADF) nên mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF).

LUYỆN TẬP 1
Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường
thẳng m; n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m, n) song
song với mặt phẳng (BCD).
Giải
Vì m // BC nên m // (BCD).
Vì n // BD nên n // (BCD).
mp(m, n) chứa hai đường thẳng cắt nhau m và n (cắt nhau
tại A) cùng song song với mặt phẳng (BCD) nên mp(m, n)
song song với mặt phẳng (BCD).

VẬN DỤNG 1
Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay
quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân
bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Giải
Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật nên các
cạnh đối diện của khung sắt song song với nhau, do
đó a // c và b // d.
Vì c và d là các đường thẳng của chân bàn nằm
trên mặt đất, nên a // c thì đường thẳng a song song
với mặt đất và b // d thì đường thẳng b song song
với mặt đất.
Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng song song với
mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

HĐ3:
Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho
mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn hay không?
Trả lời:
Mặt bàn nằm ngang thì song song với mặt đất.
Khi tấm bìa cứng được đặt lên một góc của mặt
bàn nằm ngang sao cho mặt bìa song song với
mặt bàn thì mặt bìa trùng với mặt bàn.

TÍNH
CHẤT

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng
cho trước có một và chỉ một mặt phẳng
sóng song với mặt phẳng đã cho.

CÂU HỎI
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai
mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?
Trả lời:
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba
thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
Chứng minh:
Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) phân biệt có (P) // (Q),
(R). Theo tính chất bắc cầu ta có (P) // (R).

(Q) //

Ví dụ 2 (SGK – tr90)
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD
(H.4.45). Chứng minh rằng hai mặt phẳng
(MNP) và (NPQ) cùng song song với mặt
phẳng (ABCD), từ đó suy ra bốn điểm M, N, P,
Q đồng phẳng.

Giải
Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là
đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, MN II AB
và suy ra MN song song với mặt phẳng (ABCD).
Tương tự, NP cũng song song với mặt phẳng (ABCD).
Vậy mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng
(ABCD).

Giải
Lập luận tương tự ta có mặt phẳng (NPQ) cũng
song song với mặt phẳng (ABCD).
Hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) cùng đi qua
điểm N và cùng song song với mặt phẳng
(ABCD) nên hai mặt phẳng đó trùng nhau
Tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

LUYỆN TẬP 2
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC,
SD sao cho . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Giải
Xét có hay
Suy ra MN // AB (theo định lí Thalés).
Do đó MN song song với mặt phẳng (ABCD).
Tương tự, NP // BC nên NP song song với mặt phẳng (ABCD).

Giải
Vậy mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau
MN và NP cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên
mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD).
Lập lập tương tự ta có mặt phẳng (MPQ) cũng song
song với mặt phẳng (ABCD).
Hai mặt phẳng (MNP) và (MPQ) cùng đi qua điểm M
và cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên hai mặt
phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q
đồng phẳng.

HĐ4:
Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt
phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46)
a) Giải thích vì sao mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q).
b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q).
Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không,
có thể cắt nhau

hay không?

Giải
a) Giả sử mặt phẳng (R) không cắt mặt phẳng (Q), tức
là hai mặt phẳng (R) và (Q) song song với nhau, mà
mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), do đó mặt
phẳng (R) cũng song song với mặt phẳng (P) (hai mặt
phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau), mâu thuẫn với giả thiết
(R) cắt (P) theo giao tuyến a.
Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q).

Giải

b) Vì a và b cùng thuộc mặt phẳng (R) nên hai đường
thẳng a và b không thể chéo nhau.
Hai đường thẳng a và b không có điểm chung, vì nếu
chúng có điểm chung A thì hai mặt phẳng (P) và (Q)
cũng có điểm chung A (mâu thuẫn với giả thiết (P) và
(Q) song song với nhau).
Vậy hai đường thẳng a và b không thể cắt nhau.

TÍNH
CHẤT

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt
phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt
phẳng kia và hai giao tuyến song song với
nhau.

Ví dụ 3 (SGK – tr90)
Trong Ví dụ 2, gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, CD (H.4.47). Xác định
giao tuyến của mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (MNPQ).
Giải
Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được hai mặt phẳng
(MNPQ) và (ABCD) song song với nhau.
Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng (MEF) với hai mặt
phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau.

Ví dụ 3 (SGK – tr90)
Trong Ví dụ 2, gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, CD (H.4.47).
Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (MNPQ).
Giải
Trong mặt phẳng (MEF), qua M vẽ đường thẳng song
song với EF cắt PQ tại G thì đường thẳng MG là giao
tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (MNPQ).

