KHỞI ĐỘNG
Bạn Lan vẽ một hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là
1;3 (đơn vị độ dài). Sau đó Lan đặt lên trục số một đoạn OM có độ dài
bằng độ dài của đường chéo hình chữ nhật vừa vẽ (trục số nằm
ngang và M nằm bên phải gốc O). Hỏi điểm M biểu diễn số thực nào?
Biết rằng đơn vị độ dài trên trục số và đơn vị độ dài đo kích thước
hình chữ nhật là như nhau.

BÀI 35. ĐỊNH LÍ PYTHAGORE VÀ
ỨNG DỤNG

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

Định lí pythagore

02

Ứng dụng của định lí pythagore

I. ĐỊNH LÍ
PYTHAGORE

HĐ 1
Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 
độ dài cạnh và so sánh hai đại lượng  với .

𝐴
Ta thấy

𝐵

𝐶

hay

 (H.9.31). Hãy đo

HĐ 2 Lấy giấy trắng cắt bốn tam giác vuông bằng nhau. Gọi là độ dài hai cạnh góc vuông,
là độ dài cạnh huyền của các tam giác vuông này. Cắt một hình vuông bằng tấm bìa có cạnh
dài . Dán bốn tam giác vuông lên tấm bìa như Hình 9.32
- Dùng ê ke kiểm tra xem phần bìa không bị che lấp có phải là
hình vuông cạnh bằng không. Từ đó tính diện tích phần bìa
này theo .
- Tổng diện tích bốn tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc
vuông là bao nhiêu?
- Diện tích cả tấm bìa hình vuông cạnh bằng bao nhiêu?
- So sánh  với  để rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa hai

đại lượng  và

Giải
-

Phần không bị che khuất là hình vuông.

-

Tổng diện tích bốn tam giác vuông:

-

Diện tích tấm bìa:

-

Ta có:

Vậy .

 Định lí Pythagore
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng
các bình phương của hai cạnh góc vuông.
GT
KL

,

 Định lí Pythagore đảo
Nếu tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các
bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là

tam giác

vuông.
Lưu ý: Bình phương của một đoạn thẳng là bình phương độ dài
của đoạn thẳng đó.

Tìm độ dài trong hình 9.34

Giải




Ví dụ 1: Cho tam giác có
a) Tính trong trường hợp tam giác vuông tại (làm tròn kết quả
đến chữ số thập phân thứ nhất).
b) Tìm để tam giác vuông tại .
Giải
a) Nếu tam giác vuông tại thì theo định lí Pythagore ta có:
suy ra , hay
Vậy

Ví dụ 1: Cho tam giác có
a) Tính trong trường hợp tam giác vuông tại (làm tròn kết quả
đến chữ số thập phân thứ nhất).
b) Tìm để tam giác vuông tại .
Giải
b) Theo định lí Pythagore đảo, để tam giác vuông tại thì
, suy ra , hay .
Vậy .

Luyện tập 1
Trên giấy kẻ ô vuông (cạnh ô vuông
bằng 1 cm), cho các điểm A, B, C

M

như Hình 9.35. Tính độ dài các cạnh
của tam giác ABC.
P

N

Giải:
Qua kẻ ; qua kẻ sao cho và .
Qua kẻ ; qua kẻ sao cho và
Ta có là hình vuông.
Áp dụng định lí Pythagore vào các tam giác vuông ta có:
cm
cm
cm

Vận dụng 1

Em hãy giải bài toán mở đầu.
Giải:

 Nếu điểm biểu diễn cho số thực
có độ dài là (đvđd).


là cạnh huyền của một tam giác vuông; 2 cạnh góc vuông là
hai cạnh của hình chữ nhật.
Áp dụng định lí Pythagore, có:
.

II. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ
PYTHAGORE

Tính độ dài đoạn thẳng
Bài toán 1: Cho tam giác vuông tại có . Hãy tính độ dài cạnh , đường cao
và các đoạn thẳng .
Giải:
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông tại ,

ta

𝐶

được , hay
Vì diện tích của tam giác bằng và cũng bằng
Nên , hay

8

𝐴

𝐻
6

𝐵

Tính độ dài đoạn thẳng
Bài toán 1: Cho tam giác vuông tại có . Hãy tính độ dài cạnh , đường cao
và các đoạn thẳng .
Giải:
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông tại , ta được

hay
Suy ra
Nhận xét: Nếu tam giác vuông tại có đường cao , các cạnh thì:

𝐶
8

𝐴

𝐻
6

𝐵

Luyện tập 2
Cho tam giác vuông với kích thước như Hình 9.37. Hãy tính độ dài và cho biết
những tam giác nào đồng dạng, viết đúng kí hiệu đồng dạng. 

Ta có: .
Vậy (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=>
Ta lại có: ( ;
Nên: (c.g.c) (2)
).

Vận dụng 2
Để đón được một người khách, một xe taxi xuất
phát từ vị trí điểm A, chạy dọc một con phố dài
3km đến điểm B thì rẽ vuông góc sang trái,
chạy được 3km đến điểm C thì tài xế cho xe rẽ
vuông góc sang phải, chạy 1km nữa thì gặp
người khách tại điểm D (H.9.38). Hỏi lúc đầu,
khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người
khác là bao nhiêu kilômét?

