CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC
MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG
Trong không gian, làm thế nào
để biểu diễn độ dịch chuyển tín
hiệu vô tuyến từ máy bay đến
trạm kiểm soát trên mặt đất?

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Vectơ trong không gian

2

Tổng và hiệu của hai vectơ

3

Tích của một số với một vectơ

4

Tích vô hướng của hai vectơ

1. VECTƠ TRONG
KHÔNG GIAN

 HĐKP1: Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt phẳng.
Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa trong mặt phẳng
không?
Giải
Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt
phẳng: Vectơ là một đoạn thẳng có
hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và
điểm cuối.
Ta có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt
phẳng bằng cách sử dụng đoạn thẳng có hướng trong không gian.

Kết luận
Vectơ trong không gian là
một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý
• Kí hiệu  chỉ vectơ có điểm
đầu , điểm cuối .
• Nếu không cần chỉ rõ điểm
đầu và điểm cuối thì vectơ
còn được kí hiệu là

Ví dụ 1: Cho hình tứ diện . Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là và
điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện.
Giải
Ta có ba vectơ có điểm đầu là và điểm
cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện.

Thực hành 1
Trong Hoạt động mở đầu, tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu
vô tuyến từ vị trí của máy bay đến vị trí của trạm kiểm soát.
Giải
Vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí của máy
bay đến vị trí của trạm kiểm soát là .

Kết luận
Trong không gian, các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá
của vectơ; độ dài của vectơ; hai vectơ cùng phương, cùng
hướng, ngược hướng, bằng nhau, đối nhau; vectơ-không được
định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
Chú ý: Trong không gian, cho điểm và vectơ , tồn tại duy nhất
điểm để  .

Ví dụ 2: Cho hình hộp (Hình 3).
a) Giá của ba vectơ có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
b) Tìm các vectơ bằng vectơ .
c) Tìm các vectơ đối của vectơ .
Giải
a) Giá của ba vectơ lần lượt là ba đường
thẳng
Chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng
vì bốn điểm không đồng phẳng.

b) Do là hình hộp nên là hình bình hành, suy ra và
Ta có hai vectơ và cùng hướng và có độ dài bằng
nhau, suy ra
Tương tự, ta cũng có và .

c) Hai vectơ và có độ dài bằng nhau và ngược hướng, suy ra là vectơ đối của .
Ta có là hình bình hành, suy ra có cùng độ dài và ngược hướng với suy ra là
vectơ đối của
Tương tự, ta cũng có là vectơ đối của .

Thực hành 2

Cho hình chóp tứ giác đều .

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy.
b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ .
c) Tìm các vectơ đối của vectơ .
Giải
a) Các vectơ có điểm đầu là là
 .

b) Vì là tứ diện đều nên

Khi đó, các vectơ có độ dài bằng vectơ  là
 .
c) Ta có:
Suy ra,  là vectơ đối của .

Vận dụng 1

Trong Hình 4, cho biết ba vectơ biểu diễn lực căng của sợi

dây cáp tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt
phẳng không?
Giải

Vì bốn điểm

không thuộc cùng một mặt

phẳng nên giá của ba vectơ  không cùng
nằm trên một mặt phẳng.

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA
HAI VECTƠ

Tổng của hai vectơ
 HĐKP2: Cho hình hộp (Hình 5).
a) Trong mặt phẳng , tìm vectơ tổng 
Trong mặt phẳng , tìm vectơ tổng .
b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ và ,  và  và
c) Giải thích tại sao 

Giải
a) Ta có:  ; .
b) Ta có: ; ;
c) Vì  
.

Kết luận
Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy điểm bất kì và hai
điểm sao cho . Ta gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu .
Phép lấy tổng của hai vectơ được
gọi là phép cộng vectơ.

Nhận xét:
Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng
vectơ trong mặt phẳng.
• Tính chất giao hoán:
• Tính chất kết hợp:
• Với mọi vectơ , ta luôn có:

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ
là:

Quy tắc ba điểm, quy tắc hình
bình hành vẫn đúng với các
vectơ trong không gian.
• Với ba điểm ta có
• Nếu là hình bình hành thì ta
có

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ . Tìm các vectơ tổng
Giải
Ta có là hình lăng trụ nên là hình bình hành, suy ra .
Do đó
Tương tự, ta cũng có là hình bình hành, suy ra
Do đó

Quy tắc hình hộp
 HĐKP3: Cho hình hộp .
a) Tìm các vectơ tổng .
b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của
phép cộng vectơ để chứng minh .

Giải
a) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
b) Ta có:

Kết luận
Cho hình hộp .
Ta có:

Ví dụ 4: Cho hình hộp . Tìm các vectơ:
a)

b)

Giải
a) Theo quy tắc hình hộp, ta có
b) Ta có
Suy ra:
Theo quy tắc hình hộp, ta có
Vậy .