LUYỆN TẬP 3

Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng
(EMQ) và mặt phẳng (ABCD).
Giải
Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được hai mặt
phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau.
Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) với hai
mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau.
Ta có (EMQ) ∩ (MNPQ) = MQ.

LUYỆN TẬP 3

Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng
(EMQ) và mặt phẳng (ABCD).
Giải
Trong mặt phẳng (MEQ), qua E vẽ đường thẳng
song song với MQ cắt CD tại H (EH // MQ // AD) thì
đường thẳng EH là giao tuyến của hai mặt phẳng
(EMQ) và mặt phẳng (ABCD).

3

ĐỊNH LÍ THALÈS
TRONG KHÔNG GIAN

HĐ5:
Cho mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng
phân biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C'
(C khác C'). Gọi D là giao điểm của AC' và (Q) (H.4.48)
a) Các cặp đường thẳng BD và CC', B'D và AA' có song
song với nhau không?
b) Các tỉ số  có bằng nhau không?

Giải

a) Mặt phẳng (ACC') lần lượt cắt hai mặt phẳng
song song (Q) và (R) theo hai giao tuyến BD và
CC'. Do đó, BD // CC'.
Mặt phẳng (AC'A') lần lượt cắt hai mặt phẳng
song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến AA' và
B'D. Do đó, B'D // AA'.

Giải
b) Xét có BD // CC', theo định lí Thalès trong tam
giác ta suy ra
Tương tự, xét có B'D // AA'
ta suy ra
Vậy

ĐỊNH
LÍ

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên
hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ.

Trong hình 4.48 ta có:

Ví dụ 4 (SGK – tr91)
Cho hình tứ diện . Trên cạnh lấy các điểm sao cho .
Gọi và là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng và
lần lượt đi qua . Mặt phẳng cắt các cạnh lần lượt tại .
Mặt phẳng cắt các cạnh lần lượt tại (H.4.49). Chứng
minh và

Giải
Áp dụng định lí Thalès cho ba mặt phẳng đôi
một song song và hai cát tuyến ta có

𝐴2 𝐴1 𝐵2 𝐵1
=
𝐴 1 𝐴 𝐵1 𝐵
Vì nên
Tương tự với hai cát tuyến suy ra

LUYỆN TẬP 4
Trong HĐ5, cho AB = 2cm, BC = 4cm và A'B' =3cm. Tính độ dài của đoạn thẳng B'C'.
Giải
Theo định lí Thalès trong không gian, ta có:

4

HÌNH LĂNG TRỤ
VÀ HÌNH HỘP

HĐ6:
Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tam giác
mà em đã học ở lớp 7?

Các hình ảnh đã cho trên đều có chứa hai mặt nằm trong hai
mặt phẳng song song, các mặt còn lại chứa các cạnh đối diện
song song với nhau.

ĐỊNH NGHĨA
Cho hai mặt phẳng song song và . Trên cho đa
giác lồi . Qua các đình vẽ các đường thẳng đôi một
song song và cắt mặt phẳng tại . Hình gồm hai đa
giác và các tứ giác được gọi là hình lăng trụ và kí
hiệu là .

ĐỊNH NGHĨA
• Các điểm và được gọi là các đỉnh, các đoạn thẳng được gọi là các
cạnh bên, các đoạn thẳng , và được gọi là các cạnh đáy của hình lăng
trụ.
• Hai đa giác và được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.
• Các tứ giác được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

CÂU HỎI
Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó
suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.
Trả lời:
Xét mặt bên A1A'1A'2A2, theo lí thuyết, ta có
A1A'1 // A2A'2, lại có mặt phẳng (A1A'1A'2A2) lần
lượt cắt hai mặt phẳng song song (α) và (α')
theo hai giao tuyến A1A2 và A'1A'2 nên A1A2 //
A'1A'2.
Do vậy, tứ giác A1A'1A'2A2 là hình bình hành

Trả lời:

Từ đó suy ra A1A'1 // A2A'2 và A1A'1 = A2A'2.
Chứng minh tương tự, ta có các mặt bên
khác của hình lăng trụ là hình bình hành, từ
đó suy ra các cạnh bên đôi một song song
và có độ dài bằng nhau

Chú ý:
Tên của hình lăng trụ được gọi dựa theo tên của đa giác đáy.

Ví dụ 5 (SGK – tr92)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Một mặt
phẳng song song với mặt đáy của hình lăng trụ cắt
các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A", B", C"
(H.4.51). Chứng minh rằng ABC.A'B'C" là hình lăng
trụ.