CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng kì hạn 12
tháng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Khi đó sau năm
gửi thì tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi
công thức sau:
(triệu đồng).
Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được
là không dưới 150 triệu đồng?
Làm thế nào để tính được thời gian gửi của bác An để bác nhận
được 150 triệu đồng?

CHƯƠNG VI: HÀM SỐ MŨ
VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

BÀI 19. LÔGARIT

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

KHÁI NIỆM LÔGARIT

2

TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT

3

LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ
LÔGARIT TỰ NHIÊN

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

VIDEO 4

²=
b
+
²
a
c²

1. KHÁI NIỆM LOGAIRT

y=
mx+b

HĐ1
Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ1.
Tìm biết

1
𝑏¿2 =
4

𝑥

𝑎¿ 2 =8
𝑥

⇔ 2 =2

⇔𝑥=3

𝑐 ¿ 2 = √2
𝑥

𝑥

3

𝑥

⇔ 2 =2

−2

⇔ 𝑥=− 2

𝑥

⇔ 2 =2

1
⇔ 𝑥=
2

1
2

N
Ậ
U
L
T
Ế
K
Cho là một số thực dương khác 1 và
là một số thực dương. Số thực để
được gọi là lôgarit cơ số của và kí
hiệu là

VIDEO 5

* CHÚ Ý:
-

Không có lôgarit của số âm và số 0.

-

Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1.

TÍNH CHẤT
Với và là số thực tùy ý, ta có:

Ví dụ 1
Tính

Giải:

1
−3
a ¿ log 2 =log 2 2 =− 3
8
4

b¿ log√ 3 9=log √ 3 ( √ 3 ) =4

LUYỆN TẬP 1
Tính

Giải:
3
2

3
a ¿ log 3 3 √ 3=log 3 3 =
2

()

−5

1
b¿ log 1 32=log 1 ⁡ =−5
2
2
2

2. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT

a) Quy tắc tính lôgarit
HĐ2
Nhận biết quy tắc tính lôgarit
Cho . Tính và so sánh:
a) và ;
b)  và .

Giải:
a) ;

a) Quy tắc tính lôgarit
HĐ2
Nhận biết quy tắc tính lôgarit
Cho . Tính và so sánh:
a) và ;
b)  và .

Giải:
b)

KẾT LUẬN
Giả sử là số thực dương khác 1, là các số thực
dương, là số thực tùy ý. Khi đó:

Ví dụ 2
Tính giá trị của các biểu thức sau

Giải:

3

𝑎¿log42+log432=log4 (2.32)=log464=log44 =3log44=3
80
4
𝑏¿log280−log25=log2 =log216=log22 =4log22=4
5

LUYỆN TẬP 2
Rút gọn biểu thức:
3
2
Giải:
3
2

𝐴=log ( 𝑥 − 𝑥 ) −log 2 ( 𝑥+1 ) − log2 ( 𝑥−1 )  (𝑥>1)

𝐴=log ( 𝑥 − 𝑥 ) −log 2 ( 𝑥+1 ) − log2 ( 𝑥−1 )  (𝑥>1)

b) Đổi cơ số của lôgarit

HĐ3
Xây dựng công thức đổi cơ số của lôgarit
Giả sử đã cho và ta muốn tính . Để tìm mối liên hệ giữa và , hãy
thực hiện các yêu cầu sau:
a) Đặt , tính theo ;
b) Lấy lôgarit theo cơ số cả hai vế của kết quả nhận được trong
câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính .

b) Đổi cơ số của lôgarit

HĐ3
Xây dựng công thức đổi cơ số của lôgarit
Giải:
a)
b) Lấy lôgarit theo cơ số cả hai vế của ta được

KẾT LUẬN
Với các cơ số lôgarit và và là số thực
dương tùy ý, ta luôn có:

Ví dụ 3
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính
Giải:
Ta có:

3

log 2 8 log 2 2 3
log 4 8=
=
=
2
log2 4 log 2 2 2

Ví dụ 4
Chứng minh rằng
a) Nếu và là hai số dương khác 1 thì
b) Nếu là số dương khác 1, là số dương và , thì

Giải:
a) Theo công thức đổi cơ số, ta có:
b) Theo công thức đổi cơ số, ta có:

LUYỆN TẬP 3
1
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính log 9 27
Giải:
1
log 3
1
27
3
log 9
=
=−
27
log 3 9
2

3. LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ
LÔGARIT TỰ NHIÊN

a) Lôgarit thập phân
Lôgarit cơ số 10 của một số dương
gọi là lôgarit thập phân của , kí hiệu là
hoặc (đọc là lốc của ).

Ví dụ 5
Độ của một dung dịch hoá học được tính theo công thức:
trong đó là nồng độ (tính theo mol/lít) của các ion hydrogen. Giá trị nằm trong
khoảng từ đến . Nếu thì dung dịch có tính acid, nếu thì dung dịch có tính base, còn
nếu thì dung dịch là trung tính.
a) Tính độ của dung dịch có nồng độ ion hydrogen bằng .
b) Xác định nồng độ ion hydrogen của một dung dịch có độ bằng .

