Hình thoi có những
Họa
cácgì?
emCó
thấy
tínhtiết
chất
trên hình
55 gợi
những
dấu hiệu
nàolên
để
hình
thoi.
nhậnảnh
biếtcủa
mộthình
tứ giác
là hình thoi.

ĐỊNH NGHĨA

I

So sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 56

B

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
A

VÍ DỤ 1

N

a)

P

cm

G
2cm

2,5

cm

2,5

2,5cm

K

H

2,5cm

2,5

2,5cm

cm

M

Q

C

2cm

b)

I

D
Hình 56

II TÍNH CHẤT
Giải:

a) Xét hình thoi ABCD có:
AB = BC = CD = DA (định nghĩa)
Suy ra: ABCD là hình bình hành (tính chất)
D
b) Xét Hình bình hành ABCD
có AC DB = O suy ra DO = OB (tính chất)
Xét ∆ADO và ∆ABO
Do đó: ∆ADO = ∆ABO (c.c.c)

A
O

C

Suy ra: (cặp góc tương ứng)
Mà (hai góc kề bù)
suy ra
Nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

B

II TÍNH CHẤT
Giải:

c) Xét ∆ABC và ∆ADC
⇒ ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)
Lại có ∆ADO = ∆ABO (cmt)
Suy ra (cặp góc tương ứng)
Hay
Vậy tia AC là tia phân giác của

B
A

O

C
D

Nhận xét:
Do hình thoi là hình bình hành nên hình thoi có
tất cả các tính chất của hình bình hành.

II TÍNH CHẤT
* Định lí:

Trong một hình thoi:
a) Các cạnh đối song song; các cạnh bằng nhau
b) Các góc đối bằng nhau;
c) Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường;
d) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

B

Lời giải
Tam giác ABD có AB = AD (ABCD là hình thoi).
Lại có BD là tia phân giác của góc B
= = 600.
Vậy, tam giác ABD là tam giác đều

/

\
A

/

\
D

C

III

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

SGK trang 114
a) Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB và
BC bằng nhau, ABCD có phải là hình thoi hay không?
b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC
và BD vuông góc với nhau (Hình 60).
 Đường thẳng AC có phải là đường trung trực
của đoạn thẳng BD hay không?
 ABCD có phải hình thoi hay không?

+ Nhóm 1, 3, 5:

Hoạt động nhóm

Làm phần a) của HĐ3
+ Nhóm 2, 4, 6:
Làm phần b) của HĐ3

III

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Giải:
b)
a) Xét hình bình hành ABCD
Có
Có:OD
AB == OB
BC (tính
(gt) chất)

(3)(1)

AC
⊥DC
DBvà
= BC
O (gt)
AB =
= AD (tính chất) (4)
(2)
Từ (1)
(3)vàvà(2)(4)
ra =Đường
thẳng
AC là
suysuy
ra AB
BC = DC
= AD
đường
trung trực
của đoạn
Suy ra ABCD
là hình
thoi thẳng BD
Lại có OA = OC (tính chất)

(5)

Từ (3), (4), (5) Suy ra ABCD là hình thoi
a) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
b) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

III

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
C

Lời giải
Tứ giác ABNC có M là trung điểm của cả
hai đường chéo BC và AN nên ABNC là
hình bình hành.

A

/

Do tam giác ABC cân tại A, có AM là trung tuyến
Nên AM cũng là đường cao: AM ⊥ BC
Suy ra AN  BC
Hình bình hành ABNC có hai đường chéo AN và BC
vuông góc với nhau nên ABNC là hình thoi.

=
M

=

B

/

N

BÀI TẬP

Lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình bình hành
nên O là trung điểm của BD

C
B

O

)

)

Xét tam giác ABD có:
A
AO vừa là phân giác của góc DAB,
vừa là đường trung tuyến
Suy ra: ABD là tam giác cân tại A, hay AB = AD.
Hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB = AD nên nó là hình thoi.

Chú ý:

Hình bình hành có một đường chéo là
đường phân giác của một góc là hình thoi.

D

Lời giải
B

C
O



C
D

A

ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD.
AOB, O  900

có OA2 + OB2 = AB2.(ĐL Pythagore)
Từ đó:
AC2 + BD2 = (2OA)2 + (2OB)2
= 4(OA2+OB2) = 4AB2

B

O



D

A

Vì ABCD là hình thoi
nên DB là tia phân giác của góc .
Do đó = 2 . = 2 · 400 = 800.
Hình thoi cũng là hình bình hành,
do đó hai góc kề có tổng là 1800,
hay = 1800 - = 1000
Hình thoi có các cặp góc đối diện bằng nhau,
vậy ta có = = 1000; = = 800

A

O

C

D

45mm

B

AB2 = 2531,25
hay AB ≈ 50,3 mm

90mm

c
40

A ) 60

m

BD = AB = 40 (cm)
AC = 69,28 (cm).

B
C

0

D

S = AC . BD
= . 69,28 . 40
= 1385,6 (cm2).

