CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

KHỞI ĐỘNG
Giả sử vận tốc v (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một
chu kì hô hấp (tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp
thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một người
nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức:
trong đó t là thời gian (tính bằng giây). Hãy tìm thời gian của
một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một
phút của người đó.

VIDEO 2

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
3. Đồ thị và tính chất của hàm số
4. Đồ thị và tính chất của hàm số
5. Đồ thị và tính chất của hàm số
6. Đồ thị và tính chất của hàm số

VIDEO 3

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

VIDEO 4

HĐ1
HĐ 1: Hoàn thành bảng sau:

x

0

1
2

√3

√3

0

1

0

KXĐ

-1

0

KXĐ

0

2

3

√3

Với mỗi số thực x, ta xác định được duy nhất một điểm M trên
đường tròn lượng giác sao cho số đo của góc lượng giác (OA,
OM) bằng x. Do đó, ta luôn xác định được các giá trị lượng giác
và của x lần lượt là tung độ và hoành độ của điểm M.

Nếu , ta định nghĩa

và nếu thì ta định nghĩa

sin x
tanx=
cosx

Small
Steps
Big
Progres
s

cos x
cot x= .
sin x
Curiosit
y Solves
Problem
s

VIDEO 5

Định nghĩa
-

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là .
Tập xác định của hàm số sin là .

-

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là .
Tập xác định của hàm số côsin là .

Định nghĩa
-

Hàm số cho bởi công thức được gọi là hàm số tang, kí
hiệu là .
Tập xác định của hàm số tang là .

-

Hàm số cho bởi công thức được gọi là hàm số côtang, kí
hiệu là .
Tập xác định của hàm số tang là .

Ví dụ 1: (SGK – tr23)

1
Tìm tập xác định của hàm số y = cos x

Giải
1
Biểu thức
cos x

có nghĩa khi , tức là

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

𝜋
+𝑘 𝜋 ( 𝑘𝜖 𝑍 )
2

𝜋
𝑅¿{ +𝑘𝜋∨𝑘𝜖 𝑍¿}
2

LUYỆN TẬP 1

1
Tìm tập xác định của hàm số y =
sin x

Biểu thức

1
sin x

Giải
có nghĩa khi tức là:

1
y
=
Vậy tập xác định của hàm số sin x

là .

Câu hỏi mở rộng
Tìm tập xác định của hàm số:

4 π −x
√
𝑦= 𝑓 (𝑥)=

Giải
Điều kiện xác định của hàm số:
⇔
Vậy .

2

cos x

2

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ,
HÀM SỐ TUẦN HOÀN

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

HĐ 2:
Cho hai hàm số  và , với các đồ thị như hình dưới đây.
a) Tìm các tập xác định  của các hàm số  và .
b) Chứng tỏ rằng  Có nhận xét gì về tính đối xứng
của đồ thị hàm số  đối với hệ trục tọa độ Oxy?
c) Chứng tỏ rằng  Có nhận xét gì về tính đối xứng
của đồ thị hàm số đối với hệ trục tọa độ Oxy?

Giải
a) Biểu thức và luôn có nghĩa với mọi .
Vậy tập xác định của hàm số là và tập xác định của
hàm số là .
b) , ta luôn có:
Vậy .
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số
đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

Giải
c) , ta luôn có:

Vậy .
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số nhận gốc
tọa độ O làm tâm đối xứng.

y

Định nghĩa

A
C

A
X

Cho hàm số có tập xác định là D.
• Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu thì và .
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối
xứng.
• Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu thì và .
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối
xứng.

B

A

B

C

NHẬN XÉT
Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ),
ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số nằm ở bên
phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã
vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc tọa độ), ta
sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

Ví dụ 2: (SGK – tr24) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Giải
Tập xác định của hàm số là .
Do đó, nếu thuộc tập xác định thì -x cũng thuộc tập xác định .
Ta có:
Vậy là hàm số chẵn.

LUYỆN TẬP 2

1
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số g ( x )= x

1
Biểu thức x có nghĩa khi .

Giải

1
g ( x )=
x là .
Suy ra tập xác định của hàm số
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì cũng thuộc tập xác định D.

1
1
g ( − x )=
=− =− g ( x ) , ∀ x ∈ D
Ta có:
−x
x
1
Vậy g ( x )= x là hàm số lẻ.

