I.Sơ đồ khảo sát hàm số
1, Tìm TXĐ của hàm số
(Xét tính chẵn lẻ,tính tuần hoàn nếu có )
2, Khảo sát sự biến thiên của hàm số
a, Xét chiều biến thiên của hàm số
* Tính đạo hàm
* Tìm các điểm tới hạn
* Xét dấu của đạo hàm
* Suy ra chiều biến thiên của hàm số
b, Tính các cực trị
c, Tìm các giới hạn của hàm số
* Khi x dần tới vô cực
* Khi x dần tới,bên trái và bên phải , các giá trị của x
tại đó hàm số không xác định
* Tìm các tiệm cận (nếu có )

d)Xét tính lồi, lõm ,và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
* Tính đạo hàm cấp 2
* Xét dấu của đạo hàm cấp2
* Suy ra tính lồi , lõm và điểm uốn của đồ thị
e) Lập bảng biến thiên
*ghi tất cả các kết quả đã tìm được vào
bảng biến thiên
3 ) Vẽ đồ thị
* Giao với các trục toạ độ
* Các điểm đặc biệt (điểm cực trị , điểm uốn ...)
* Chính xác hoá đồ thị
* Vẽ đồ thị
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-?;-1) ? (-1; +?)
III. Một số hàm phân thức

1)Hàm số: y =
(c ? 0 , D = ad -cb ? 0)
Bài giải:
1)Tập xác định:
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số:
y =
D = R ? -1?
2)Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên
y` =
(-1)(x+1)-(-x+2)
(x+1)2
=
-x-1+x-2
(x+1)2
=
-3
(x+1)2
< 0 ?x ? -1 ?
b)Cực trị
Hàm số không có cực trị
c)Giới hạn

lim y
x?(-1)-
lim
= -?.
=
x?(-1)-
lim y
x?(-1)+
lim
= +?.
=
x?(-1)+
?x = -1 là tiệm cận đứng
lim y
x? ?
lim
=-1
=
x? ?
?y = -1 là tiệm cận ngang
e, Bảng biến thiên:
x
-?
+?
y`
y
-1
-
-
3 )Đồ thị
Giao với trục o x: y = 0 ? x=2 Giao với trục o y: x = 0 ?y =2
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-1;-1) làm tâm đối xứng
Vẽ đồ thị :

Hàm số đồng biến trên khoảng (-?;-2) ? (-2; +?)
III. Một số hàm phân thức

1)Hàm số: y =
(c ? 0 , D = ad -cb ? 0)
Bài giải:
1)Tập xác định:
D = R ? -2?
2)Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên
y` =
(x+2)-(x-3)
(x+2)2
=
x+2-x+3
(x+2)2
=
5
(x+2)2
> 0 ?x ? -2 ?
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số:
y =
b)Cực trị
Hàm số không có cực trị
c)Giới hạn

lim y
x?(-2)-
lim
= +?
=
x?(-1)-
lim y
x?(-2)+
lim
= -?
=
x?(-1)+
?x = -2 là tiệm cận đứng
lim y
x??
lim
=1
=
x??
?y = 1 là tiệm cận ngang
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số:
y =
e, Bảng biến thiên:
x
-?
+?
y`
y
-1
+
+
3 )Đồ thị
Giao với trục o x: y = 0 ? x=3 Giao với trục o y: x = 0 ?y =-3/2
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-2;1) làm tâm đối xứng
Vẽ đồ thị :

dáng điệu đồ thị hàm số y = ax 3 + bx2 + cx + d (a ? 0)
y` = 0 có hai nhgiệm phân biệt
a > 0
a < 0
y` = 0 có hai
nghiệm phân biệt
y` = 0 có
nghiệm kép
y` = 0 vô nghiệm
a > 0
a < 0
Bài3:
Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 - 4 (đồ thị là Cm)
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x3 +3x2 - 4 = m
c)Với giá trị nào của m phương trình
mx3 + 3mx2 + 4= 0
có 3 nghiệm phân biệt

y
x
0
2
3
4