CHƯƠNG
I
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP
HỢP

§1. Mệnh đề
§2. Tập hợp
§3. Bài tập cuối chương
1

TOÁN ĐẠI
SỐ
➉

CHƯƠNG
CHƯƠNG
I. MỆNHI ĐỀ - TẬP
HỢP

1

MỆNH ĐỀ

1 MỆNH ĐỀ. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

1

Mệnh đề

2 Mệnh đề chứa biến
2 PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ
3 MỆNH ĐỀ KÉO THEO
4 MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG
5

KÍ HIỆU VÀ

1

MỆNH ĐỀ

1

MỆNH ĐỀ

1. MỆNH ĐỀ. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

a.

Mệnh đề

HĐ 1
Chú ý
Lời
giải

Trong các câu ở tình huống mở đầu :
a) Câu nào đúng?
b) Câu nào sai?
c) Câu nào không xác định được tính đúng sai?

a) Câu nói của Khoa đúng.
b) Câu nói của An sai.
c) Câu “Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ ?''
không xác định tính đúng sai.

1

MỆNH ĐỀ

1. MỆNH ĐỀ. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

a.

Mệnh đề

HĐ 1
Chú ý
Lời
giải

Trong các câu ở tình huống mở đầu :
a) Câu nào đúng?
b) Câu nào sai?
c) Câu nào không xác định được tính đúng sai?

Những câu nói của An và Khoa là những khẳng định có tính
đúng hoặc sai. Người ta gọi mỗi câu như vậy là một mệnh đề
lôgic (gọi tắt là mệnh đề).
Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là
mệnh đề.

1

MỆNH ĐỀ

1. MỆNH ĐỀ. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

a.

Mệnh đề
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Chú ý

Người ta thường sử dụng các chữ cái ,…để biểu thị các mệnh
đề.

1

MỆNH ĐỀ

Ví dụ 1

Trong các câu sau, câu nào là
mệnh đề? Câu nào không phải
Chú ý
là mệnh đề?
a) Phương trình có nghiệm
nguyên;
b) ;
c) Có bao nhiêu dấu hiệu nhận
biết hai tam giác đồng dạng ?
d) Đấy là cách xử lí khôn
ngoan!

Lời
giải

Vì phương trình có nghiệm
nguyên nên câu a đúng. Câu b
là sai.
Do đó câu a và câu b là những
mệnh đề.
Câu c là câu hỏi; câu d là câu
cảm thán, nêu lên ý kiến của
người nói. Do đó, không xác
định được tính đúng sai. Vậy
các câu c và d không phải là
mệnh
đề.
Chú ý
Những mệnh đề liên quan đến toán học (các mệnh đề ở
câu a và câu b trong Ví dụ 1) được gọi là mệnh đề toán học.

1

MỆNH ĐỀ

Luyện tập 1

Thay dấu ''?'' bằng dấu ''x'' vào ô thích hợp trong
bảng sau:
Chú ý
Không phải
Mệnh đề
Mệnh đề
Câu
đúng
sai
mệnh đề
13 là số nguyên tố.
?
?
?
Tổng độ dài hai cạnh
 
 
 
bất kì của một tam
?
?
?
giác nhỏ hơn độ dài
cạnh còn lại
Bạn đã làm bài tập
?
?
?
chưa?
Thời tiết hôm nay
?
?
?
thật đẹp!

1

MỆNH ĐỀ

Luyện tập 1

Thay dấu ''?'' bằng dấu ''x'' vào ô thích hợp trong
bảng sau:
Chú ý
Không phải
Mệnh đề
Mệnh đề
Câu
đúng
sai
mệnh đề
13 là số nguyên tố.
X
Tổng độ dài hai cạnh
X
bất kì của một tam
giác nhỏ hơn độ dài
cạnh còn lại
Bạn đã làm bài tập
X
chưa?
Thời tiết hôm nay
X
thật đẹp!

1
b.

MỆNH ĐỀ

Mệnh đề chứa biến

Xét câu “ chia hết cho ” (với là số tự nhiên).
Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này, do đó nó
chưa phải là một mệnh đề.
Tuy nhiên, nếu thay bằng số tự nhiên cụ thể thì câu này cho
ta một mệnh đề. Chẳng hạn:
 Với ta được mệnh đề “5 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề
sai.
 Với ta được mệnh đề “10 chia hết cho 2”. Đây là mệnh đề
đúng.
Ta nói rằng câu “ chia hết cho ” là một mệnh đề chứa biến.

1
b.

