CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG
Người ta gieo một đồng xu hình tròn bán kính 1 cm lên một tờ giấy trải
phẳng. Trên tờ giấy đó có vẽ những đường thẳng song song cách đều, tức là
những đường thẳng song song mà khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kỳ
nằm cạnh nhau luôn bằng nhau. Nếu khoảng cách ấy luôn bằng 2 cm thì có
thể xảy ra những trường hợp nào sau đây, vì sao?
a) Đồng xu đè lên một đường thẳng
(đồng xu che khuất một phần của đường thẳng).
b) Đồng xu không đè lên đường thẳng nào.
c) Đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng.

BÀI 16: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 16: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

1

NỘI DUNG
BÀI HỌC

2
3

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN
CỦA ĐƯỜNG TRÒN

HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU CỦA MỘT
ĐƯỜNG TRÒN

1

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
HĐ 1.
Cho đường thẳng a và điểm O. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O
xuống a, và A là một điểm thuộc tia OH. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy vẽ
đường tròn (O; OA) và cho biết đường thẳng a và đường tròn (O; OA) có bao
nhiêu điểm chung?
O

O

O

A
a

a

a

H
A
a) OH < OA

H

A

b) OH = OA

H
c) OH > OA

0

a) OH < OA

O

a
0



H
A

Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là cắt nhau nếu chúng có hai điểm chung.

* Nhận xét: Giữa đường thẳng và đường tròn có mấy điểm chung?

b) OH = OA

O

a


0

H A

Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có duy nhất một
điểm chung H. Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng a còn gọi là tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại H.

* Nhận xét: Giữa đường thẳng và đường tròn có mấy điểm chung?

C) OH > OA

O

a
0



.
H

A
.

Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung.

* Nhận xét: Giữa đường thẳng và đường tròn có mấy điểm chung?

* Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
1. Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là cắt nhau nếu chúng có hai điểm chung.
2. Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có duy nhất một
điểm chung H. Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng a còn gọi là tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại H.
3. Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm
chung.

* Nhận xét
1. Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R). Gọi d là khoảng cách từ O đến a. Từ hoạt
động 1 ta nhận thấy: Đường thẳng a và đường tròn (O; R).cắt nhau khi d < R (Hình 1),
tiếp xúc với nhau khi d = R (Hình 2). và không giao nhau khi d > R (Hình 3).

O

O
R

d

H

Hình 1

R

R

a
A

O

a

a
B

A
H

Hình 2

2. Nếu đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì OH  a

Hình 3

Một số hình ảnh về ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường
tròn trong thực tế

Đường thẳng
và đường tròn
cắt nhau

Đường thẳng
và đường tròn
tiếp xúc nhau

Đường thẳng
và đường tròn
không giao nhau

11

13

14

Luyện tập 1
Cho đường thẳng a và điểm O cách A một khoảng bằng 4cm. Không vẽ hình hãy
dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng a. Tại
sao?
a) (O; 3cm)

b) (O; 5cm)

c) (O; 4cm)

a) d = 4cm, R = 3cm; d > R nên đường tròn (O; 3cm) không cắt đường thẳng a.
b) d = 4cm, R = 5cm; d < R nên đường tròn (O; 3cm) cắt đường thẳng a.
c) d = 4cm, R = 4cm; d = R nên đường tròn (O; 3cm) cắt (tiếp xúc) đường thẳng a.

2

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN
CỦA ĐƯỜNG TRÒN

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
HĐ 2. Cho đoạn thẳng OH và đường thẳng a vuông góc với OH tại H.
a) Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng a.
b) Nếu vễ đường tròn (O; OH) thì đường tròn này và đường thẳng a có vị trí
tương đối như thế nào?

O

a
0



H

* Đường thẳng a và đường tròn (O; OH) có vị trí như thế nào?

Định lý 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến)
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trong một đường tròn và
vương góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến
của đường tròn
Ví dụ 1: Cho AB là một dây không đi qua tâm của đường tròn (O).
Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm
C. Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của (O).

Ví dụ 1: Cho AB là một dây không đi qua tâm của đường tròn (O).
Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm
C. Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của (O).
A
Giải

Gọi D là giao điểm của AB và OC, Trong tam
giác cân AOB (OA = OB), đường cao OD
(do OC  AB) cũng là đường phân giác của góc O,
 1 O
2
suy ra O

1
C

D

O

2

B

 1 O
 2 và OA = OB.
Ta có AOC BOC (c.g.c) . Vì OC là cạnh chung, O
0


Từ đó OBC OAC 90 (do OA là tiếp tuyến), tức là CB vuông góc với bán kính OB

tại B. Do đó theo định lí 1. CB cũng là tiếp tuyến của (O).

Luyện tập 2 ( HS thực hiện cá nhân trong thời gian 4 phút)
Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6cm và hai đường chéo
cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn (I; 3cm) tiếp xúc với cả bốn
cạnh của hình vuông.
Giải
Gợi ý: Chứng minh khoảng cách từ I tới mỗi cạnh
bằng 3 cm

Thực hành

Cho đường thẳng a và điểm M không thuộc a. Hãy vẽ đường
tròn tâm M tiếp xúc với a

M


a
0

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên
một đường thẳng khi đường tròn (hình ảnh của đồng xu) và đường
thẳng ấy cắt nhau.
Bằng cách xét vị trí đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường
thẳng song song cạnh nhau (cách đều hoặc không cách đều hai đường
thẳng đó), hãy chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b,
không thể xảy ra trường hợp c.

