BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 1 HK1 0708
BÀI 2: HÀM SỐ (SV)


TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (09/2007)
NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1- KHÁI NIỆM HÀM SỐ
2- CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
3- NHẮC LẠI: HÀM CƠ BẢN (PHỔ THÔNG)
4- HÀM SỐ NGƯỢC
5- HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
6- HÀM HYPERBOLIC
7- ÁP DỤNG KỸ THUẬT
KHÁI NIỆM HÀM SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Đồ thị VNINDEX (chứng khoán) ? Hàm số: giá chứng khoán theo ??? (Thời gian? Giá vàng? Biến động chính trị? & Biểu thức y = ???
Đại lượng A biến thiên phụ thuộc đại lượng B:
? Đời sống: Tiền điện theo số kwh tiêu thụ, giá vàng trong nước theo thế giới ?
? Kỹ thuật: Tọa độ chất điểm theo thời gian ?
Tương quan hàm số
LỊCH SỬ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giữa TK 18, Euler: Biểu diễn hàm số qua ký tự ? y = f(x)
1786, Scotland: The Commercial an Political Atlas, Playfair. Đồ thị so sánh xuất & nhập khẩu từ Anh sang Đan Mạch + Na Uy
ĐỊNH NGHĨA TOÁN HỌC -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MXĐ Df = {x| f(x) có nghĩa}
Hàm số y = f(x): X ? R ? Y ? R: Quy luật tương ứng x ? X ? y ? Y. Biến số x, giá trị y. Tương quan hàm số: 1 giá trị x cho ra 1 giá trị y
Một x ? Nhiều y: K0 phải hàm nghĩa thông thường (Nhưng hàm đa trị?)
MGTrị Imf: ?y =f(x), x?Df ?
y = sinx ? D= R, Imf = [?1, 1]
CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bốn cách cơ bản xác định hàm số: Mô tả (đơn giản) - Biểu thức (thông dụng) ? Bảng giá trị (thực tế) ? Đồ thị (kỹ thuật)
Mô tả: Đơn giản, dễ phát hiện tương quan hàm số
Trọng lượng
Giá tiền
? 20 gr
18.000 đ
20 ? 40 gr
30.000 đ
VD: Bảng cước phí gửi thư bằng bưu điện đi châu A�u
Bảng giá trị: Thực tế, rõ ràng, thích hợp các hàm ít giá trị
VD: Phí gửi thư bưu điện đi nước ngoài phụ thuộc trọng lượng
40 ? 60 gr
42.000 đ
XÁC ĐỊNH HÀM SỐ QUA BIỂU THỨC (HAY GẶP NHẤT) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quen thuộc (dạng hiện): y = f(x)
VD: y = x2, y = ex, hàm sơ cấp cơ bản ?
Dạng tham số
VD: x = 1 + t, y = 1 ? t ? Đường thẳng
: 1 t ? 1 (x, y)
VD: x = acost, y = asint ? Đường tròn
Dạng ẩn F(x, y) = 0 ? y = f(x) (implicit)
VD: Đtròn x2 + y2 ? 4 = 0,
Biểu thức:
MAPLE: KHAI BÁO HÀM SỐ, VẼ ĐỒ THỊ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(Khai báo hàm số) p := x^3 + x^2 + 1;
(Tính giá trị hàm số) subs(x=1, p);
(Tính giới hạn hàm số) limit( sin(2*x)/x, x = 0) ;
(Tính đạo hàm) diff(p, x) ; (Tính đhàm cấp 2) diff(p,x$2)
(Vẽ đồ thị) plot(sin(x), x = 0..Pi); (Nhiều đồ thị) plot( [sin(x),cos(x)],x = 0..2*Pi, color = [red,blue]);
(Đồ thị tham số lý thú) plot( [31*cos(t)-7*cos(31*t/7), 31*sin(t)-7*sin(31*t/7), t = 0..14*Pi] );
plot( [17*cos(t)+7*cos(17*t/7), 17*sin(t)- ?, t = 0..14*Pi] );
HÀM QUEN THUỘC (PHỔ THÔNG) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất hàm y = x?: MXĐ, đơn điệu ? tuỳ thuộc ? > 0 & < 0!
Hàm hằng, tuyến tính (bậc 1): y = ax + b ? Đường thẳng
Hàm luỹ thừa: y = x? ? Đa thức: y = a0xn + a1xn?1 + ? , hàm phân thức: y = 1/x, y = P(x)/Q(x), hàm căn y =
Hàm y = x?: ? tự nhiên ? MXĐ: R, ? nguyên âm: MXĐ x ? 0, ? ? R: nói chung x > 0 (Nếu hàm căn: tuỳ tính chẵn lẻ)
Tính đơn điệu y = x?, x > 0: ? > 0 ? Tăng, ? < 0 ? Giảm
Giới hạn x ? +?: ? > 0 ? lim x? = +?, ? < 0 ? lim x? = 0
ĐỒ THỊ HÀM LUỸ THỪA -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
HÀM MŨ, LOG -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm đa thức: có cực trị, không có tiệm cận
Hàm phân thức: tcận đứng, xiên (ngang) tuỳ bậc
Sviên tự xem
Hàm căn: miền xác định, tiệm cận ?
