CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Ta có thể gắn cho mỗi vị trí
trên Trái Đất một cặp số,
được gọi là vĩ độ và kinh độ.
Mỗi vị trí trên Trái Đất hoàn
toàn xác định khi biết vĩ độ
và kinh độ của nó. Sau bài
học này, ta có thể hiểu và
diễn đạt chính xác khái niệm
đó.

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ
VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 25: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

VIDEO 3

z

NỘI DUNG BÀI HỌC
y

x

1

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

2

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

3

TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

4
5
A
I

6

GÓC NHỊ DIỆN
MỘT SỐ HÌNH LĂNG TRỤ ĐẶC BIỆT
HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

y

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

VIDEO 4

1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI
MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ 1
Cho hai mặt phẳng và . Lấy hai đường thẳng cùng vuông góc với , hai
đường thẳng cùng vuông góc với . Tìm mối quan hệ giữa các góc và
Giải:
Vì và cùng vuông góc với
nên chúng song song hoặc
trùng nhau.
Tương tự, và song song hoặc
trùng nhau.
Vậy

VIDEO 5

KẾT LUẬN
•

Cho hai mặt phẳng và Lấy các đường thẳng tương
ứng vuông góc với . Khi đó góc giữa và không phụ
thuộc vào vị trí của và được gọi là góc giữa hai mặt
phẳng và (Q).

•

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với
nhau nếu góc giữa chúng bằng .

Chú ý: Nếu là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
thì .

CÂU HỎI
 Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi nào,
khác 0° khi nào?

Trả lời:
Xét hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai
mặt phẳng .
Khi đó góc giữa khi và chỉ khi , hay a và b song
song hoặc trùng nhau.

Ví dụ 1
Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến .
Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng . Gọi là các đường thẳng đi qua , tương ứng
thuộc và vuông góc với . Chứng minh rằng góc giữa và bằng góc giữa và .

Giải:
Trong mặt phẳng chứa lấy một điểm không
thuộc các đường thẳng .
Gọi tương ứng là hình chiếu của trên .
Khi đó vuông góc với các đường thẳng .
Do , nên
Tương tự,
Do đó, góc giữa và bằng góc giữa và .

Ví dụ 1
Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến .
Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng . Gọi là các đường thẳng đi qua , tương ứng
thuộc và vuông góc với . Chứng minh rằng góc giữa và bằng góc giữa và .

Giải:
Do nên bốn điểm thuộc một đường tròn.
Do đó, và bằng hoặc bù nhau, tức là
Vậy góc giữa và bằng góc giữa và

Nhận xét

tại O; tại O
Khi đó
Đặc biệt,
khi và chỉ khi

Luyện tập 1
Cho hình chóp , đáy là một hình chữ nhật có tâm Chứng minh rằng hai mặt
phẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi là một hình vuông.

Giải:
Gọi là giao điểm của và .
Vì và
((
Do đó
là hình vuông.

2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ 2
Cho mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Lấy một đường
thẳng vuông góc với (H.7.47).
a) Tính góc giữa và .
b) Tính góc giữa và

Giải:

a) Vì và nên .
Vậy .
b) Do và tương ứng vuông góc với
và .
Do đó, .

KẾT LUẬN

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu
mặt phẳng này chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ 2
Cho tứ diện có vuông góc với và . Chứng minh rằng
các mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng

Giải:
Do vuông góc với và nên
Mặt khác, các mặt phẳng chứa .
Do đó chúng cùng vuông góc với mặt phẳng

3. TÍNH CHẤT CỦA
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ 3
Cho hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng thuộc và
vuông góc với giao tuyến của và Gọi là giao điểm của và . Trong mặt
phẳng , gọi là đường thẳng vuông góc với tại .
a) Tính góc giữa và .
b) Tìm mối quan hệ giữa và

Giải:
a)
Mà (Q) .
b) Vì , nên .

KẾT LUẬN
Với hai mặt phằng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng
nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến
cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Nhận xét:
Cho Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc và vuông góc
với mặt phẳng thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng .

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
ĐÔI

TOÁN 12-

Б

HĐ 4

Б

Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến và cùng vuông góc với mặt phẳng .
Gọi là một điểm thuộc và là đường thẳng qua và vuông góc với .
a) Hỏi có nằm trong các mặt phẳng hay không?
b) Tìm mối quan hệ giữa và
c) Tìm mối quan hệ giữa và

Giải:

a) Do và đường thẳng đi qua vuông
góc với nên . Tương tự, .
b) Do

và nên

c) Do trùng nên .

KẾT LUẬN
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng
vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba đó.

Ví dụ 3
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và
Gọi tương ứng là hình chiếu của trên . Chứng minh rằng:
a)
b) Các điểm cùng thuộc một mặt phẳng

Giải:
a) Vì và nên .
Do đó,
Đường thẳng thuộc và vuông góc với nên
Tương tự

Ví dụ 3
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và
Gọi tương ứng là hình chiếu của trên . Chứng minh rằng:
a)
b) Các điểm cùng thuộc một mặt phẳng

Giải:
a) Vì và nên .
Do đó,
Đường thẳng thuộc và vuông góc với nên
Tương tự

LUYỆN TẬP 3
Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:
a) Các mặt phẳng và cùng vuông góc với
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng đi qua , nằm trong mặt
phẳng và vuông góc với .

