CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tính chất :
1. Nguyên hàm :
a. Định nghĩa:
Hàm số y = f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F`(x) = f(x), với mọi x thuộc K.

* Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những
hàm số nào?
a. F(x) = x2
b. F(x) = x2 + 3
c. F(x) = x2 - 4
d. Tất cả các hàm số trên
Hãy chọn phương án đúng
b.Định lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K thì:
- Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.
- Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số.
- F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x)
kí hiệu :
2.Tính chất của nguyên hàm:
Tính chất 1 :

Tính chất 2 :

Tính chất 3 :
3.Sự tồn tại nguyên hàm:
Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
C
X + C
Sinx + C
- Cosx + C
Tanx + C
- cotx + C
VD: Tính các nguyên hàm
Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
a.
b.
c.
d.
Ví dụ:
T×m F(x) biÕt vµ F(1)=3
Hướng dẫn:
F(x)=x2+C
Mà F(1)=3 ? 1+C=3?C=2
Vậy F(x)=x2+2
II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
1.Phương pháp đổi biến số:
Định lý 1 : Nếu
và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì :

b.Phương pháp:
B1: đặt u = u(x)
B2: tính du = u’(x)dx
B3: tính

VD: tính các nguyên hàm sau
1.

B1: đặt u = 2x+1
B2: du = 2dx
B3:

VD: tính các nguyên hàm sau
2.

B1: đặt
B2:

B3:

VD: tính các nguyên hàm sau
2.

B1: đặt
B2:

B3:

Cách 2
VD: tính các nguyên hàm sau
3.

B1: đặt
B2:

B3:

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
ĐỊNH LÍ 2:
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
Ví dụ 1: Tính
Ví dụ 2: Tính
a)

b)
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần :
Với P(x) là đa thức, ta có:
Chú ý:
1)
2)
Ví dụ 3: Tính