CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Một người lái xe từ địa
điểm A đến địa điểm B
trong thời gian 3 giờ. Biết
quãng đường từ A đến B dài
180 km. Chứng tỏ rằng có ít
nhất một thời điểm trên
hành trình, xe chạy với vận
tốc 60 km/h.

CHƯƠNG V. GIỚI HẠN.
HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 17:
HÀM SỐ LIÊN TỤC
TOÁN 11-KNTT

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

2

HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

3

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

VIDEO 4

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
ĐÔI

TOÁN 12-

VIDEO 5

HĐ 1
Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cho hàm số 
Tính giới hạn  và so sánh giá trị này với .

Trả lời:
Ta có
Vậy .

KHÁI NIỆM
Cho hàm số xác định trên khoảng chứa điểm . Hàm số
được gọi là liên tục tại điểm nếu .

Hàm số không liên tục tị được gọi là gián đoạn tại điểm
đó.

Ví dụ 1
𝑥 +1
Xét tính liên tục của hàm số 𝑓 ( 𝑥 )= 𝑥 −1tại điểm

Giải:
Rõ ràng hàm số xác định trên , do đó thuộc tập xác định của hàm
số.
Ta có
Vậy hàm số liên tục tại .

Ví dụ 2
tại điểm

Xét tính liên tục của hàm dấu

Giải:
Ta thấy Do đó không tồn tại giới hạn
Vậy hàm số này gián đoạn tại 0.

Chú ý
Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi:

LUYỆN TẬP 1
tại điểm

Xét tính liên tục của hàm số

Giải:
Ta có:

Do đó hàm số liên tục tại .

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC
TRÊN MỘT KHOẢNG

HĐ2
Cho hai hàm số

và  

với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.

HĐ2
Trả
Hàmlời:
số
Hàm số xác định trên , do đó thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có:
Suy ra , do đó
Mà nên
Vậy hàm số liên tục tại

HĐ2
Hàmlời:
số
Trả

Hàm số xác định trên , do đó thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có:
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số tại , do đó hàm số gián đoạn tại
Quan sát hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số là đường liền trên , còn đồ thị của
hàm số trên là các đoạn rời nhau.

KHÁI NIỆM
- Hàm số được gọi là liên tục trên khoảng nếu nó liên tục
tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số được gọi là liên tục trên đoạn nếu nó liên tục
trên khoảng và
.
Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như
được định nghĩa theo cách tương tự.

Ví dụ 3
Xét tính liên tục của hàm số trên nửa khoảng .

Giải:
Ta có với . Với bất kì, ta có

Vậy hàm số liên tục trên khoảng
Hơn nữa nên liên tục trên nửa khoảng .

Tính liên tục của một số hàm sơ cấp đã biết
 Hàm số đa thức và các hàm số ; liên tục trên .
 Các hàm số và hàm phân thức hữu tỉ (thương của
hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ 4
𝑥 +1
Cho hàm số 𝑓 ( 𝑥 )= 𝑥 −1

.Tìm các khoảng trên

đó hàm số liên tục.
Giải:
Tập xác định của hàm số là .
Vậy hàm số liên tục tên các khoảng và .

LUYỆN TẬP 2
2

𝑥 +1
Tìm các khoảng trên đó hàm 𝑓
số ( 𝑥 ) = 𝑥 +2
liên tục.

Giải:
Ta thấy hàm số là một hàm phân thức hữu tỉ. Vậy hàm số
này liên tục trên các khoảng tập xác định của chúng: và .

1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

HĐ 3
Cho hai hàm số và .
a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại .
b) Tính và so sánh với

Trả lời:
a) Hàm số và là các hàm đa thức nên nó liên tục trên . Do đó, hai hàm số và
đều liên tục tại .
b) Ta có:
Do đó:
Lại có, , do đó
Vậy .

Ví dụ 5

sin 𝑥
(
)
𝑓
𝑥
=
Xét tính liên tục của hàm số
𝑥 −1
Giải:
Hàm số xác định trên các khoảng và . Trên các khoảng
này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa
thức) là các hàm số liên tục.
Do đó, hàm số liên tục trên .

y

TÍNH CHẤT

A
C

A
X

Giả sử hai hàm số và liên tục tại điểm . Khi đó:
a) Các hàm số và liên tục tại ;
b) Hàm số liên tục tại nếu .

B

A

B

C

NHẬN XÉT
Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm
sao cho
Minh họa:

Ví dụ 6
Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm.

Giải:
Xét hàm số . Ta có và vì là hàm đa thức nên nó liên tục trên .
Khi đó, phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng .

VẬN DỤNG
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Giải:

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là
Gọi là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.
Tại thời điểm xuất phát , vận tốc của xe nên có một thời điểm xe chạy với vận tốc
Xét hàm số , rõ ràng là hàm số liên tục trên đoạn
Ta có: (do .
để
.

TỔNG KẾT VÀ TRAO THƯỞNG

LUYỆN TẬP

Bài 5.14 (SGK – tr.122)
Cho và là các hàm số liên tục tại . Biết và . Tính .

Giải:
Vì hàm số liên tục tại nên hàm số cũng liên tục tại
Mà hàm số liên tục tại . Do đó, hàm số liên tục tại
Vì và nên ta có:

Bài 5.15 (SGK – tr.122)
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

{

2
𝑥
a ¿ 𝑓 ( 𝑥 )= 2
; 𝑏 ¿ 𝑓 ( 𝑥 )= 1+ 𝑥 𝑛 ế 𝑢 𝑥<1
𝑥 +5 𝑥+ 6
4− 𝑥𝑛ế 𝑢 𝑥≥ 1

Giải:
a) Tập xác định của hàm số là . Do là hàm phân thức hữu tỉ nên
nó liên tục trên .
b) Hàm số xác định trên và liên tục trên các khoảng và
Xét tại điểm , ta thấy
Vậy hàm số gián đoạn tại

VẬN DỤNG

Bài 5.16 (SGK – tr.122)
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
liên tục trên .

Giải:

Hàm số xác định trên và liên tục trên các khoảng và .
Do đó liên tục trên nếu nó liên tục tại . Ta có :

Vậy hàm số liên tục tại tại khi và chỉ khi .

Bài 5.17 (SGK – tr.122)
Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
Giá mở cửa
(0,5 km đầu)

Giá cước các km tiếp
theo đến 30 km

Giá cước từ km thứ 31

10 000 đồng

13 500 đồng

11 000 đồng

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng
đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

Bài 5.17 (SGK – tr.122)
Giải:

a) Kí hiệu là số tiền phải trả theo quãng đường di chuyển (tính theo ). Ta thấy:
 Với
 Với
 Với .
b)
 Với thì là hàm hằng liên tục trên .
 Với thì là hàm đa thức liên tục trên .
 Với thì là hàm đa thức nên nó liên tục trên .

Tại

Bài 5.17 (SGK – tr.122)
Giải:

liên tục tại .
Tại

liên tục tại
Vậy hàm số liên tục trên .

Kính chúc quý thầy cô nhiều sức khỏe
Chúc các em chăm ngoan, học giỏi