Tiết 18
Đ Khoảng cách và góc
Soạn và giảng: Lại Thu Hằng
GV Toán - Trường THPT Chuyên Bắc Giang
Hỏi:
1)Cho đường thẳng ? và điểm M, hãy xác định khoảng cách d(M; ?) từ M đến ? ?
2) Bài toán1: Trong hệ toạ độ Oxy cho M(xM;yM) và ? :
ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) . Hãy tính d(M; ?) ?
Cách 1: +) Tìm toạ độ điểm H
+) Tính đoạn MH. Độ dài đoạn MH là khoảng cách từ M tới ?.
Cách 2: Dùng bất đẳng thức : MH = min {MA | A? ?}
+) MH ? MA (với A là điểm bất kỳ trên ?) ? MH2 ? MA2.
+) Tìm GTNN của MA2.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Hạ MH ? ?, H ?? ? d(M; ?) = MH.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Lời giải:
I.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
1) Công thức tính khoảng cách.
Lời giải:
I.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
1) Công thức tính khoảng cách.
Cách 2: Nhận thấy M thuộc ?2 ( ứng với t = 1) nên d(M; ?2) = 0.



Nhận xét:
Nếu đường thẳng có phương trình tham số thì khi tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng phải chuyển phương trình đường thẳng về phương trình tổng quát rồi áp dụng công thức.
M? ? ? d(M; ?) = 0.
I.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
1) Công thức tính khoảng cách.
Ví dụ 2:
Cho hai đường thẳng ?1: ax + by + c = 0 và ?2 : ax + by + c1 = 0 với ( a2 + b2 ? 0 và c ? c1). Tính khoảng cách giữa ?1, ?2 .
Lời giải:
Lấy điểm M(xM;yM) ? ?1 ta có: axM + byM + c = 0 ? axM + byM = - c . (1)
Khoảng cách giữa ?1, ?2 là
d(?1, ?2 ) = d(M, ?2 ) =
I.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
1) Công thức tính khoảng cách.
Cho 2 điểm M1, M2 phân biệt không nằm trên đường thẳng ?. Đường thẳng ? chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng. Có những khả năng nào xảy ra đối với vị trí của 2 điểm M1,M2?
Khi nào M1, M2 nằm cùng phía?
I.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
2)Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng
Bài toán 2: Cho đường thẳng ? : ax + by + c = 0 ( a2 + b2 > 0) (1)
Cho 2 điểm M1(x1; y1) , M2(x2; y2) phân biệt nằm trên ? và M1M2 không song song với ?. Hãy tìm điều kiện cần và đủ để M1, M2
Nằm về cùng phía của ?.
Nằm về 2 phía của ?.
Nhận xét :Đặt f(x;y) = ax + by + c: = f(M)
Nếu M1 ? M2 thì f(M1) = f(M2) ? k > 0 .
Nếu M1M2 // ? thì đường thẳng M1M2 phương trình ax + by + c1 = 0 (c? c1) Ta có ax1 + by1 + c1 = 0 ? f( M1) = ax1 + by1 + c = c - c1= f (M2)
? k > 0.
I.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
2)Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng
Kết luận:
Cho đường thẳng ? : ax + by + c = 0 và 2 điểm M1, M2 không nằm trên ? . Khi đó:
1) M1, M2 nằm về cùng phía với ? ? f(M1) f(M2) > 0 .
2) M1, M2 nằm về 2 phía với ? ? f(M1) f(M2) < 0 .
Lời giải:
I.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
2)Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng
Ví dụ3: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1;0), B(2;-3), C(-2;4) và đường thẳng ? : x - 2y + 1 = 0.
1)Xét xem đường thẳng ? cắt cạnh nào của tam giác.
2) Tính diện tích tam giác ABC.
1) Đặt f(x;y) = x - 2y + 1.
ta có f(1;0) = 1 - 2. 0 + 1 = 2,
f(2;-3) = 2 - 2(-3) + 1 =9, f(-2;4) = (-2) - 2.4 + 1 = -9.
Vì f(1;0).f(2;-3) > 0 nên A, B là 2 điểm nằm cùng một phía đối với ? suy ra ? không cắt cạnh AB.
f(1;0).f(-2;4) = -18 < 0 nên A, C là 2 điểm nằm về 2 phía đối với ? suy ra ? cắt cạnh AC.
f(2;-3).f(-2;4) = -81 < 0 nên B, C là 2 điểm nằm về 2phía đối với ? suy ra ? cắt cạnh BC.
2) Ta có:
I.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
2)Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng
Lời giải:
Củng cố
Cho đường thẳng ? : ax + by + c = 0 và điểm M(xM; yM).
1) Khoảng cách từ M tới ? là d(M; ?) =
2) M, N nằm cùng phía đối với ? ? (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0 .
3) M, N nằm khác phía đối với ? ? (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0 .
Bài tập
Cho ba điểm A(3 ; 0), B(-5 ; 4), P(10 ; 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B.