MỆNH ĐỀ

Mệnh đề chứa biến

Xét câu “”. Hãy tìm hai giá trị thực của để từ câu đã cho ta
Chú
ý
nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
Lời
giải

Khi thì là một mệnh đề đúng.
Khi thì là một mệnh đề sai.

1

MỆNH ĐỀ

2. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

HĐ 2

Quan sát biển báo trong hình
bên.
Chú ý
Khoa nói: “Đây là biển báo
đường dành cho người đi bộ”.
An không đồng ý với ý kiến
của Khoa.
Hãy phát biểu ý kiến của An
dưới dạng một mệnh đề.
Lời
giải

Phát biểu ý kiến của An : “Đây không phải là biển báo đường
dành cho người đi bộ”.

1

MỆNH ĐỀ

2. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

Để phủ định một mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt)
từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề P.
ý
TaChú
kí hiệu
mệnh đề phủ định của mệnh đề P là .



Mệnh đề P và mệnh đề là hai phát biểu trái ngược nhau.
Nếu P đúng thì sai, còn nếu P sai thì đúng.

1

MỆNH ĐỀ

2. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

Ví dụ 2
Chú ý
Lời
giải

Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề
sau:
P : “17 là số chính phương” ;
Q : “Hình hộp không phải là hình lăng trụ”.

 Mệnh đề phủ định của P là : “17 không phải là số chính
phương”.
 Mệnh đề phủ định của Q là : “Hình hộp là hình lăng trụ”.

1

MỆNH ĐỀ

2. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

Luyện tập 2
Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và
xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
P : “2022 chia hết cho 5”;
Chú ý
Q : “Bất phương trình có nghiệm”.
Lời
giải

 Mệnh đề phủ định của P là : “2022 không chia hết cho 5”.
 Mệnh đề là một mệnh đề sai vì dư 2.
 Mệnh đề phủ định của Q là : “Bất phương trình vô nghiệm
”.
 Mệnh đề là một mệnh đề sai vì với nên là một nghiệm của
bất phương trình

1

MỆNH ĐỀ

2. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

Vận dụng

Cho mệnh đề Q : “Châu Á là châu lục có diện tích lớn nhất trên
thế giới”. Phát biểu mệnh đề phủ định và xác định tính đúng
Chú ý
sai của hai mệnh đề Q và .
Lời
giải

 Mệnh đề phủ định : “Châu Á không phải là châu lục có diện
tích lớn nhất trên thế giới''
 Mệnh đề đúng còn mệnh đề là mệnh đề sai.

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

a.

Mệnh đề kéo theo

HĐ 3

Trong Cặp từ quan hệ nào sau
đây phù hợp với vị trí bị che
Chú ýtrong câu ghép ở hình
khuất
bên?
A. Nếu … thì …
B. Tuy … nhưng …
Lời
giải

sử dụng rượu bia khi tham
gia giao thông

có thể bị

xử phạt hành chính hoặc xử lí
hình sự tùy theo mức độ vi
phạm.

Nếu sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông thì có thể bị xử
phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tùy theo mức độ vi phạm.

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

a.

Mệnh đề kéo theo

HĐ 4
Chú ý
Lời
giải

Cho hai câu sau
: “ Tam giác là tam giác vuông tại ”;
: “ Tam giác có ”.
Hãy phát biểu câu ghép có dạng “ Nếu thì ”.

Nếu tam giác là tam giác vuông tại ”
thì tam giác có ”.

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

a.

Mệnh đề kéo theo

 Mệnh đề “Nếu thì '' được gọi là một mệnh đề kéo theo
và
kí hiệu
Chú ý

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO. MỆNH ĐỀ ĐẢO.

a.

Mệnh đề kéo theo

Ví dụ 3
Cho tứ giác , xét hai câu sau:
: “ Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng ”;
: “ là tứ giác nội tiếp đường tròn ”.
Chú ý
Phát biểu mệnh đề và cho biết tính đúng sai của
mệnh đề đó.
Lời
giải

: “ Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng thì là
tứ giác nội tiếp đường tròn ”.
Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng.

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

a.

Mệnh đề kéo theo

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và
thường có dạng . Khi đó ta nói:
 là giả thiết của định lí, là kết luận của định lí,
hoặc “ là điều kiện đủ để có ”
hoặc “ là điều kiện cần để có ”.

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

b.

