KHẢO SÁT SỰ BiẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC
CÁC BƯỚC KHẢO SÁT
HÀM SỐ
y= ax3+bx2+cx+d
HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
y= ax4+bx2+c
x
y
O
Làm thế nào để có được đồ thị nhưthế này ?
?
1.Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Tìm tập xác định .
Xét sự biến thiên của hàm số
a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực ( nếu có ) của hàm số .
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị ( nếu có )
b) Lập bảng biến thiên của hàm số , bao gồm :
Tìm đạo hàm , xét dấu đạo hàm , xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số ( nếu có ) , điền các kết quả đó vào bảng .
3. Vẽ đồ thị hàm số
Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm với hai trục .
Nhận xét đồ thị : chỉ ra tâm đối xứng ( nếu có , không chứng minh )
2. Hàm số y= ax3+bx2+cx+d ( a≠0)
VD1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x3- 3x +2
Giải
1. Tập xác định R
Tìm tập xác định .
Xét sự biến thiên của hàm số
2.Sự biến thiên của hàm số
a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực ( nếu có ) của hàm số .
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị ( nếu có )
b) Lập bảng biến thiên của hàm số , bao gồm :
Tìm đạo hàm , xét dấu đạo hàm , xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số ( nếu có ) , điền các kết quả đó vào bảng
3. Vẽ đồ thị hàm số
a) Giới hạn của hàm số tại vô cực
b) Bảng biến thiên
y/ = 3x2-3
y/= 0  3x2 -3 = 0  x =1 hoặc x =-1
x
y/
y
-∞
+∞
-1
1
0
0
+
-
+
-∞
+∞
4
0
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -∞;-1) và (1;+∞) , nghịch biến trên khoảng ( -1 ;1)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x =-1 , giá trị cực đại y =4 .
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =1 , giá trị cực đại y = 0 .
3. Đồ thị
Giao điểm đồ thị vời Oy là ( 0;2)
Giao điểm đồ thị với Ox
y= 0 <=> x3-3x+2 = 0  x = 1 hoặc x =-2
Đồ thị nhận điểm U(0;2) làm điểm uốn
Điểm uốn của đồ thị hàm số

y = x3-3x +2
y/ =3x2 -3
y// =6x
y// = 0  x = 0
U(0;2)
U
Điềm U ngăn cách phần lồi và phần lõm được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số .
?
Vậy làm thế nào để tìm được điểm uốn U ?
Bảng dấu y//
x
y//
-∞
+∞
0
0
-
+
Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0 , f//(x0) =0 và f// đổi dấu khi x qua x0 thì U(x0;f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y= f(x)
Ta thấy y// đổi dấu khi x qua x= 0 nên đồ thị hàm số có điểm uốn U(0;2)
VD2.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= -x3+ x2 +x
3.Hàm số trùng phương y= ax4+bx2+c ( a ≠ 0)
VD3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
y= x4 -2x2 -2
Giải
1/ Tập xác định R
2/ Sự biến thiên của hàm số
a) Giới hạn tại vô cực
b) Bảng biến thiên
y/= 4x3– 4x = 4x(x2 -1)
y/ = 0  4x(x2 -1) = 0
 x = 0 hoặc x = 1 hoặc x =-1
x
y
y/
0
-1
1
-
0
0
0
+
-
+
-
-2
-3
-3
+∞
+∞
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -∞ ;-1) và (0;1) , đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞ )
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0; giá trị cực đại y= -2 .Hàm số đạy cực tiểu tại điểm x = -1 hoặc x =1 , giá trị cực tiểu y =-3
3/ Đồ thị
Điểm uốn
Ta có y// = 12x2 -4
x
y//
-∞
+∞
0
0
+
-
+
Ta thấy y// đổi dấu khi x qua x = nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn
Giao điểm của đồ thị với trục tung (0;-2)
Gía trị đặc biệt
x= -2 => y=6
x= 2=> y=6
-2
0
x
y
2
-2
6
VD 4 .Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= -x4 +2x2 +2
2
x
y
0