Bài toán

a) .

S

C

A
M
B

Chương III. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG
GIAN
BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I

II

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

I
1

Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa

Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Góc giữa mặt phẳng
và kí hiệu là .
d
α

Trong đó:

d'

β

I

Góc giữa hai mặt phẳng

1

Định nghĩa

Nhận xét

• .

[

(𝛼) ≡( 𝛽)^
⇒ ( ( 𝜶 ) , ( 𝜷 ) )=𝟎°
(𝛼) // ( 𝛽)

 
( ), (  )  (
d ', d )
α B

I

 (
d ', d ) (a, b) 
( ), (  ) 

a

d
C

c

d'
b

D
β

Nhận xét góc tạo bởi hai đường thẳng a, b và
góc tạo bởi hai đường thẳng d, d'

Góc giữa hai mặt phẳng

I
2

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt
nhau

Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng và cắt
nhau theo giao tuyến c
 Bước 1: Xác định giao tuyến c :
α

 Bước 2: Từ 1 điểm I bất kì trên c, dựng

a

2 đường thẳng a, b thỏa:
 Bước 3: Kết luận .

I

c

b
β

Bài toán

a) .
b)

c) .
d) .

Bài giải

b

^ ^ ^
⇒ ( ( ABC ) , ( SBC ) )= ( AM , SM )= SMA
=

I
3

Góc giữa hai mặt phẳng
Diện tích hình chiếu của một đa
giác

Cho hình đa giác nằm trong mặt
phẳng , là hình chiếu của lên mặt
phẳng và là góc giữa hai mặt phẳng
và .
Khi đó,

S ' S .cos 

Trong đó, S, S' lần lượt là diện tích của (H)
và (H').

α
(H)

φ

(H')
β

Góc giữa hai mặt phẳng

I

Diện tích hình chiếu của một đa
giác
Bài toán:
3

a) c) .
b) d) Hạ.
Bài giải
c)

.

Góc giữa hai mặt phẳng

I

Diện tích hình chiếu của một đa
giác
Bài toán:
3

a)
b)

c) .
d) Hạ.
Bài giải
d) Từ câu a) ta có: .
.
Vậy và lần lượt là hai đường thẳng
vuông góc hai mặt phẳng và .
.

H

II

Hai mặt phẳng vuông góc

1

Định nghĩa

Định nghĩa

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu
góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

II
2

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Các định lí

Định lí
1
Điều kiện cần và đủ để hai mặt
phẳng vuông góc với nhau là mặt
phẳng này chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.

{

𝛼
a

𝒂 ⊂( 𝛂) ⇒ ( 𝛂 ) ⊥ ( 𝛃 ) .
𝒂 ⊥( 𝛃)
𝛽

II
2

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Các định lí
Hệ quả 1

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với
nhau thì bất cứ đường thẳng nào
nằm trong mặt phẳng này và vuông
góc với giao tuyến thì vuông góc với
mặt phẳng kia.

{

( 𝛂 ) ⊥ ( 𝛃)
(𝛂
) ∩ ( 𝛃) =c
⇒
∆ ⊥ (𝛃 )
∆ ⊂ ( 𝛂 ) ,  ∆ ⊥ c  

𝛼

c

𝛽

II
2

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Các định lí

Hệ quả 2

α

Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng ta
dựng một đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng thì đường thẳng này nằm
trong mặt phẳng .

{

(𝜶 ) ⊥ ( 𝜷)
I ∈( 𝜶 )
¿
 I ∈𝒂 𝒂
⇒
  𝒂 ⊥( 𝜷
¿

⊂ (𝜶 )

I
a
β

II
2

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Các định lí

Định lí 2
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng (nếu có ) cũng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba đó.

{

( 𝜶 ) ∩ ( 𝜷 )=𝒅
.
(𝜶
) ⊥(ϒ ) 𝐝
⇒
( 𝜷 )⊥ (ϒ )

⊥ (ϒ )

II
3

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Luyện tập

Bài toán 2

Cho
hình
chóp
S.ABCD
có góc với đáy , là
Cho
hình
chóp
có vuông
ABCD
là hình
bình hành
hình
vuông.
Chứng
minh:và SA vuông góc
đáy (ABCD). Nêu các cặp mặt phẳng
a)
vuông góc với nhau trong hình bên?
b)
Bài giải

a

⇒ (𝐒𝐀𝐂 )⊥ ( 𝐀 𝐁𝐂𝐃 )

II Hai mặt phẳng vuông góc.
3 Luyện tập
Bài toán
2

Cho hình chóp có vuông góc với đáy , là hình
vuông. Chứng minh:
a)
b)
S

Bài giải
b) Ta có:
Do nên
A

D
O

B

C

Góc giữa hai
mặt phẳng
Hai mặt
phẳng vuông
góc
Điều kiện
vuông góc
giữa hai mặt
phẳng
Diện tích hình
chiếu

Góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Góc giữa chúng là góc vuông.
Mặt phẳng này chứa một đường
thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.

𝐒'=𝐒 .𝐜𝐨𝐬 𝛂 ⁡.