Mệnh đề đảo

HĐ 5
Cho hai câu sau
: “ Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt”;
: “ Phương trình bậc hai có biệt thức ”.
Chú ý
a) Hãy phát biểu mệnh đề .
b) Hãy phát biểu mệnh đề .
Lời
giải

a) Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì phương
trình bậc hai có biệt thức .
b) Nếu phương trình bậc hai có biệt thức thì phương trình bậc
hai có hai nghiệm phân biệt.

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

b.

Mệnh đề đảo

 Mệnh đề

được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề

Nhận
xét
Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là mệnh đề
đúng.

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

b.

Mệnh đề đảo

Ví dụ 4

Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề : “Nếu tam giác là
tam
đều thì tam giác là tam giác cân” và xác định tính
Chúgiác
ý
đúng sai của mệnh đề đảo này.
Lời
giải

 Mệnh đề đảo là : “ Nếu tam giác là tam giác cân thì tam giác
là tam giác đều”.
 Mệnh đề đảo này là sai.

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

b.

Mệnh đề đảo

Luyện tập 3

Cho các mệnh đề
 : “ và chia hết cho ” ;
 : “chia hết cho ” 
Chú ý
a) Hãy phát biểu định lí . Nêu giả thiết, kết luận của định lí và
phát biểu định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề xác định tính
đúng sai của mệnh đề đảo này.

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

b.

Mệnh đề đảo

Luyện tập 3

Cho các mệnh đề  : “ và chia hết cho ” ;
 : “chia hết cho ” 
a)
Hãy
Chú
ý phát biểu định lí . Nêu giả thiết, kết luận của định lí và
phát biểu định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
Lời
a) Phát biểu định lí là nếu và chia hết cho thì
giải
chia hết cho .
Trong đó giả thiết là và chia hết cho , kết luận là chia hết cho .
Phát biểu định lý dưới dạng điều kiện cần: chia hết cho là điều
kiện cần để và chia hết cho .
Phát biểu định lý dưới dạng điều kiện đủ : và chia hết cho là điều
kiện đủ để chia hết cho .

1

MỆNH ĐỀ

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO.

b.

Mệnh đề đảo

Luyện tập 3

Cho các mệnh đề  : “và chia hết cho ” ;
 : “ chia hết cho ” 
b)
Hãy
Chú
ý phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề xác định tính
đúng sai của mệnh đề đảo này.
Lời
giải

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề là “nếu chia hết cho thì và chia
hết cho ''.
Mệnh đề đảo của mệnh đề là mệnh đề sai vì khi đó chia hết
cho nhưng và chia hết cho .

1

MỆNH ĐỀ

4. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG.

HĐ 6

Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau :
“Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng
Chú
ý
bằng 0 hoặc 5 và ngược lại”.
Lời
giải

“Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng
bằng 0 hoặc 5'' là mệnh đề đúng.
“Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 số đó sẽ chia hết
cho 5'' là mệnh đề đúng.
Mệnh đề ở HĐ6 có thể phát biểu dưới dạng : “Một số tự nhiên
chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0
hoặc 5 ”.

1

MỆNH ĐỀ

4. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG.

 Mệnh đề “ nếu và chỉ nếu ” được gọi là một mệnh đề
tương
đương
và
kí
hiệu
là
.
Chú ý
Nhận
xét

Nếu cả hai mệnh đề và đều đúng thì mệnh đề tương đương
đúng. Khi đó ta nói “ tương đương với ” hoặc “ là điều kiện cần
và đủ để có ” hoặc “khi và chỉ khi ”.

1

MỆNH ĐỀ

4. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG.

Ví dụ 5
Cho hai mệnh đề:
P : “Tứ giác là hình vuông”;
 : “ Tứ giác là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc
Chú ý
với nhau” .
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương và xác định tính đúng sai
của mệnh đề tương đương này.
Lời
Mệnh đề tương đương : “Tứ giác là hình vuông khi và chỉ
giải

khi tứ giác là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với
nhau”.
Mệnh đề tương đương này đúng vì cả hai mệnh đề và đều
đúng.

1

MỆNH ĐỀ

4. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG.

Luyện tập 4

Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên chia hết cho .
 
Chú ý
Lời
giải
Số tự nhiên chia hết cho khi và chỉ khi số đó có chữ số tận

cùng là số chẵn.

.
5. Mệnh đề có chứa kí hiệu
Câu “Mọi số thực đều có bình phương không âm” là một
mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau:
Câu “Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2” là một
mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau:
Em hãy xác định tính đúng, sai của hai mệnh đề
trên?
Lời

Câu
“Mọi
số
thực
đều
có
bình
phương
không
âm”
là
một
mệnh
đề
giải
đúng.
Câu “Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2” là một mệnh đề
sai.

