CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Các đầu phun nước chữa cháy sprinkler cần được lắp đặt theo tiêu
chuẩn kĩ thuật, trong đó có tiêu chuẩn về khoảng cách tới từng loại
trần, tường, nhà.
Khoảng cách từ đầu phun
nước chữa cháy đến mặt đất
có thể tính như thế nào?
Khoảng cách từ trần nhà đến
mặt đất được tính như thế nào?

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ
VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 26. KHOẢNG CÁCH

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC

1
2

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT
ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG,
GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

3

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

VIDEO 4

1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT
ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

HĐ1
a) Cho điểm và đường thẳng . Gọi là hình chiếu của trên . Với mỗi
điểm thuộc , giải thích vì sao (H.7.74).
b) Cho điểm và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu của lên Với mỗi điểm
thuộc , giải thích vì sao (H7.75).

HĐ1
Giải:

a) Xét tam giác vuông tại H nên .
Vậy
b) Tương tự câu a, sử dụng tính chất cạnh huyền và cạnh góc vuông ta có:

VIDEO 5

KẾT LUẬN
•

Khoảng cách từ một điềm đến một đường thẳng , kí
hiệu là khoảng cách giữa và hình chiếu của trên .

•

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , kí hiệu ,
là khoảng cách giữa và hình chiếu của trên .

Chú ý:

NHẬN XÉT
Khoảng cách từ đến đường thẳng (mặt phẳng là
khoảng cách nhỏ nhất giữa và một điểm thuộc (thuộc
).

CHÚ Ý
Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy
của hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp
đó.

VÍ DỤ 1
Cho hình chóp đều . Biết độ dài cạnh đáy, cạnh bên tương ứng bằng Tính
chiều cao của hình chóp.

Giải:

Hình chiếu của trên mặt phẳng là tâm
của tam giác đều .
Trong tam giác đều , ta có
Trong tam giác vuông , ta có

Vậy chiều cao của hình chóp là

Luyện tập 1
Cho hình lăng trụ đứng có là tam giác vuông cân tại (H.7.77).
a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
b) Tam giác là tam giác gì? Tính khoảng cách từ đến

Giải:
a) Kẻ tại

Luyện tập 1

Giải:
b) vuông tại .

Kẻ vuông góc với tại
Ta có:

2. KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
SONG SONG, GIỮA HAI MẶT
PHẲNG SONG SONG

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI

HĐ2
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Lấy hai điểm bất kỳ thuộc và gọi
tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (H.7.78). Giải thích vì sao là một hình
chữ nhật và có cùng khoảng cách đến

Ta có:

Giải:

// .
// nên mặt phẳng cắt theo giao
tuyến //.
Mặt khác .
Do đó là một hình chữ nhật.
Vì nên và có cùng khoảng cách đến .

N
Ậ
U
L
KẾT

Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song với kí hiệu là
khoảng cách từ một điểm bất kì trên
đến

HĐ3
a) Cho hai đường thẳng và song song với nhau. Khi một
điểm thay đổi trên thì khoảng cách từ nó đến đường
thẳng có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song và và một điểm thay
đổi trên (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ đến thay đổi thế
nào khi thay đổi?

Giải:
a) Khi một điểm  thay đổi trên đường thẳng , khoảng cách từ  đến đường
thẳng  không thay đổi vì .
b) Vì nên các đường thẳng trên mặt đều song song với
Dựa vào kết quả của hoạt động 2 ta có khi một điểm  thay đổi trên mặt
phẳng , khoảng cách từ  đến mặt phẳng  không thay đổi. 

KẾT LUẬN
•

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và , kí
hiệu , là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.

•

Khoảng cách giữa hai đường đường thẳng song
song và

kí hiệu là khoảng cách từ một điểm

thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

CÂU HỎI
Nếu đường thẳng thuộc mặt phẳng và mặt phẳng song song
với thì giữa và có mối quan hệ gì?

Trả lời:
Lấy
•

// nên

•

nên

CHÚ Ý

Khoảng cách giữa hai đáy của một hình
lăng trụ được gọi là chiều cao của hình
lăng trụ đó.

VÍ DỤ 2
Cho hình hộp đứng , đáy là các hình thoi có cạnh bằng , . Tính các khoảng cách
giữa và và

Giải:

Đường thẳng thuộc mặt phẳng nên nó song song với
mặt phẳng .
Do là hình hộp đứng nên ).
Vậy .
Do song song với nên song song với
Gọi là tâm của hình thoi .