Hàm logarit: y = lnx ? Tổng quát: y = logax (a > 1 & 0 < a < 1)
Hàm mũ: y = ex ? y = ax (a > 1 & 0 < a < 1). D = R; MGT:
Đơn điệu y = ax: a > 1 ? Hàm tăng & 0 < a < 1: Hàm giảm
ĐỒ THỊ HÀM MŨ, LOGARIT: SO SÁNH VỚI LUỸ THỪA -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Điểm đặc biệt: ? nhau
Khi a > 1 & ? > 0: Cùng ?, ? +?, nhưng mũ nhanh hơn luỹ thừa
Điểm đặc biệt: ? nhau
Khi a > 1 & ? > 0: Cùng ?, ? +?, nhưng luỹ thừa nhanh hơn log
HÀM LƯỢNG GIÁC: sinx, cosx -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
y = sinx, y = cosx ? MXĐ R, MGTrị [?1, 1], Tuần hoàn ?
HÀM LƯỢNG GIÁC: tgx, cotgx -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
y = tgx (x ? ?/2 + k ?), y = cotgx (x ? k?): MGT R, TC đứng
HÀM HỢP. HÀM SƠ CẤP -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 hàm y = f(x), y = g(x) ? Hàm hợp: f o g = f(g): y(x) = f(g(x))
VD: Phân biệt f(g) & g(f): f = x2 & g = cosx ? f(g) = ? ? g(f) = ?
Hàm sơ cấp: Tổng, hiệu, tích, thương, hợp (ngược) ? của những hàm cơ bản ? Hàm sơ cấp: Diễn tả qua 1 công thức
VD: y = (sin2(x) ? ln(tgx+2))/(ecosx ? 1): sơ cấp ? Ltục, đhàm ?
VD:
HÀM NGƯỢC -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f?song ánh ? Phương trình f(x) = y (*) có nghiệm x duy nhất
Tìm hàm ngược: Giải (*) (ẩn x) ? Biểu thức hàm ngược x = f?1(y)
Hàm số y = f(x): X ? Y thoả tchất: ? y ? Y, ?! x ? X sao cho y = f(x) ? f: song ánh (tương ứng một?một)
VD: Tìm miền xác định và miền giá trị để trên đó hàm số sau có hàm ngược và chỉ ra hàm ngược đó y = x2 + 1
Chú ý: Cẩn thận chọn X & Y
VD: y = f(x) = 2x + 1 ? f?1 = ?
HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: ? = arcsin(1/2) = sin-1 (1/2) :
Dùng phím sin-1 trên MTBTúi
y = arcsinx: D = [?1, 1], MGT
y = sinx: song ánh: ?
Hàm ngược y = arcsinx: ?
Hàm arccos, arctg, arccotg: Toán 1, ĐCK, trang 21 ? 23 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
y = cosx song ánh: [0, ?] ? [?1, 1] ? y = arccosx: [?1, 1] ?
HÀM HYPERBOLIC (Toán 1, ĐCK, trang 23 ? 24) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Công thức hàm hyperbolic: Như công thức lượng giác & đổi dấu riêng với thừa số tích chứa 2 sin (hoặc thay cosx ? chx, sinx ? ishx (i: số ảo, i2 = ?1)!
MTBTúi: Bấm hyp + sin, hyp + cos. VD: Tính sh(0), ch(0)
VD: Chứng minh: a/ ch(x) > 0 ? x (Thật ra ch(x) ? 1 ? x) b/ sh x < chx ? x c/ ch(x): hàm chẵn, sh(x): hàm lẻ)
VD: Chứng minh ch2x ? sh2x = 1 ? x (So sánh: cos2x + sin2x = 1)
VD: Giải phương trình: sh(x) = 1
BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đhàm: (shx)? = chx, (chx)?= shx. ĐN: thx = shx/chx; cthx = 1/thx
ÁP DỤNG HÀM MŨ, LOG: PHÂN RÃ PHÓNG XẠ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tốc độ phân rã của vật liệu phóng xạ tỷ lệ thuận với khối lượng hiện có. Hãy tìm quy luật phân rã của vật liệu này?
Giải: Gọi R(t) ? khối lượng vật thời điểm t ? tốc độ phân rã: R?(t) = dR/dt < 0 (vì R giảm). Theo quan sát:
Carbon C ? 14: Chu kỳ bán phân rã: 5730 năm ? Tìm R(t)?
Giải: T ? chu kỳ bán phân rã ? Khối lượng: R0/2 tại th/điểm T:
TẤM VẢI LIỆM THÀNH TURIN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Năm 1356, các nhà khảo cổ phát hiện tại thành Turin (Ý) tấm vải có ảnh âm bản hiện hình người được xem là Chúa Jesus ? Truyền thuyết: Tấm vải liệm thành Turin. Năm 1988, Toà thánh Vatican cho phép Viện Bảo tàng Anh xác định niên đại tấm vải bằng phương pháp đồng vị phóng xạ C ? 14 ? Sợi vải chứa 92% - 93% lượng C ? 14 ban đầu. Kết luận?
Giải: Từ công thức trước:
R/R0: 0.92 ? 0.93 ?
Thực nghiệm: 1988 ? Tuổi tấm vải khi đó: 600 ? 688 ? Kluận?