Giải:
a) Vì ,
Vì

b) Ta có:
Lại có
.

²=
b
+
²
a
c²

4. GÓC NHỊ DIỆN

y=
mx+b

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
ĐÔI

TOÁN 12-

HĐ 5
Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo
với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong hình 7.51, các tia
được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao
tuyến của mặt ghế và lưng ghế.
a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình
nên có số đo từ 100° đến 105°.
b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc
giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng
chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu
đến bao nhiêu độ?

HĐ 5
Giải:
a) Góc nên có số đo từ đến
b) Góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và
mặt phẳng chứa lưng ghế bằng góc giữa
hai đường thẳng tương ứng chứa
Vì nên góc giữa hai đường thẳng tương
ứng chứa có thể nhận số đo từ đến .
Vậy góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và
mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số
đo từ đến .

KẾT LUẬN
Hình gồm hai nửa mặt phằng có chung bờ được gọi là
một góc nhi diện, kí hiệu là . Đường thẳng và các nửa mặt
phẳng tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị
diện đó.

KẾT LUẬN
Từ một điểm bất kì thuộc cạnh của góc nhị diện , vẽ các
tia tương ứng thuộc và vuông góc với . Góc được gọi là
một góc phẳng của góc nhị diện (gọi tắt là góc phẳng nhị
diện). Số đo của góc không phụ thuộc vào vị trí của trên ,
được gọi là số đo của góc nhị diện .

CHÚ Ý
• Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá tị từ đến Góc
nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo
tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn .
• Đối với hai điểm không thuộc đường thẳng ta kí hiệu là
góc nhị diện có cạnh và các mặt tương ứng chứa
• Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu
một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì
các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.

Ví dụ 4
Cho hình chóp có đáy là hình thoi có cạnh bằng , . Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình
thoi và là hình chiếu của trên .
a) Tính số đo của các góc nhị diện
b) Chứng minh rằng là một góc phẳng của góc nhị diện

Giải:

a) Vì nên và
vuông góc với .
Vậy là một góc phẳng của góc nhị diện .
Hình thoi có cạnh bằng và nên các tam giác đều.
Do đó
Vậy số đo của góc nhị diện bằng

Ví dụ 4
Giải:

Vìvà nên .
Vậy và vuông góc với .
Suy ra là một góc phẳng của góc nhị và là một góc
phẳng của góc nhị diện
Tam giác vuông tại và có nên . Suy ra
Vậy các góc nhị diện tương ứng có số đo là

b) Theo chứng minh trên, nên .
Mặt khác, nên
Do đó, là một góc phẳng của góc nhị diện

LUYỆN TẬP 4
Cho hình chóp có
. Gọi là trung điểm của
a) Chứng minh rằng  là một góc phẳng của góc nhị diện
b) Tính số đo của góc nhị diện

Giải:
a) là một góc phẳng
b)
.

nhị diện ].

VẬN DỤNG 1
Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường
kính , bản lề được đính ở điểm chính giữa của các cung tròn khung và cánh
cửa.
Khi cửa mở, đường kính của khung và
đường kính của cánh song song với nhau
và cách nhau một khoảng ; khi cửa đóng,
hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số
đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng
tương ứng chứa cánh, khung cửa khi .

Giải:
•
•

•

VẬN DỤNG 1

Gọi lần lượt là tâm của nửa hình tròn khung cửa và nửa hình tròn
cánh cửa.
Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song
song với nhau, do đó chúng cũng song song với giao tuyến (qua )
của hai mặt phẳng tương ứng chứa khung và cánh cửa.
Vì là điểm chính giữa của các cung tròn khung cửa và cánh cửa
nên vuông góc với đường kính khung cửa, vuông góc với đường
kính cánh cửa.

là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện có hai cạnh tương ứng
chứa cánh và khung cửa.

Giải:
•

VẬN DỤNG 1

Ta có nên .

Vậy cũng vuông góc với các đường kính cánh cửa và khung cửa.
Do đó .
Mặt khác , suy ra tam giác đều và .
Vậy để khoảng cách

giữa đường kính cánh của và đường kính

khung cửa bằng 40 cm thì góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa
cánh và khung cửa có số đo là

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI
Em hãy sử dụng Chatbot AI
(ChatGPT/Gemini) với câu
lệnh: “Góc nhị diện (dihedral
angle) có ứng dụng gì trong kĩ
thuật hàng không, cơ khí hoặc
hóa học? Hãy nêu một ví dụ
ngắn gọn.”

Kinh độ và vĩ độ
- Hình ảnh các kinh tuyến và vĩ tuyến

E=2
mc

r
0

A=
πr²
0

x

E = mc2

- Kinh độ của điểm trên Trái Đất là: số đo của góc nhị diện có
hai cạnh tương ứng chứa kinh tuyến gốc và kinh tuyến đi qua
(cạnh của góc nhị diện này là trục Trái Đất).
r
0

A=
πr²

- Vĩ độ của điểm trên
Trái Đất là: số đo của
góc giữa mặt phẳng
chứa đường xích đạo
và đường thẳng nối với
tâm Trái Đất.

0

x