Ví dụ 5: Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một
góc 100° và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng
tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.
Giải
Gọi là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm lần lượt
có độ lớn là 25 N, 12 N, 4 N.
Vẽ .
Vẽ hình bình hành và hình bình hành .
Hợp lực tác động vào vật là

Áp dụng định lí côsin trong tam giác , ta có

Vì nên , suy ra là hình chữ nhật.
Do đó tam giác vuông tại .
Ta có
Suy ra
Vậy độ lớn của hợp lực là

Thực hành 3
Giải:

Cho hình hộp . Tìm các vectơ:
a)  

b)  .

a)

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

Thực hành 3
Giải:

Cho hình hộp . Tìm các vectơ:
a)  

b)  .

b)
Ta có:  
Khi đó,

(Quy tắc hình hộp)

Hiệu của hai vectơ
HĐKP4: Cho hình hộp
a) Trong mặt phẳng , tìm vectơ hiệu .
Trong mặt phẳng , tìm vectơ hiệu .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ  , , .
c) Giải thích tại sao .

Giải
a) .
b) Ta có:
c) Ta có:
.

;;.

Kết luận
Trong không gian, cho hai vectơ . Ta gọi là hiệu của hai
vectơ và , kí hiệu .
Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là
phép trừ vectơ.

Quy tắc hiệu
Trong không gian, với ba
điểm . Ta có:

Ví dụ 6: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Tìm các vectơ hiệu .

Giải
Theo quy tắc hiệu, ta có .
Do là hình bình hành nên ta có , suy ra
Theo quy tắc hiệu, ta có
Vậy .

Thực hành 4

Cho tứ diện có và lần lượt là trung điểm của và . Tìm các
vectơ: a)  

b)  

Giải
a) Ta có:  .
b) Khi đó:
.
Ta có:  . Khi đó
.

Thực hành 5

Cho hình lập phương có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ
dài các vectơ sau đây:
a) 

b) .

Giải

a) Áp dụng quy tắc hình hộp:

Thực hành 5

Cho hình lập phương có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ
dài các vectơ sau đây:
a) 

Giải

b) Ta có:

b) .

Vận dụng 2

Ba lực  cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có

độ lớn lần lượt là 2 N, 3 N, 4 N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.
Giải
Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

Khi đó: .
Ta có: .
.
Vậy .

3. TÍCH CỦA MỘT SỐ
VỚI MỘT VECTƠ

 HĐKP5: Cho hình hộp có và cắt nhau tại (Hình 18).
a) Tính vectơ .
b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a) và vectơ .
Giải:

a) Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:
.
Mà và là hai vectơ cùng hướng.

Kết luận
Trong không gian, cho số thực và vectơ .
Tích của số với một vectơ là một vectơ, kí hiệu là , cùng hướng với
nếu , ngược hướng với nếu và có độ dài bằng .
Phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một
số với một vectơ.

Quy ước: và .

Nhận xét
a) Với hai vectơ và bất kì, với mọi số và , ta có:
;

;

;

;

.

b) hoặc .
c) Hai vectơ và (khác cùng phương khi và chỉ khi có số sao cho .
d) Ba điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi có số khác 0 để .

Ví dụ 7: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh là
giác . Chứng minh rằng:

Giải
a) Ta có:
Do đó .
Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên
Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên

trọng tâm của tam

Ví dụ 7: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh là
giác . Chứng minh rằng:

Giải
b) Ta có:
Suy ra .
Vì là trọng tâm của tam giác nên

trọng tâm của tam

Thực hành 6
Cho hình lăng trụ có là trung điểm của (Hình 20).

Giải:
Ta có:

Ví dụ 8: Theo định luật II Newton (Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo, Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 60): Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực
tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch
với khối lượng của vật:
trong đó là vectơ gia tốc (/), là vectơ lực (N)
tác dụng lên vật, (kg) là khối lượng của vật.
Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5
kg một gia tốc 50 / thì cần một lực đá có độ
lớn là bao nhiêu?

Giải:

Ta có
suy ra
(N).
Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng kg một gia tốc / thì cần
một lực đá có độ lớn là N.

Vận dụng 3
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi
bốn đoạn xích sao cho là hình chóp tứ giác đều có (Hình 22).

a) Sử dụng công thức trong đó là vectơ gia tốc
rơi tự do có độ lớn 10 /, tìm độ lớn của trọng lực
tác động lên chiếc đèn chùm.
b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Giải:
a) Ta có: , suy ra(N)
b)
Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ.
Vì đèn ở vị trí cân bằng nên

Ta có: .
Từ hình vẽ ta có:

𝑃
50 25 √ 3
⇔ 𝑇=
=
=
≈ 14,4 N
3. cos 30 ° 2 √ 3
3
'

4. TÍCH VÔ HƯỚNG
CỦA HAI VECTƠ