Luyện tập 5.
Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó
đúng hay sai.
Lời
giải
Mệnh đề có thể phát biểu là:
“Mọi số thực đều có bình phương cộng với nhỏ hơn hoặc bằng 0”.
Mệnh đề sai do nên

1
Mọi số tự nhiên nhân
với 1 đều bằng chính
nó.

MỆNH ĐỀ
1.1=1
2.1=2
3.1=3
4.1=4
…
…

Không đúng. Có một số tự
nhiên nhân với 1 không
bằng chính nó.

Mệnh đề “ Có một số tự nhiên nhân với 1 không bằng chính nó” là phủ
định của mệnh đề “Mọi số tự nhiên nhân với 1 đều bằng chính nó”.

Ví dụ 6.

Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và xác định

tính đúng, sai của nó.

Lời
giải
Mệnh đề P có thể phát biểu là:
“Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0”.
Phủ định của mệnh đề P là:
“Không tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng
0”, tức là “Mọi số thực đều có bình phương cộng với 1 khác 0”.

Luyện tập
6.
Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: “Mọi số thực đều có
bình phương khác 1”.
Mai phát biểu: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1”.
a) Hãy cho biết bạn nào phát biểu đúng.
b) Dùng kí hiệu để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới
dạng mệnh đề.
Lời
giải
a) Bạn Mai phát biểu đúng do tồn tại số thực để
b) Phát biểu của Nam dưới dạng mệnh đề:

Luyện tập
6.
Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: “Mọi số thực đều có
bình phương khác 1”.
Mai phát biểu: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1”.
a) Hãy cho biết bạn nào phát biểu đúng.
b) Dùng kí hiệu để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới
dạng mệnh đề.
Lời
Phátgiải
biểu của Mai dưới dạng mệnh đề (đây là mệnh đề phủ định của
P):

Câu Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
1.1

a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
b) Bạn học trường nào?
c) Không được làm việc riêng trong trường học;
d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

Lời
giải

Câu
là:
Câu
Câu
Câu

a) “Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới.” là mệnh đề
b) là câu nghi vấn;
c) là câu cầu khiến;
d) là câu khẳng định chưa xác định được tính đúng sai)

Câu
1.2

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a)
b) Phương trình có nghiệm
c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;
d) 2022 là hợp số.

Lời
giải

a) Mệnh đề đúng do và nên .
b) Vì phương trình có nghiệm hữu tỉ nên mệnh đề là đúng.
c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0; Do tồn tại số thực
0 để



10
3

Câu
1.2

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a)
b) Phương trình có nghiệm
c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;
d) 2022 là hợp số.

Lời
giải

d) 2022 là hợp số.
Ta có:

nên

là hợp số hay mệnh đề đã cho là đúng.

Câu
1.3

Cho hai câu sau:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông”;
Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương xét tính đúng sai của mệnh
đề này.
Lời
giải

• Mệnh đề tương đương : “Tam giác
khi tam giác
• Mệnh đề

là tam giác vuông khi và chỉ

có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

đúng.

Câu 1.4
Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định
tính đúng sai chúng.
P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho
5”;
Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai
đường
Lời chéo bằng nhau”.
giải

• Mệnh đề đảo của P: “Nếu số tự nhiên

chia hết cho 5 thì

có

chữ số tận cùng là 5 ”. Mệnh đề sai vì số nguyên cũng có thể có
chữ số tận cùng là 0.

Câu 1.4
Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định
tính đúng sai chúng.
P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho
5”;
Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai
Lờichéo bằng nhau”.
đường
giải

• Mệnh đề đảo của Q: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng
nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”. Mệnh đề sai (không
thỏa mãn dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

Câu
1.5
Với hai số thực a và b, xét các mệnh đề và .
a) Hãy phát biểu mệnh đề .
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.
c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

•
•
•
•

Lời
giải

a) Mệnh đề : “Nếu thì ”.
b) Mệnh đề đảo : “Nếu thì ”.
c) Mệnh đề sai vì ví dụ có nhưng
Mệnh đề P đúng.

Câu 1.6

Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh

đề phủ định của nó.

Lời
giải

Q: “ , n chia hết cho n+1”.

• Mệnh đề Q đúng do tồn tại để chia hết cho .
• Mệnh đề phủ định: : “ , không chia hết cho ”.

Câu 1.7

Dùng kí hiệu để viết các mệnh đề sau:
P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính
nó”;
Q: “ Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”.

Lời
giải