Hãy chọn câu sai.
A

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi

B

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và
bằng nhau là hình thoi

C

Hình bình hành có một đường chéo là đường phân
giác của một góc là hình thoi.

D

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với
nhau là h́ình thoi.

Hình thoi không có tính chất nào dưới đây?
A. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
B. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
C. Hai đường chéo vuông góc với nhau
D. Hai đường chéo bằng nhau

A. Tam giác đều
Trong các hình sau,
hình nào vừa có tâm đối xứng,

B. Hình thang cân.

vừa có trục đối xứng?

C. Hình bình hành
D. Hình thoi

Cho các hình sau, chọn khẳng định đúng
A

A

B

D

Hình 1

C

Cả ba hình đều là hình thoi
Hình 1 và hình 2 là hình thoi

A

B

D

A

Hình 2

C
B
D

C

D

B

Hình 3

C

Chỉ hình 1 là hình thoi
Cả ba hình đều không phải hình thoi

Hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24cm và 10cm
thì cạnh của hình thoi đó bằng:

A . 12cm

B . 13cm

C. 14cm

D . 15cm

Hình thoi có độ dài hai đường chéo là 16cm và 12cm
thì cạnh của hình thoi đó bằng:

A . 8cm

B . 12cm

C. 10cm

D . 20cm

Tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi M,N theo thứ tự là trung
điểm của BC, DA. Gọi I,K theo thứ tự là trung điểm của AC,
BD. Tứ giác KMIN là hình gì?

A . Hình chữ nhật

B . Hình bình hành

C. Hình thang cân

D . Hình thoi

Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi D là
trung điểm của AB, M' là điểm đối xứng với M qua D.
Tứ giác AMBM' là hình gì?
A . Hình thoi

B . Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D . Hình thang

Cho hình thang ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm
của AB, BC, CD, DA. Hình thang ABCD có thêm điều kiện
gì thì MNPQ là hình thoi. Hãy chọn câu trả lời đúng

A . MP=QN

B . AC  BD

C. AB = AD

D . AC = BD

Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy
hai điểm E và F sao cho BE=DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm
của AE, AF với đường chéoDB. Tứ giác AGCH là hình gì?

A . Hình thoi

B . Hình chữ nhật

C. Hình bình hành

D . Hình thang

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt
là trung điểm của AD, BC. Các đường BE,
DF cắt AC tại P, Q. Tứ giác EPFQ là hình
thoi nếu bằng:
A . 450

B . 600

C. 900

D . 750

Cho hình thoi ABCD
có chu vi bằng 16cm,
đường cao bằng 2cm.

Tính các góc
của hình thoi.

A

= = 1500; = = 300

B

= = 300; = = 600

C

= = 1200; = = 600

D

= = 300; = = 1500

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Hoàn thành các bài tập trong SGK và SBT.
 Chuẩn bị bài mới: "Bài 7: Hình vuông ".

Tạm Biệt Các Em!

Tạm Biệt Các Em!

II

TÍNH CHẤT

(SGK- tr110) Cho thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD
B
cắt nhau tại O, AC = 3cm, BD = 4cm (Hình 59).
Tính độ dài của OA, OB, AB.
/
\
Giải
C
A /
\
Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm
của hai đường chéo AC, BD
D
Suy ra: OA = AC = .3 = 1,5 (cm);
Áp dụng định lí Pythagore, ta có
OB = BD = 4 = 2 (cm).
AB2 = OA2 + OB2.
VÍ DỤ 2

Ta có AC ⊥ BD (vì ABCD là hình thoi)
nên tam giác OAB vuông tại O.

Do đó AB2 = (1,5)2 + 22 = 6,25
hay AB = 2,5(cm)

III
VÍ DỤ 3

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
(SGK-tr115) Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm M,
N lần lượt thuộc tia đối của tia AB, AC sao cho AM = AB,
C
AN = AC. Chứng minh tứ giác BCMN là hình thoi

Lời giải.
Tứ giác BCMN có A là trung điểm của cả hai đường
chéo BM và CN nên BCMN là hình bình hành.

B

Do tam giác ABC vuông tại A nên = 90 hay BM ⊥ CN.
0

Hình bình hành BCMN có hai đường chéo BM  CN
=> BCMN là hình thoi.

/

=
=A
N

/

M

Lời giải
Đặt tên các đỉnh và các cạnh
như hình vẽ bên, giả sử = 600

B
A ) 600

Ta có tam giác ABD đều nên BD = AB = 40 cm.
Vì O là trung điểm của BD nên BO = BD = 20 cm
Do đó, áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AOB ta có
AB2 = OA2 + OB2 ⇒ OA2 = AB2 – OB2 = 402 – 202 = 1200.
Suy ra OA = 34,64 ⇒ AC = 69,28 (cm).
Diện tích viên gạch cũng chính là diện tích hình thoi ABCD là
S = AC . BD = . 69,28 . 40 = 1385,6 (cm2).

40

cm

C
D