VÍ DỤ 2
Cho hình hộp đứng , đáy là các hình thoi có cạnh bằng , . Tính các khoảng cách
giữa và và

Giải:

Do và nên
Vậy khoảng cách giữa và bằng độ dài đoạn thẳng
Tam giác cân tại và có
nên
Do đó, trong tam giác vuông , ta có
Vậy khoảng cách giữa và bằng .

Б

LUYỆN TẬP 2

Б

Cho hình chóp có . Gọi tương ứng là trung điểm của
a) Tính và
b) Giả sử tam giác vuông tại và . Tính

Giải:
a) //
;

Б

LUYỆN TẬP 2

Б

Cho hình chóp có . Gọi tương ứng là trung điểm của
a) Tính và
b) Giả sử tam giác vuông tại và . Tính

Giải:
b) Kẻ tại
Ta có: .
Vậy

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI

VẬN DỤNG
Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột
của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng
nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt
trên đỉnh hai cột.
Biết dốc nghiêng 15° so phương nằm
ngang. Tính khoảng cách giữa thanh
ngang của khung và mặt đường (theo
đơn vị mét và làm tròn kết quả đến
chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này
có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay
không?

VẬN DỤNG
Giải:

Gọi là một điểm nằm trên thanh ngang và là hình chiếu vuông góc
xuống mặt dốc.
Khoảng cách từ đến mặt phẳng dốc là
.
Do đó không cho phép xe cao đi qua.

3. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

HĐ4
Cho hai đường thẳng chéo nhau và . Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và
song song với . Hình chiếu của trên cắt tại . Gọi là hình chiếu của trên
(H.7.83).
a) Mặt phẳng chứa và có vuông góc với
hay không?
b) Đường thẳng có vuông góc với cả hai
đường thẳng và hay không?
c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa
và độ dài đoạn thẳng .

HĐ4
Giải:

a) Vì là hình chiếu vuông góc của trên nên
và thuộc cùng một mặt phẳng.
Gọi phương chiếu của đường thẳng xuống là
đường thẳng
Mặt phẳng chứa nên mặt phẳng .
b) Ta có: // //
Do nên .
Mà // .
Vậy .
c) Do // và nên .

KẾT LUẬN
- Đường thẳng cắt hai đường thẳng
chéo nhau và vuông góc với hai
đường đó được gọi là đường vuông
góc chung của và .
- Nếu đường vuông góc chung cắt
tương ứng tại thì độ dài đoạn thẳng
được gọi là khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau

NHẬN XÉT
•

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau bằng khoảng cách giữa một trong
hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song
song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
(Hình 7.85)

•

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song, tương ứng chứa hai
đường thẳng đó. (Hình 7.86)

Б

VÍ DỤ 3

Б

Cho hình chóp có Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng và .

Giải:

Gọi là hình chiếu của trên
Tam giác vuông tại và có nên
Do vuông góc với mặt phẳng nên là đường vuông
góc chung của và ( thuộc tia và )
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là

KHÁM PHÁ
Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng và cắt tại . Cho đường thẳng
thuộc mặt phẳng . Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa và khoảng cách
từ đến  (H.7.88).

Giải:
Ta có
Mà là đoạn vuông góc chung của và
nên
Vậy

Luyện tập 3
Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh , .
a) Tính khoảng cách từ  đến .

b) Chứng minh rằng 

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa  và .

Giải:

a) Kẻ
Ta có:
Vậy .
b) .

Luyện tập 3
Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh , .
a) Tính khoảng cách từ  đến .

b) Chứng minh rằng 

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa  và .

Giải:
c) Kẻ 
Lại có
Vậy đường vuông góc chung giữa và là

Thảo luận
Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt
phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm
thuộc hình kia. Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này.

Trả lời:

•

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách
giữa và hình chiếu của trên .

•

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là khoảng cách giữa và
hình chiếu của trên .

•

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với là
khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến

Thảo luận
Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt
phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm
thuộc hình kia. Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này.

Trả lời:

•

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và là khoảng cách từ
một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Mà đường vuông góc là đường ngắn nhất nên khoảng cách giữa hai
hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là
khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm
thuộc hình kia.

TỔNG KẾT VÀ TRAO THƯỞNG

LUYỆN TẬP