Vận dụng
HDG: Gọi (0; 1cm) là đường tròn mô phỏng đồng xu và giả sử sau khi gieo
đồng xu, tâm O nằm trong một dải giữa hai đường thẳng m1 và m2 song song và
nằm cạnh nhau. Dễ thấy khoảng cách từ O đến các đường thẳng khác m1 và m2
luôn lớn hơn 1 nên (O) không giao nhau với bất kì một đường thẳng nào khác m1
và m2. Do đó ta chỉ cần xét vị trí tương đối của (O) đối với m1 và m2.
Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ O đến m1, m2, ta có d1 + d2 = 2cm. Chỉ có
thể xảy ra các trường hợp sau:
1. d1< d2 khi đó ta có d1 <1 và d2 > 1 nên (O; 1) cắt m1 và không giao nhau với m2.

2. d1 =d2 khi đó ta có d1 = d2 =1 nên (O; 1) tiếp xúc với cả m1, m2
3. d1>d2 khi đó ta có d1>1, d2<1 nên (O; 1) cắt m2 và không giao nhau với m1.
Tóm lại chỉ có thể xảy ra: đồng xu đè lên một đường thẳng (trường hợp 1 và
3), hoặc đồng xu không đè lên đường thẳng nào cả (trường hợp 2).

3

HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN

3. Hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn
Hoạt động 3: Cho điểm P ở bên ngoài một đường tròn tâm O. Hãy
dung thước và compa thực hiện các bước vẽ hình như sau
- Vẽ đường tròn đường kính PO cắt đường tròn (O) tại A và B.
- Vẽ và chứng tỏ các đường thẳng PA và Pb là hai tiếp tuyến của
(O).
PA và PB gọi là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O).

HDG: Hai tam giác PAO và PBO là
các tam giác vuông lần lượt tại A, B do đó
PA, PB lần lượt vuông góc với OA, OB.
Suy ra PA, PB là tiếp tuyến của (O)

HĐ 4

(Dựa vào hình vẽ có được sau HĐ 3). Bằng cách xét hai tam giác
OPA và OPB, chứng minh rằng
a) PA = PB;
b) PO là tia phân giác của góc APB
c) OP là tia phân giác của góc AOB

HDG: + Chứng minh Hai tam giác PAO và PBO bằng nhau.
+ Dựa vào hai tam giác bằng nhau từ đó CM các ý a, b, c.

Định lí 2
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm P thì:
* Điểm P cách đều hai tiếp điểm
* PO là tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến.
* OP là tia phân giác của góc tạo bởi
hai bán kính qua hai tiếp điểm.

Ví dụ 2 (SGK -102)

A

P

O

B

Ví dụ 2 (SGK -102)
Cho hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn (O; R) (A và B là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng
.
A
b) Tính PA và PB, biết R = 2cm và PO = 4cm
Giải
a) Do OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O), nên
theo định lí 2, ta có OP là tia phân giác của góc AOB.
Trong tam giác cân AOB (OA = OB), đường phân giác OP
cũng là đường cao nên ta có
OP  .AB

H
P

O

M

B


900( do PA tiếp xúc với đường tròn (O) tại A) và OA
b) Tam giác OAP có OAP
= R = 2 cm và OP =4 cm (giả thiết).
2
2
2
AP

OA

OP
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OAP ta có

Từ đó suy ra AP 2 OP 2 OA2 42  22 12
Vậy AP  12 2 3 cm.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta cũng có BP  AP 2 3 cm.

Thử thách nhỏ (SGK -103) Cho góc xPy và điểm A thuộc tia Px.
Hãy vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai canh của góc xPy sao
cho A là một trong hai tiếp điểm.
x

HDG:
- Vẽ đường phân giác Pt của góc xPy,
Qua A vẽ đường vuông góc với Pt, cắt Pt
tại O
- Vẽ đường tròn (O; OA)

A
t

O
P

y

LUYỆN TẬP

Câu 1: Câu nào sau đây là đúng.
A. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi đường
thẳng có một giao điểm với đường tròn.
B. Đường thẳng cắt đường tròn khi đường thẳng có một
giao điểm với đường tròn.
C. Đường thẳng không cắt đường tròn khi khoảng cách
từ tâm của đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán
kính.
D. Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng
nhỏ hơn R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

Câu 2: Cho (O;6cm) và đường thẳng a. Gọi d là khoảng
cách từ tâm O đến đường thẳng a. Điều kiện để a cắt O là:
A. Khoảng cách d < 6cm
B. Khoảng cách d = 6cm
C. Khoảng cách d > 6cm
D. Khoảng cách d≤6cm

Câu 3: Cho điểm A(3;4). Khi đó đường tròn (A;4) sẽ có
vị trí như thế nào với hai trục Ox; Oy.
A. Cắt Ox và tiếp xúc với Oy
B. Cắt cả Ox và Oy
C. Cắt Oy và tiếp xúc với Ox
D. Tiếp xúc với Ox và không giao với Oy

VẬN DỤNG

Bài 5.22 (SGK – 103)

HDG:
- Theo đề bài ta có
tại A, nên OA là tiếp tuyến của (P) tại A.
Ox  PA
- Do Ot là phân giác của góc xOy và
nên PA = PB. Suy ra
OPA OPB c.c.c 
, do
·PBO PAO
·
90

Do đó
B.

P  Ot

có OP chung, OA = OB và PA = PB.
Oy  PB
nghĩa là
tại B, nên OB là tiếp tuyến của (P) tại