Câu hỏi mở rộng
Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

Giải
Xét
Vậy là hàm số chẵn

b) Hàm số tuần hoàn
Giải

HĐ 3:
So sánh:

a) Ta có:

a)  và     
b)  và 
c)  và   
d)  và 

Vậy .
b) Ta có:

Vậy .

b) Hàm số tuần hoàn
Giải

HĐ 3:
So sánh:
a)  và     
b)  và 
c)  và   
d)  và 

c) Ta có:
Vậy .
d) Ta có:
Vậy .

p=q

Định nghĩa
Hàm số có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số sao cho
với mọi ta có:
i) và
ii)
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của
hàm số tuần hoàn đó.

TOÁN 12-

CÂU HỎI
Hàm số hằng (c là hằng số) có phải là hàm số tuần hoàn không? Nếu
hàm số tuần hoàn thì nó có chu kì không?
Giải
Hàm số hằng (c là hằng số) có tập xác định
Với T là số dương bất kì và với , ta luôn có:
+) và
+) (vì f(x) là hàm số hằng nên với mọi x thì giá trị của hàm số đều có
giá trị bằng c).
Vậy hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) là hàm số tuần hoàn với chu
kì là một số dương bất kì.

NHẬN XÉT
a) Các hàm số và tuần hoàn với chu kì . Các hàm số và

y

tuần hoàn với chu kì .
b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta
chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T], sau
đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ
sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T,
3T, ... ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

x
2

a² + b² =
cy = 2
ax²+bx+c
2
x = -b²²²4ac

Ví dụ 3: (SGK – tr25) Xét tính tuần hoàn của hàm số
Giải

Hàm số có tập xác định là R và với mọi số thực , ta có:

Vậy là hàm số tuần hoàn

CHÚ Ý
Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số và
là những hàm số tuần hoàn với chu kì:

Ví dụ 4
GIẢI:

Mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng AB
song song với mặt phẳng (P) nên mặt
phẳng (ABC) cắt mặt phẳng (P) theo giao
tuyển song song với AB.
Vẽ EF // AB (F thuộc BC) thì EF là giao
tuyến của (P) và (ABC).
Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) cùng chứa
đường thẳng CD song song với mặt
phẳng (P) nên chúng cắt mặt phẳng (P)
theo giao tuyến song song với CD.

LUYỆN TẬP 3

Xét tính tuần hoàn của hàm số
Giải

Biểu thức có nghĩa khi:
Suy ra hàm số có tập xác định là .
Với mọi số thực x, ta có:
+)
+)
Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì .

3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ

HĐ 4:

Cho hàm số 

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số  trên đoạn bằng cách tính giá trị của 
với những  không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng
của  với những  âm.
0
?

?

?

?

?

?

?

?

Bằng cách lấy nhiều điểm  với và nối lại ta được đồ thị hàm số 
 trên đoạn 

?

HĐ 4:

Cho hàm số 

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ 
, ta được đồ thị của hàm số  như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến,
các khoảng nghịch biến của hàm số 

Giải

a) Hàm số có tập xác định là .
Do đó, nếu thì
Ta có:
Vậy là hàm số lẻ.
b) Ta có:
Vì là hàm số lẻ nên:
;;
;.

Giải
Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

0
0

2
√
−
2

-1

2
√
−
2

0

√2
2

1

√2
2

0

Giải

c)

Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số  có tập xác định là , tập giá trị là và đồng biến trên
mỗi khoảng  và nghịch biến trên mỗi khoảng 

KẾT LUẬN
Hàm số :
•

Có tập xác định là và tập giá trị là .

•

Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì .

•

Đồng biến trên mỗi khoảng:

•

Nghịch biến trên mỗi khoảng:

•

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

Ví dụ 4: (SGK – tr26)

Sử dụng đồ thị ở Hình 1.14, hãy xác định

các giá trị của trên đoạn để hàm số :
a) Nhận giá trị bằng 0;

b) Nhận giá trị dương.
Giải

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn , khi
b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ
đồ thị ta suy ra trên đoạn , thì khi

LUYỆN TẬP 4
Tìm tập giá trị của hàm số 
Giải
Ta có: với .
Suy ra .1; hay:
với .
Vậy hàm số có tập giá trị là .

VẬN DỤNG 1
Xét tình huống mở đầu.
a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của
hàm v(t) và là: (giây).
Ta có: 1 phút = 60 giây.
Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là (chu kì).

VẬN DỤNG 1
b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra khi v
< 0. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì
người đó hít vào? Người đó thở ra?
Giải
Ta có:
•

v > 0 khi

Mà với . Do đó, .