Giải:
a) Khi , ta có: .
b) Nồng độ ion hydrogen trong dung dịch đó là

b) Số e và lôgarit tự nhiên
Bài toán lãi kép liên tục và số
Ta đã biết: Nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là theo
thể thức lãi kép với lãi suất hằng năm không đổi là và chia mỗi
năm thành kì tính lãi thì sau năm (tức là sau kì) số tiền thu
được (cả vốn lẫn lãi) là

b) Số e và lôgarit tự nhiên
Bài toán lãi kép liên tục và số
Nếu kì tính lãi được chia càng ngày càng nhỏ, tức là tính lãi hằng ngày,
hằng giờ, hằng phút, hằng giây,... thì dẫn đến việc tính giới hạn của dãy
số , khi . Ta có:

(

𝑟
𝐴 𝑚= 𝑃 1+
𝑚

)

𝑡𝑚

=𝑃

[( ) ]
1
1+
𝑚
𝑟

Để tính giới hạn , ta cần xét giới hạn
Một cách tổng quát, ta xét giới hạn

𝑚 𝑡𝑟
𝑟

b) Số e và lôgarit tự nhiên
Bài toán lãi kép liên tục và số
Người ta chứng minh được giới hạn trên tồn tại, nó là một số vô tỉ có giá trị bằng
2,718281828... và kí hiệu là . Vậy
Từ các kết quả trên suy ra
Thể thức tính lãi khi theo cách trên gọi là thể thức lãi kép liên tục.
Như vậy, với số vốn ban đầu là , theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất hằng
năm không đổi là thì sau năm, số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sẽ là
Công thức trên gọi là công thức lãi kép liên tục.

Lôgarit tự nhiên
Lôgarit cơ số e của một số dương 𝑀 gọi là
lôgarit tự nhiên của 𝑀, kí hiệu là ln 𝑀
(đọc là lôgarit Nêpe của 𝑀)

Ví dụ 6
Biết thời gian cần thiết (tính theo năm) để tăng gấp đôi số tiền đầu tư theo
thể thức lãi kép liên tục với lãi suất không đổi mỗi năm được cho bởi công
thức sau:
Tính thời gian cần thiết để tăng gấp đôi một khoản đầu tư khi lãi suất là 6%
mỗi năm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải:
Ta có . Do đó thời gian cần thiết để tăng gấp đôi khoản đầu tư là

𝑙𝑛 2 𝑙𝑛2
𝑡=
=
=11,6 (𝑛 ă 𝑚)
𝑟
0,06

c) Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay
Có thể dùng máy tính cầm tay để tính lôgarit của một số dương

Ví dụ 7
Giải:

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Ta có:
Với ta có: hay , tức là
Vì gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng (tức là 1 năm) nên phải là
số nguyên. Do đó ta chọn
Vậy sau ít nhất 7 năm thì bác An nhận được số tiền ít nhất
là 150 triệu đồng.

Б

VẬN DỤNG

Б

Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm.
a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất
được tính theo một trong các thể thức sau:
- Lãi kép kì hạn 12 tháng;
- Lãi kép kì hạn 1 tháng;
- Lãi kép liên tục.
b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là
150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến
chữ số thập phân thứ nhất).

Π

Б

Giải:

VẬN DỤNG

Б

a) Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi
suất được tính theo lãi kép kì hạn 12 tháng là:
Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất
được tính theo lãi kép kì hạn 1 tháng là:

Π

Б

Giải:

VẬN DỤNG

Б

Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi
suất được tính theo lãi kép liên tục
b) Vì cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng
nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục nên ta có

Vậy thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền theo yêu
cầu đề bài là khoảng 6,8 năm.

Π

TỔNG KẾT VÀ TRAO THƯỞNG

LUYỆN TẬP

Bài tập 6.9 (SGK-tr14)
Tính:
a)
b)
c)
d)

¿−13
¿√2

16
¿log 8 ⁡ =log 8 ⁡8=1
2 3
¿log 2 8=log2 2 =3

Bài tập 6.10 (SGK-tr14)
Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức
(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

( ) ( )

𝑥
𝑥+ 1
2
𝑎¿ 𝐴=ln
+ ln
ln ( 𝑥 −1 )
𝑥 +1
𝑥
2
(
𝑏 ¿ 𝐵=21 log 3 √ 𝑥 + log 3 9 𝑥 ) − log 3 9
3

Giải:

𝑥 ( 𝑥+1 )

𝑥 ( 𝑥+1 )
1
𝑎¿ 𝐴=ln
=ln
=ln
⁡
2
¿¿
( 𝑥 −1 ) 𝑥 ( 𝑥 −1 ) ( 𝑥 −1 ) 𝑥 ( 𝑥 −1 )( 𝑥−1 )

Bài tập 6.10 (SGK-tr14)
Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức
(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

( ) ( )

𝑥
𝑥+ 1
2
𝑎¿ 𝐴=ln
+ ln
ln ( 𝑥 −1 )
𝑥 +1
𝑥
2
(
𝑏 ¿ 𝐵=21 log 3 √ 𝑥 + log 3 9 𝑥 ) − log 3 9
3

Giải:

7

2

𝑥 ⋅9 𝑥
9
𝑏¿ 𝐵=log3 𝑥 +log3 ⁡( 9𝑥 ) −log3 9=log 3
=log3 𝑥 =9log3 𝑥
9
7

2