Giải:
Do là hình vuông nên km; km.
km
Áp dụng định lí Pythagore cho ,
ta có:
km.

Chứng minh tính chất hình học
Bài toán 2: Một chiếc cột có chiều cao dựng thẳng đứng trên mặt đất tại điểm ,
người ta kéo căng các sợi dây từ đỉnh cột (điểm ) lần lượt đến các điểm và trên
mặt đất (H.9.39). Biết rằng và . Hãy chứng minh rằng .
Giải:
Áp dụng định lí Pythagore cho hai tam giác vuông và
ta được
, hay
Và , hay
Vì nên từ (1) và (2) suy ra . Do đó

 Chú ý
Trong bài toán 2, nếu gọi AM là đường cao, các đoạn thẳng
AC, AD là đường xiên thì đoạn thẳng MC được gọi là
hình chiếu của đường xiên AC và đoạn thẳng MD được gọi là
hình chiếu của đường xiên AD.
Với cùng 1 đường cao, hình chiếu càng lớn thì đường xiên
càng lớn.

Cho hình 9.42, trong đó các đoạn
thẳng AC, AD, AE đoạn nào có độ
dài lớn nhất, đoạn nào có độ dài
nhỏ nhất?
Giải
Do nên . Vậy đoạn có độ dài lớn nhất.

Luyện tập 3
Trước đây chúng ta thừa nhận định lí về trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam
giác vuông: "Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng
một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó
bằng nhau”. Áp dụng định lí Pythagore, em hãy chứng minh định lí trên.

,,
GT

KL

Giải
vuông tại , có:
(1)
vuông tại , có:
(2)
Mà (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra:
Vậy (c.c.c)

Thử thách nhỏ
Tính chiều cao theo đơn vị centimét của một
tam giác đều cạnh 2cm (h.9.42) (làm tròn kết
quả đến chữ số thập phân thứ hai)
Giải:
Áp dụng định lí Pythagore cho có:

(cm)

LUYỆN TẬP

GẤU CON HAM ĂN

CÂU HỎI 1: Cho vuông tại khi đó:

A.

C.

B.

D.

CÂU HỎI 2: Cho vuông cân tại . Tính độ dài biết dm

A. dm

C. dm

B. dm

D. dm

CÂU HỎI 3: Một tam giác có cạnh huyền bằng 26cm
độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài
các cạnh góc vuông

A. 12 cm; 24 cm

C. 10 cm; 24 cm

B. 10 cm; 22 cm

D. 15 cm; 24 cm

CÂU HỎI 4: Cho ∆ABC vuông tại A có AC=20 cm. Kẻ
AH vuông góc với BC. Biết BH=9 cm ; HC=16 cm.
Tính AH,AB ?

A. AH=12 cm;AB=15 cm

C. AH=15 cm;AB=12 cm

B. AH=10 cm;AB=15 cm

D. AH=12 cm;AB=13 cm

CÂU HỎI 5: Tam giác nào là tam giác vuông trong các
tam giác có độ dài ba cạnh như sau

A. 15cm; 8cm; 18cm

C. 5m; 6m; 8m

B. 21dm; 20dm; 29dm

D. 2m; 3m; 4m

Bài 9.17 (SGK – tr.97)
Cho tam giác vuông tại . Trong các khẳng định sau đây, khẳng
định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) 
b) 
c) 
d) 

vuông tại thì có là cạnh
huyền.

Bài 9.18 (SGK – tr.97)
Những bộ ba số đo nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác
vuông?
a)

không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

b)

tam giác.

c)

Vì

d)

nên không thể là độ dài ba cạnh của một

Vì

Bài 9.19 (SGK – tr.97)

Tính các độ dài trong Hình 9.43

Giải:

VẬN DỤNG

Bài 9.20 (SGK – tr.97)
Cho tam giác cân tại đỉnh , chiều cao  và cạnh đáy . Hãy tính độ dài các cạnh bên
Giải:
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông có :
(cm)
Do cân tại cm.

Bài 9.21 (SGK – tr.97)
Hãy tính diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 8cm và đường chéo dài
17cm.

Giải:
Gọi là chiều dài hình chữ nhật.
Theo định lí Pythagore ta có:
cm
Diện tích hình chữ nhật bằng:

Bài 9.22 (SGK – tr.97)
Chú cún bị xích bởi một sợi dây dài
6m để canh một mảnh vườn giới hạn
bởi các điểm A, B, E, F, D trong hình
vuông ABCD có cạnh 5m như Hình
9.44. Đầu xích buộc cố định tại điểm A
của mảnh vườn. Hỏi chú cún có thể
chạy đến tất cả các điểm của mảnh
vườn mình phải canh không?

Giải:
Ta thấy
(m)
Vậy m. Do đó chú cún không thể đến
được điểm .
Vì vậy chú cún không thể đến được tất cả
các điểm trong mảnh vườn.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ôn tập kiến thức đã học.
 Hoàn thành bài tập trong SBT.
 Đọc và chuẩn bị trước Bài 36 – Các
trường hợp đồng dạng của hai tam
giác vuông.

HẸN GẶP LẠI CÁC EM
Ở TIẾT HỌC SAU!